精品解析：浙江省杭州市观成中学教育集团2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

浙江省杭州市观成中学教育集团2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一．选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，下列各点是第三象限内的点的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. C. 2，2，4 D. 2，3，6 3. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 4. 一个直角三角形，若三边的平方和为128，则斜边长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 若 ，则下列不等式不一定成立的是 （ ） A. B. C. D. 6. 已知点关于y轴的对称点为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则为（　　） A. 2 B. C. D. 8. 如图，已知，点P在边上，，点C、D在边上，，若，则（　　） A. B. 2 C. D. 3 9. 已知A，B两地相距，甲，乙两车分别匀速从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发，甲，乙两车离B地的路程与甲车行驶时间之间的函数图象如图所示．下列结论：①甲车的平均速度是60千米/小时；②乙车的平均速度是80千米/小时；③乙车从B地到A地用了小时，正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 10. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 二．填空题（本题有6题，每题3分，共18分） 11. 若，，，则_______度． 12. 点P（2-a，a+1）在y轴上，则a=________. 13. 适合不等式组的的整数解有______个． 14. 如图，在中，，是的中线．若，则__________度；若，，则的面积为__________． 15. 已知是的一次函数，根据表格中的信息，则的值为___________ 0.5 1 3 y 3 3.2 5.2 16. 已知在中，．以为边向三角形外作等边，以为边向上作等边，连接．若，，则__________． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列不等式（组）： （1） （2） 18. 如图，在中，点是边上一点，点为外的一点，连接，，，其中，． （1）求证：； （2）若，，，求的周长． 19. 如图，在边长为的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． （1）画出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标； （2）将向右平移个单位，画出平移后的 （3）求的面积． 20. 已知y是x的一次函数，当时，；当时， （1）求一次函数的表达式． （2）若点在该一次函数图象上，求代数式的值． 21. （1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 22. 如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． （1）若，则的度数为_____． （2）求证：． （3）已知，求的值． 23. 对于任意有理数x、y定义一种新运算f，规定（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：． （1）已知，求a、b的值； （2）已知，且，求出符合条件的a、b的整数值． （3）在（2）的条件下，若关于m的不等式组，恰有两个整数解，求n的取值范围． 24. 如图，已知和，，，，点C关于直线的对称点为H，交的平分线于点F，连结． （1）求证：； （2）求的度数； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市观成中学教育集团2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一．选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，下列各点是第三象限内的点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限中点的坐标特征，熟练掌握各象限中点的坐标的特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标和纵坐标均为负数可确定答案． 【详解】解：第三象限内的点的横纵坐标都为负数， 点符合要求． 故选：D． 2. 下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. C. 2，2，4 D. 2，3，6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，算术平方根，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 利用三角形的三边关系定理进行分析即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 3. 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案． 【详解】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意； B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意； C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意； D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意． 故选：B． 4. 一个直角三角形，若三边的平方和为128，则斜边长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理，设斜边为c，则两直角边的平方和等于斜边的平方，结合三边平方和建立方程求解． 本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 【详解】解：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c， ∵ （勾股定理），且 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ （负值舍去）， 故斜边长为8， 故选：C． 5. 若 ，则下列不等式不一定成立的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键：①把不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．∵，，不等式成立，故选项不符合题意； B．∵，，不等式成立，故选项不符合题意； C．当，时，满足，但不成立，故选项符合题意； D．∵，，不等式成立，故选项不符合题意； 故选：C． 6. 已知点关于y轴的对称点为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得、的值，再求解即可． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点为点， ∴，， ∴， 故选：A． 7. 如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理是解题的关键． 由，D为的中点，，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得的长，然后由勾股定理求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 8. 如图，已知，点P在边上，，点C、D在边上，，若，则（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是含度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识．过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 已知A，B两地相距，甲，乙两车分别匀速从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发，甲，乙两车离B地的路程与甲车行驶时间之间的函数图象如图所示．下列结论：①甲车的平均速度是60千米/小时；②乙车的平均速度是80千米/小时；③乙车从B地到A地用了小时，正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．利用图象信息以及速度，时间，路程之间的关系一一判断即可 【详解】解：由图象可得，甲车从A地到B地共用时4小时， ∴甲车的平均速度为（千米/小时）， 两地相距，甲车行驶时间， ∴甲车离B地的路程s与t之间的函数关系式为． 由图可知：当时，两车相遇，此时， ∴乙车的速度为（千米/小时）， 乙车从B地到A地用了（小时）， 故正确的是①②， 故选：A． 10. 已知如图，等腰，，，于点.点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形④.其中正确的是（） A. ①③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，据此即可求解； ②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断； ③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形； ④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP． 【详解】解：①如图，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°−∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确； ②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确； ③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°， ∴∠APC＋∠DCP＝150°， ∵∠APO＋∠DCO＝30°， ∴∠OPC＋∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°−（∠OPC＋∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形；故③正确； ④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PB， ∵∠PAE＝180°−∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO＋∠OPE＝60°， ∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选A. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 二．填空题（本题有6题，每题3分，共18分） 11. 若，，，则_______度． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，利用全等三角形的性质确定的值是解题关键．首先根据全等三角形的性质确定的值，再在中，利用三角形内角和定理解得的度数即可． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴， ∴在中，． 故答案为：50． 12. 点P（2-a，a+1）在y轴上，则a=________. 【答案】2 【解析】 【详解】∵点P（2-a，a+1）在y轴上， ∴，解得：. 故答案为. 13. 适合不等式组的的整数解有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再由解集即可求解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解有，，，，共个， 故答案为：． 14. 如图，在中，，是的中线．若，则__________度；若，，则的面积为__________． 【答案】 ①. 65 ②. 15 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用角的和差关系可得：，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得；然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用勾股定理可得，最后根据三角形的中线定义可得的面积，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴； ∵，是的中线， ∴， ∵，则， ∴， ∴ ； 故答案为：①65；②15． 15. 已知是的一次函数，根据表格中的信息，则的值为___________ 0.5 1 3 y 3 3.2 5.2 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的定义及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再将和分别代入求出，即可解决问题． 【详解】解：由题知， 令一次函数的解析式为， 则， 解得， 所以一次函数解析式为． 将代入一次函数解析式得， ． 将代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以． 故答案为：10． 16. 已知在中，．以为边向三角形外作等边，以为边向上作等边，连接．若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，，在中，根据得，则，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项再合并同类项，然后得，即可作答． （2）分别解出每个不等式的解集，再得不等式组的解集为，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴由解得； 由解得； ∴不等式组的解集为． 18. 如图，在中，点是边上一点，点为外的一点，连接，，，其中，． （1）求证：； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等角对等边，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 19. 如图，在边长为的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． （1）画出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标； （2）将向右平移个单位，画出平移后的 （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求， ， （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，平移作图，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，并根据图形写出、的坐标； （2）根据平移的特点作图即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 20. 已知y是x的一次函数，当时，；当时， （1）求一次函数的表达式． （2）若点在该一次函数图象上，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解以及图象上的点，掌握待定系数法是解题关键． （1）设一次函数的解析式为：，根据题意建立方程组即可求解； （2）把代入得，即可求解； 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为：， 则， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， 【小问2详解】 解：把代入得： ∴， ∴ 21. （1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 【答案】 （1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为， 大正方形的面积为 ，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积，其中小正方形的面积为， 大正方形的面积， ∴， 化简可得，； （2）①，② 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查勾股定理的证明与应用，理解题意和题目中体现的方法是解题的关键． （1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理； （2）①由勾股定理直接求出；②设，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）①当时，A到停靠站D的距离最短， 在中，， ∴， 答：停靠站A与D之间的距离为； ②设， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即， 答：停靠站B到村庄C的距离为． 22. 如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． （1）若，则的度数为_____． （2）求证：． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴． 23. 对于任意有理数x、y定义一种新运算f，规定（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：． （1）已知，求a、b的值； （2）已知，且，求出符合条件的a、b的整数值． （3）在（2）的条件下，若关于m的不等式组，恰有两个整数解，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法是解题关键． （1）根据已知新运算法则，列二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）根据题意，列不等式组，求出的取值范围，再根据为整数，确定的值，进而求出的值即可； （3）由（2）可知，，整理原不等式组，求出的取值范围，再根据原不等式组恰有两个整数解，即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：； 【小问2详解】 解：，， ， 解得：， 为整数， ， ， ， 符合条件的a、b的整数值为，； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， 原不等式组整理为：， 解得：， 原不等式组恰有两个整数解， ， 解得：， 的取值范围是． 24. 如图，已知和，，，，点C关于直线的对称点为H，交的平分线于点F，连结． （1）求证：； （2）求的度数； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3） 结论：，理由如下： 如图，连接，作延长线，垂足为G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，得到，证明，即可得证； （2）连结，根据轴对称的性质及角的等量代换即可解答； （3）结论：．作，垂足为G，连接，证明，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，点是点关于的对称点，连接， ∵点与点C关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $