专题十三 反比例函数 专项练习 2026年中考数学一轮复习

专题十三 反比例函数七大题型 【题型一】反比例函数图象的对称性 【例1】（2025•阜阳一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称进行解答即可． 【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（﹣1，2）， ∴另一个交点的坐标是（1，﹣2）． 故选：B． 【变式1】（2025•陵水县一模）如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1） 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为（2，﹣1）． 故选：A． 【变式2】（2025•兰州校级模拟）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于　1　 ． 【分析】先利用反比例函数解析式y确定P点坐标为（1，1），由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为4，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的． 【解答】解：设反比例函数解析式y， 由题意可得：P点坐标为：（1，1）， 故图中阴影部分的面积为：1×1＝1． 故答案为：1． 【变式3】（2025•东城区二模）如图，已知直线y＝mx与双曲线y的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是　（﹣3，﹣4）　 ． 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）． 故答案为：（﹣3，﹣4）． 【题型二】反比例函数的性质 【例1】（2025•浙江）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【分析】根据反比例函数图象和性质判断即可． 【解答】解：∵反比例函数y，k＝﹣7＜0， ∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， 故选项C符合题意． 故选：C． 【变式1】（2025•滨州）当自变量x＞1时，下列函数y随x的增大而增大的是（　　） A．y＝﹣3x B． C．y＝3x+1 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 【分析】根据一次函数，二次函数及反比例函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 当x＞1时， 函数y＝﹣3x中y随x的增大而减小． 故A选项不符合题意； 当x＞1时， 函数中y随x的增大而减小． 故B选项不符合题意； 当x＞1时， 函数y＝3x+1中y随x的增大而增大． 故C选项符合题意； 当x＞1时， 函数y＝﹣（x﹣1）2﹣3中y随x的增大而减小． 故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025•广州）若|k|＝﹣k（k≠0），则反比例函数y的图象在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【分析】根据绝对值的性质得k＜0，再根据反比例函数的图象与k的关系即可得出答案． 【解答】解：∵|k|＝﹣k（k≠0）， ∴k＜0， ∴反比例函数y的图象在第二、四象限． 故选：C． 【变式3】（2025•河北）在反比例函数y中，若2＜y＜4，则（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8 【分析】根据反比例函数图象的性质代入函数值的范围即可求出x的取值范围． 【解答】解：∵反比例函数y，k＝4＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当2＜y＜4时，x， ∴1＜x＜2． 故选：B． 【题型三】反比例函数系数k的几何意义 【例1】（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】设点M坐标为，点N坐标为，则，OA＝BC＝a，BN＝b，，CN＝a﹣b，，可用a，b表示出，，即可判断①；用a，b表示出，，可知当△MON 与△MCN 的面积相等时，M，N重合，与题意不符，可判断②；根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M，N是反比例函数图象上的动点，可得∠OMN或∠ONM为钝角，即可判断③，即可求解． 【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为， 则A（a，0），，， ∴，OA＝BC＝a，BN＝b，，CN＝a﹣b，， ∴， ， ∴S△COM＝S△CON，故结论①正确； ， ， 当△MON与△MCN的面积相等时，，即a＝b， 当a＝b时，M，N重合，与题意不符，故结论②错误； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM＝60°且对称轴都为直线y＝x，△MON可能是等边三角形，故④正确， 如图： 当M，N在y＝x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误； 综上，①④正确、②③错误． 故选：B． 【例2】（2025•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【分析】通过设点坐标，结合反比例函数性质和三角形面积公式来逐步推导． 【解答】解：∵点C在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上， 设点C的坐标为（a，）， ∵C是AO的中点，且CE⊥x轴，AB⊥x轴， ∴CE是△AOB的中位线， 根据三角形中位线的性质：中位线平行于第三边且长度为第三边的一半， 由此可得：OE＝EB＝a， ∴OB＝OE+EB＝2a， CEAB， 又CE， ∴AB＝2， 因此，点A的坐标为（2a，）， ∵点D在AB上，且在反比例函数y的图象上，点D的横坐标与点A相同，为2a， 将x＝2a代入y，可得点D的纵坐标为y， ∴点D的坐标为（2a，）， ∵AB⊥x轴，BD垂直于x轴方向， ∴在△BDE中，EB＝a（底），BD的长度为点D的纵坐标（高）， 根据三角形面积公式S底×高，可得： S△BDEEB×BD， ， k＝5， 方法二：已知C是AO的中点，且CE⊥x轴， AB⊥x轴， 因此CE∥AB， 由“三角形中位线定理”，E是OB的中点（CE是△AOB的中位线）， 因为E是OB的中点， 所以OE＝EB， △BDE和△ODE以EB、OE为底时，高相同，因此面积相等． 已知S△BDE，故S△ODE， S△DBO＝S△ODE+S△BDE， 此处D在双曲线上，△DBO是直角三角形（DB⊥x轴），因此： S△DBOk 代入S△DBO， 解得k＝5， 故选：C． 【变式1】（2025•淄博）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且ODBD．经过点D的反比例函数y的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为（　　） A．25 B．26 C． D． 【分析】设出点A和点C的坐标，进一步表示出点B的坐标，再结合ODBD表示出点D的坐标，最后利用△OBF的面积是24及整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知， 令点A坐标为（a，0），点C坐标为（0，b）， 则点B坐标为（a，b）． 因为ODBD， 所以点D坐标可表示为（）． 因为点D在反比例函数的图象上， 所以k， 则反比例函数解析式为y． 又因为点E，F在反比例函数的图象上， 所以点F坐标为（），点E的坐标为（a，）， 所以BF＝a，BE＝b， 所以， 解得ab＝54， 所以S△OEF＝S矩形OABC﹣S△OCF﹣S△OEA﹣S△BEF ＝ab ． 故选：D． 【变式2】（2025•绥化）如图，反比例函数y经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA、OC、AC．若S△ACO＝4，CD：OB＝1：3，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3 【分析】延长DC，BA交于点E，设CD＝a（a＞0），则OB＝3a，求出，，进而得到，证明四边形OBED是矩形，再求出，CE＝2a，得到 ，根据S矩形OBED﹣S△DOC﹣S△AOB﹣S△AEC＝S△ACO建立方程求解即可． 【解答】解：延长DC，BA交于点E， 设CD＝a（a＞0）， ∵CD：OB＝1：3， ∴OB＝3a， ∵AB⊥y轴，CD⊥x轴， ∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a， ∴，， ∴，，，， ∵反比例函数经过A、C两点， ∴． ∵∠EDO＝∠DOB＝∠EBO＝90°， ∴四边形OBED是矩形，，DE＝OB＝3a， ∴，CE＝DE﹣CD＝2a， ∴， ∴， ∵S△ACO＝4， ∴S矩形OBED﹣S△DOC﹣S△AOB﹣S△AEC＝S△ACO， 即， ∴k＝﹣3， 故选：D． 【变式3】（2025•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），D为BC的中点．反比例函数的图象过点D，交AB于点E． （1）求点D的坐标和k的值； （2）延长DE交x轴于点F，求△AFE的面积． 【分析】（1）根据矩形形的性质，先求出点B的坐标，再结合D为BC的中点即可求出点D的坐标，据此求出k的值即可； （2）先求出点E的坐标，进一步得出点F的坐标，最后求出△AFE的面积即可． 【解答】解：（1）由题知， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）， ∴点B的坐标为（4，2）． ∵D为BC的中点， ∴点D的坐标为（2，2）． 将点D坐标代入得， k＝2×2＝4， ∴k的值为4； （2）由（1）知， 反比例函数解析式为y， 将x＝4代入y得， y＝1， ∴点E的坐标为（4，1）． 令直线DE的函数解析式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线DE的函数解析式为y． 由得， x＝6， ∴点F的坐标为（6，0）， ∴． 【题型四】反比例函数图象上点的坐标特征 【例1】（2025•重庆）反比例函数y的图象一定经过的点是（　　） A．（2，6） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（6，﹣2） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【解答】解：A、∵2×6＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； B、∵（﹣4）×（﹣3）＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； C、∵（﹣3）×（﹣4）＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； D、∵6×（﹣2）＝﹣12，∴此点在反比例函数图象上，符合题意， 故选：D． 【例2】（2025•内蒙古）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵反比例函数常量k＝﹣3＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， A、若两点在同一分支上，m＜m+1，故y1＜y2，原说法错误，不符合题意； B、若两点不在同一分支上，m＜m+1，故y1＞y2，原说法错误，不符合题意； C、当m＜0时，无法确定B（m+1，y2）所在象限，原说法错误，不符合题意； D、当m＜﹣1时，两点都在第二象限，y1＜y2，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025•天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵反比例函数的k＝﹣9＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵点A（﹣3，y1）在第二象限， ∴y1＞0， 又∵1＜3， ∴y2＜y3＜0， ∴y2＜y3＜y1． 故选：D． 【变式2】（2025•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线y（k≠0）上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作MN∥x轴，交y轴于点N，作BM⊥MN，垂足为M，先证明△BMA≌△ANO（AAS），利用全等三角形性质得到点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：如图，过点A作MN∥x轴，交y轴于点N，作BM⊥MN，垂足为M， ∵∠AOB＝∠ABO＝45°， ∴AB＝AO，∠BAO＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， 在△BMA和△ANO中， ， ∴△BMA≌△ANO（AAS）， ∴AN＝BM＝1，ON＝AM， ∵点A的横坐标为﹣1， ∴A（﹣1，﹣k）， ∴ON＝AM＝﹣k， ∴B（﹣1+k，﹣k﹣1）， ∵点A、B在反比例函数图象上， ∴k＝（﹣1+k）（﹣1﹣k）＝1﹣k2， 整理得k2+k﹣1＝0， 解得k（舍去）或k． 故选：D． 【变式3】（2025•无锡）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1不具有“对偶关系”； ②函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1； ③若1是函数y1＝kx+3与函数y2的“对偶值”，则k＝2； ④若函数y1＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y2（x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据P、Q关于y轴对称，称函数y1和y2具有“对偶关系”，则P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可． 【解答】解：①设函数y1＝2x+3上点P坐标轴为（m，2m+3）， ∵P、Q关于y轴对称， ∴Q点坐标为（﹣m，m+1）， 若点P或点Q的纵坐标称相等， ∴2m+3＝m+1， 解得：m＝﹣2， 则存在这样的点P、Q，使得他们关于y轴对称， ∴函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1具有“对偶关系”； 故①错误，不符合题意； ②当y1＝y2＝﹣1时，则﹣1＝2x+3， 解得x＝﹣2； ﹣1＝﹣x+1，解得x＝2； 横坐标是相反数， 故②正确，符合题意； ③当y1＝y2＝1时，则， 解得x＝1； 因为是函数y1＝kx+3与函数的“对偶值”， 所以函数y1＝kx+3的x＝﹣1， 代入得：1＝﹣k+3， 解得k＝2， 故③正确，符合题意； ④设点P坐标为（m，﹣2m+b），则点Q坐标为， ∵P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等， ∴， 整理得， ∵﹣2≤m≤﹣1，对于函数，y随m的增大而增大， 当m＝﹣2时，； 当m＝﹣1时，； ∴，而不是， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 【题型五】反比例函数与一次函数的交点问题 【例1】（2025•连云港）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 【分析】根据双曲线的对称性得到点B的横坐标为1，根据图象即可求出当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 【解答】解：由双曲线的对称性得点B的横坐标为1， ∴当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 故选：C． 【例2】（2025•宿迁）如图，点A、B在双曲线y1（x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2（x＜0）交于点E，连接OA、OB，若S△AOC＝20，AB＝3BC，AD＝DE，则k2的值为（　　） A．﹣10 B．﹣11 C．﹣12 D．﹣13 【分析】过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF，先证明四边形DHFB为平行四边形，则BF＝DH，证明△AHD≌△CFB（AAS），则AD＝BC，再证明△EKD≌△AHD（AAS），则S△EKD＝S△AHD，ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1，则，由AG∥y轴，得到，则，则S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝1，则可求，即可求解k2的值． 【解答】解：过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF， 由条件可知， ∵BF∥y轴，AH∥x轴，AG∥y轴， ∴S△OAH＝S△AHF＝S△OBF＝S△BFH， 由条件可知△AHF，△BHF在FH上的高相等， ∴AB∥FH， ∴四边形DHFB为平行四边形， ∴BF＝DH， ∵AH∥x轴， ∴∠DAH＝∠BCF， ∵∠AHD＝∠CFB＝90°， ∴△AHD≌△CFB（AAS）， ∴AD＝BC， 在△EKD和△AHD中， ， ∴△EKD≌△AHD（AAS）， ∴S△EKD＝S△AHD，AD＝ED， ∵AB＝3BC， ∴ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1， ∴， ∴， ∵AG∥y轴， ∴， ∴， ∴S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝5﹣4＝1， ∴S△EKD＝S△AHD＝1， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴k2＝﹣12， 故选：C． 【变式1】（2025•陕西）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，则k的值为 　9　 ． 【分析】先根据题意得出﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，解得m＝3，n＝3，即A（3，3），再把A（3，3）代入进行计算，即可作答． 【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点， ∴A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点关于原点O对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6， ∴m＝3，n＝3， ∴A（3，3）， 把A（3，3）代入， 得， 解得k＝9， 故答案为：9． 【变式2】（2025•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为　﹣6　 ． 【分析】求出点B的坐标为（﹣1，0），设点A坐标为（m，﹣m﹣1），根据AC＝BC，得到2m2+8m+16＝10，解方程并进一步即可得到点A坐标为（﹣3，2），利用待定系数法即可求出实数k的值． 【解答】解：当y＝0时，0＝﹣x﹣1，解得x＝﹣1， ∴点B的坐标为 （﹣1，0）， ∵点C坐标为（0，3）， ∴， 设点A坐标为（m，﹣m﹣1）， ∴AC2＝（m﹣0）2+（﹣m﹣1﹣3）2＝2m2+8m+16， ∵AC＝BC， ∴AC2＝BC2， ∴2m2+8m+16＝10， 解得m1＝﹣3，m2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴m＝﹣3， ∴点A坐标为（﹣3，2）， ∴， 解得 k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【变式3】（2025•深圳）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 　（﹣1，﹣1）　 ． 【分析】根据A的横坐标为1，求出a的值，进而求出A点坐标，再根据对称性求出点B的坐标即可． 【解答】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数相交于点A和点B，A的横坐标为1，， ∴a＝1， ∴y＝x， ∴当x＝1时，y＝x＝1， ∴A（1，1）， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点A，B关于原点对称， ∴B（﹣1，﹣1）； 故答案为：（﹣1，﹣1）． 【题型六】反比例函数的应用 【例1】（2025•长春）在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当t＝25和t＝40时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案． 【解答】解：设功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P（k≠0）， 把t＝60，P＝20代入解析式得：20， 解得：k＝1200， ∴功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P； ∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小， ∴当t≥25时，P48， 当t≤40时，P30， ∴30≤t≤48， 故选：C． 【变式1】（2025•盐城）博物馆到小明家的路程为8km，小明回家所需时间t（单位：h）随平均速度v（单位：km/h）的变化而变化，则t与v的函数表达式是（　　） A．t＝8v B． C．t D．t＝8v2 【分析】根据平均速度＝总路程÷总时间可列出关系式，即可求解． 【解答】解：由题意得，平均速度v（单位km/h）与运行时间t的关系为：t． 故选：C． 【变式2】（2025•连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数．当V＝1.2m3时，p＝20000Pa．则当V＝1.5m3时，p＝ 　16000　 Pa． 【分析】利用待定系数法求出p与V之间的函数关系式，当V＝1.5时，求出对应p的值即可． 【解答】解：设p与V之间的函数关系式为p（k为常数，且k≠0）， 将V＝1.2，p＝20000代入p， 得20000， 解得k＝24000， ∴p与V之间的函数关系式为p， 当V＝1.5时，p16000， ∴当V＝1.5m3时，p＝16000Pa． 故答案为：16000． 【变式3】（2025•辽宁）在电压不变的情况下，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝4时，I＝5．则电流I与电阻R之间的函数表达式为I＝　　 ． 【分析】设电流I与电阻R之间的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． 【解答】解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为， 由条件可得， ∴U＝20， ∴， 故答案为：． 【题型七】反比例函数综合题 【例1】（2025•苏州）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD． （1）求A，B两点的坐标； （2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值． 【分析】（1）在y＝2x+4中，令y＝0可得点A的坐标为（﹣2，0），令x＝0得点B的坐标为（0，4）； （2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，由△BCD是以BD为底边的等腰三角形可得BE＝DE，从而C（，8），根据点C在一次函数y＝2x+4的图象上，有8＝24， 即可解得k＝16． 【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0， 解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， 在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图： ∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形， ∴CB＝CD， ∵CE⊥BD， ∴BE＝DE， 在y中，令y＝4得x， ∴D（，4）， ∴BE＝DE， 在y中，令x得y＝8， ∴C（，8）， ∵点C在一次函数y＝2x+4的图象上， ∴8＝24， 解得k＝16， ∴k的值为16． 【变式1】（2025•大庆）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，点B在反比例函数的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标及△OAD的面积； （3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）作BF⊥x轴于点F，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线AC的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，分当DQ⊥x轴和当DQ⊥AD时两种情况讨论，据此求解即可． 【解答】解：（1）作BF⊥x轴于点F， ∵△OBA为等边三角形，OA＝2， ∴OB＝2，OF＝AF＝1， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵OA＝2， ∴点A的坐标为（2，0）， 设直线AC的解析式为y＝k'x+b， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为， 联立得， 解得x＝3或x＝﹣1（舍去）， 经检验，x＝3是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）是，理由如下： ∵△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴OA＝OB＝OC，∠BOA＝∠BAO＝60°， ∴， ∴∠BAC＝90°， 当DQ⊥x轴时， ∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠DQA＝∠BAC＝90°， ∴△DQA∽△BAC， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为（3，0）； 当DQ⊥AD时， ∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠QDA＝∠BAC＝90°， ∴△QDA∽△BAC， ∵点D的坐标为，点A的坐标为（2，0）， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上，点Q的坐标为（3，0）或． 【变式2】（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）． （1）求k的值； （2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标． 【分析】（1）把B（3，0）代入y＝﹣x+b，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接AD，求出点C的坐标为（﹣1，﹣2），可得AC2＝20设点D的坐标为，可得到，，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为（t，），求出直线AE的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b与x轴的交点为B（3，0）， ∴0＝﹣3+b， 解得b＝3， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3， 把A（a，2）代入y＝﹣x+3， 得2＝﹣a+3， 解得：a＝1， ∴点A（1，2）， 把点A（1，2）代入y， 得k＝1×2＝2； （2）如图，连接AD， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点A（1，2）， ∴点C的坐标为（﹣1，﹣2）， ∴AC2＝（1+1）2+（2+2）2＝20， 设点D的坐标为， ∴，， ∵∠ACD＝90°， ∴AD2＝CD2+AC2， ∴， 解得：m＝﹣4或﹣1（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣4，）， 设直线AD的函数表达式为y＝k1x+b1（k1≠0） 把点（﹣4，）（1，2）代入得：， 解得： ∴直线AD的函数表达式为y； （3）设点E的坐标为（t，）， 设直线AE的解析式为y＝k2x+b2， 把点（t，），（1，2）代入， 得， 解得：， ∴直线AE的解析式为y， 当y＝0时，0， 解得x＝t+1， ∴点P的坐标为（t+1，0）， ∴BP＝|t+1﹣3|＝|t﹣2|， ∴， ∵△BEP的面积为2， ∴， 解得t或t＝﹣2， ∴点E的坐标为（﹣2，﹣1）或． 【课后练习】 1．（2023秋•宣汉县期末）正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，2），那么点B的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3） 【分析】解由两个函数解析式组成的方程组可求交点坐标． 【解答】解：解方程组 得，． 因为点A的坐标为（3，2），那么点B的坐标为（﹣3，﹣2）． 故选：A． 2．（2025•湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．点（2，2）在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小 【分析】根据反比例函数的性质，k＝2＞0，函数位于第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小． 【解答】解：A、把点（2，2）代入反比例函数y，1＝2不成立，故不符合题意； B、k＝2＞0，函数图象分别位于第一、三象限，故不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意． 故选：D． 3．（2025•武汉）在平面直角坐标系中，某反比例函数y的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的k的值是 　1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据反比例函数图象分布确定k的取值范围，在k的取值范围内选取一个数即可． 【解答】解：∵反比例函数y的图象分别位于第一、第三象限， ∴k＞0， 不妨令k＝1． 故答案为：1（答案不唯一）． 4．（2025•山东）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y（x＞0）的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（　　） A．0＜x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤4 D．x≥4 【分析】由题意可设点B的坐标为（b，b），易得 b＝2，即点B的坐标为（2，2），再结合反比例函数图象即可解答． 【解答】解：∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为（b，b）， ∴b2＝4，解得：b＝2（已舍弃负值）， ∴点B的坐标为 （2，2）， ∵函数的图象经过点B， 满足y≥2的x的取值范围为0＜x≤2， 故选：A． 5．（2025•镇江）已知点A（﹣1，y1）、B（a，y2）在反比例函数的图象上，若y2＞y1，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣1或a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞0 D．a＜﹣1 【分析】首先将A（﹣1，y1），B（a，y2）代入求出，，然后根据y2＞y1得到，然后分两种情况求解即可． 【解答】解：由条件可知，， ∵y2＞y1， ∴， ∴当a＞0时，解得a＞﹣1， ∴a＞0； 当a＜0时，解得a＜﹣1； 综上所述，则a的取值范围是a＜﹣1或a＞0． 故选：A． 6．（2025•宁夏）函数和的部分图象如图所示，点A在的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交的图象于点B．若AC＝3BC，则的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 【分析】连接OA、OB，由AC＝3BC、AB∥y轴得到S△OAC＝3S△OBC，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△OAC，继而求出S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【解答】解：如图，连接OA、OB， 由条件可知OC⊥AB， ∴S△OAC＝3S△OBC． 由条件可知， ∴， ∴且k2＜0， ∴， ∴． 故选：A． 7．（2025•烟台）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y（x＞0）的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 【分析】先证明AM＝CM，OC＝OA＝BC＝AB＝3，设C（x，y），可得，xy求解x＝1，过C作CH⊥AO于H，再进一步求解即可． 【解答】解：∵菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3， ∴AM＝CM，OC＝OA＝BC＝AB＝3， ∴A（3，0）， 设C（x，y）， ∴M（，）， ∴xy， 解得：x＝1， 过C作CH⊥AO于H， ∴OH＝1，， ∴， ∴； 故选：D． 8．（2025•陕西）一个反比例函数的图象经过A（m，﹣4），B（3，n）两点，若m＜﹣3，则n的取值范围是n＞4　 ． 【分析】设反比例函数解析式为y（k≠0），再把A（m，﹣4），B（3，n）两点代入即可得出结论． 【解答】解：设反比例函数解析式为y（k≠0）， ∵反比例函数的图象经过A（m，﹣4），B（3，n）两点， ∴k＝﹣4m，k＝3n， ∴﹣4m＝3n， ∴m ∵m＜﹣3 ∴3， ∴n＞4． 故答案为：n＞4． 9．（2025•威海）如图，点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ 　　 ． 【分析】如图，作BG⊥y轴，垂足为G，作AH⊥y轴，垂足为H可得△OAH∽△BOG利用相似三角形的性质及反比例函数k值几何意义即可得到结果． 【解答】解：如图，作BG⊥y轴，垂足为G，作AH⊥y轴，垂足为H， ∵点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上， ∴S△BOG＝1，S△AOH＝2， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAH＝∠BOG， ∴△OAH∽△BOG， ∴， ∴tan∠BAO． 故答案为：． 10．（2025•滨州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数y的图象经过点C．若点B的坐标为（0，6），OC＝5，则k＝　12　 ． 【分析】根据题意，求出点C的坐标即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点C为AB的中点，且OC＝5， 所以AB＝2OC＝10． 又因为点B的坐标为（0，6）， 所以OB＝6． 在Rt△AOB中， OA， 所以点A的坐标为（8，0）， 所以点C的坐标为（4，3）． 将点C坐标代入y得， k＝4×3＝12． 故答案为：12． 11．（2025•德州）已知点P（a，b）在双曲线上，点M（6a，b），N（a，c）在双曲线上，若|b﹣c|＝2，则N的坐标为 　（，）或（，）　 ． 【分析】把点坐标代入对应的解析式，得出a、b、c之间的关系，再根据绝对值计算即可求解． 【解答】解：∵点P（a，b）在双曲线上， ∴ab＝1， ∵M（6a，b），N（a，c）在双曲线上， ∴6ab＝ac＝k， ∴c＝6b， ∵|b﹣c|＝2， ∴|b﹣6b|＝2， 解得或， ∴当时，，， 当时，，， ∴N（，）或（，）． 故答案为：（，）或（，）． 12．（2025•青岛）如图，正八边形ABCDEFGH的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限．点F在反比例函数y（x＞0）的图象上，若AB，则k的值为 　2　 ． 【分析】作FK⊥y轴于K，求得正八边形的内角的度数，即可求得△OAH是等腰直角三角形，△FHG是等腰直角三角形，进而得出OA＝OH＝KG＝KF＝1，得到F（1，2），利用待定系数法即可求得k的值． 【解答】解：作FK⊥y轴于K， 正八边形ABCDEFGH中，内角的度数为135°， ∴∠BAH＝135°， ∴∠OAH＝45°， ∴△OAH是等腰直角三角形， 同理△FHG是等腰直角三角形， ∵AH＝AB＝FG， ∴OA＝OH＝KG＝KF＝1， ∴F（1，2）， ∵点F在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝1）＝2． 故答案为：2． 13．（2025•徐州）若点A（6，y1），B（5，y2）都在函数的图象上，则y1　＞　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】根据反比例函数的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为， 所以反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大． 又因为点A（6，y1），B（5，y2）都在该反比例函数的图象上，且6＞5＞0， 所以y1＞y2． 故答案为：＞． 14．（2025•乐山）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是　③　 （填番号）； ①y＝x+2； ②y； ③y＝x2+1． （2）若一次函数yx+m的图象上存在“单位圆点”，则m的取值范围为　m　 ． 【分析】依据题意，设“单位圆点”为（x，y），则1，从而x2+y2＝1； （1）依据“单位圆点”满足的关系及各个函数解析式，分别建立方程后逐个判断解的情况，从而可以计算得解； （2）依据题意，由yx+m上存在“单位圆点”，可得x2+mx+m2﹣1＝0，则Δ＝m2﹣5（m2﹣1）≥0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，设“单位圆点”为（x，y）， ∴1． ∴x2+y2＝1． （1）①∵y＝x+2， ∴x2+（x+2）2＝1，即2x2+4x+3＝0． ∴Δ＝16﹣24＝﹣8＜0，故方程2x2+4x+3＝0无解． ∴①上不存在“单位圆点”． ②∵y， ∴x2+（）2＝1． ∴x4﹣x2+1＝0． ∴Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，故方程x2+（）2＝1无解． ∴②上不存在“单位圆点”． ③∵y＝x2+1， ∴x2+（x2+1）2＝1． ∴x4+3x2＝0． ∴x＝0． ∴③上存在“单位圆点”． 故答案为：③． （2）由题意，∵yx+m， ∴x2+（x+m）2＝1． ∴x2+mx+m2﹣1＝0． ∵一次函数yx+m的图象上存在“单位圆点”， ∴Δ＝m2﹣5（m2﹣1）≥0． ∴4m2﹣5≤0． ∴m． 故答案为：m． 15．（2025•福建）若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ 　﹣2　 ． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象过点（﹣2，1）， ∴k＝﹣2×1＝﹣2， 故答案为：﹣2． 16．（2025•甘肃）已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　6（答案不唯一）　 （请写出一个符合条件的k值）． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵点A（2，y1），B（6，y2）且y1＞y2， ∴反比例函数的增减性是在每个象限内y随x的增大而减小， ∴k＞0， 不妨令k＝6， 故答案为：6（答案不唯一）． 17．（2025•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）两点，过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是　20　 ． 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为k，求出n的值，设C（c，0），根据AC⊥AB，利用勾股定理求出c的值，进而求出AB，AC的长，进而求出△ABC的面积即可． 【解答】解：∵直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线交于A（1，4），B（﹣4，n）两点， ∴1×4＝﹣4n， ∴n＝﹣1， ∴B（﹣4，﹣1）， 设C（c，0）， 则：AB2＝（1+4）2+（4+1）2＝50，AC2＝（c﹣1）2+42＝（c﹣1）2+16，BC2＝（c+4）2+12＝（c+4）2+1， ∵AC⊥AB， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴（c+4）2+1＝（c﹣1）2+16+50， 解得：c＝5， ∴C（5，0）， ∴AC2＝（5﹣1）2+16＝32， ∴， ∵AB2＝50， ∴， ∴△ABC的面积是， 故答案为：20． 18．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　　 ．（结果保留π） 【分析】根据题意得到AC＝BD＝1，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得∠OAC＝60°，利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积和． 【解答】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴AC⊥x轴，BD⊥x轴， ∵半径为1， ∴AC＝BD＝1， ∴A点的纵坐标为1， 把y＝1代入y，求得x， ∴A（，1）， ∴OC，AC＝1， ∴tan∠OAC， ∴∠OAC＝60°， ∴第一象限中阴影的面积S1， 同理，第一象限中阴影的面积S2， ∴S阴影． 故答案为：． 19．（2025•安徽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y（k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积． 【分析】（1）把A点、B点代入y＝ax+4和反比例函数y，，即可求出a和k的值； （2）根据（1）得出一次函数的表达式，进而求出C点和D点坐标，进而得出OC和OD的长度，即可求出△COD的面积． 【解答】解：（1）由题意得， 解得； （2）由（1）知直线AB对应的一次函数表达式为， 令y＝0，得x＝8，所以OC＝8， 令x＝0，得y＝4，所以OD＝4， 故△COD的面积为． 20．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，令x＝0，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形ABDO的面积等于△AOB，△BOD面积的和即可求解． 【解答】解：（1）∵点C的坐标为（1，6），且在反比例函数的图象上， ∴，即k＝6， ∴反比例函数的解析式为； 设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0）， 把A、C两点坐标分别代入得： ， 解得：， 即直线AC的解析式为y＝2x+4； 上式中，令x＝0，y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ∴， 解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4， ∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD ＝10． 21．（2025•巴中）如图，直线y＝kx+b与双曲线交于A（﹣2，6），B（﹣6，a）两点． （1）求m和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求△ABO的面积． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）根据直线解析式求出点C坐标，再根据三角形面积公式代入数据计算即可． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，6）在双曲线上， ∴m＝﹣2×6＝﹣12， 又∵B（﹣6，a）在双曲线上， ∴﹣6a＝﹣12， 解得a＝2， A、B在直线y＝kx+b上， ∴代入，得， 解得， ∴y＝x+8； （2）由图可知，， 不等式时，﹣6＜x＜﹣2； （3）设直线AC与x轴交于点C， 当y＝0时．x+8＝0， ∴x＝﹣8， ∴点C的坐标为（﹣8，0）， ∴ ＝24﹣8 ＝16， 故△ABO的面积为16． 22．（2025•湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（　　） A．3A B．4A C．5A D．6A 【分析】根据图象中I随R的变化情况判断即可． 【解答】解：根据图象，当R＞9时，I＜4， ∴当电阻R大于9Ω时，电流I可能是3A，不可能是4A、5A或6A， ∴A符合题意，BCD不符合题意． 故选：A． 23．（2025•哈尔滨）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率P＝　20　 W． 【分析】设v与F之间的函数关系式为v，把（10，2）代入即可； 【解答】解：设v与F之间的函数关系式为v， 把（10，2）代入v得，P＝20， 答：该玩具汽车的功率P＝20W， 故答案为：20． 24．（2025•成都）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I，则电流I的值随电阻R值的增大而　减小　 （填“增大”或“减小”）． 【分析】依据题意，由用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I，则I是R的反比例函数，且k＝36＞0，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I， ∴I是R的反比例函数，且k＝36＞0． ∴电流I的值随电阻R值的增大而减小． 故答案为：减小． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十三 反比例函数七大题型 【题型一】反比例函数图象的对称性 【例1】（2025•阜阳一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称进行解答即可． 【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（﹣1，2）， ∴另一个交点的坐标是（1，﹣2）． 故选：B． 【变式1】（2025•陵水县一模）如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1） 【变式2】（2025•兰州校级模拟）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于　 　 ． 【变式3】（2025•东城区二模）如图，已知直线y＝mx与双曲线y的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是　 　 ． 【题型二】反比例函数的性质 【例1】（2025•浙江）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【分析】根据反比例函数图象和性质判断即可． 【解答】解：∵反比例函数y，k＝﹣7＜0， ∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， 故选项C符合题意． 故选：C． 【变式1】（2025•滨州）当自变量x＞1时，下列函数y随x的增大而增大的是（　　） A．y＝﹣3x B． C．y＝3x+1 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 【变式2】（2025•广州）若|k|＝﹣k（k≠0），则反比例函数y的图象在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式3】（2025•河北）在反比例函数y中，若2＜y＜4，则（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8 【题型三】反比例函数系数k的几何意义 【例1】（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y（x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形； ④△MON可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】设点M坐标为，点N坐标为，则，OA＝BC＝a，BN＝b，，CN＝a﹣b，，可用a，b表示出，，即可判断①；用a，b表示出，，可知当△MON 与△MCN 的面积相等时，M，N重合，与题意不符，可判断②；根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M，N是反比例函数图象上的动点，可得∠OMN或∠ONM为钝角，即可判断③，即可求解． 【解答】解：设点M坐标为，点N坐标为， 则A（a，0），，， ∴，OA＝BC＝a，BN＝b，，CN＝a﹣b，， ∴， ， ∴S△COM＝S△CON，故结论①正确； ， ， 当△MON与△MCN的面积相等时，，即a＝b， 当a＝b时，M，N重合，与题意不符，故结论②错误； ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM＝60°且对称轴都为直线y＝x，△MON可能是等边三角形，故④正确， 如图： 当M，N在y＝x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误； 综上，①④正确、②③错误． 故选：B． 【例2】（2025•无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【变式1】（2025•淄博）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且ODBD．经过点D的反比例函数y的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为（　　） A．25 B．26 C． D． 【变式2】（2025•绥化）如图，反比例函数y经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA、OC、AC．若S△ACO＝4，CD：OB＝1：3，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3 【变式3】（2025•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），D为BC的中点．反比例函数的图象过点D，交AB于点E． （1）求点D的坐标和k的值； （2）延长DE交x轴于点F，求△AFE的面积． 【题型四】反比例函数图象上点的坐标特征 【例1】（2025•重庆）反比例函数y的图象一定经过的点是（　　） A．（2，6） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（6，﹣2） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【解答】解：A、∵2×6＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； B、∵（﹣4）×（﹣3）＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； C、∵（﹣3）×（﹣4）＝12≠﹣12，∴此点不在反比例函数图象上，不符合题意； D、∵6×（﹣2）＝﹣12，∴此点在反比例函数图象上，符合题意， 故选：D． 【例2】（2025•内蒙古）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵反比例函数常量k＝﹣3＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， A、若两点在同一分支上，m＜m+1，故y1＜y2，原说法错误，不符合题意； B、若两点不在同一分支上，m＜m+1，故y1＞y2，原说法错误，不符合题意； C、当m＜0时，无法确定B（m+1，y2）所在象限，原说法错误，不符合题意； D、当m＜﹣1时，两点都在第二象限，y1＜y2，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025•天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【变式2】（2025•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线y（k≠0）上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025•无锡）若函数y1的图象上存在点P，函数y2的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数y1和y2具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1不具有“对偶关系”； ②函数y1＝2x+3与函数y2＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1； ③若1是函数y1＝kx+3与函数y2的“对偶值”，则k＝2； ④若函数y1＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y2（x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【题型五】反比例函数与一次函数的交点问题 【例1】（2025•连云港）如图，正比例函数y1＝k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣1．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 【分析】根据双曲线的对称性得到点B的横坐标为1，根据图象即可求出当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 【解答】解：由双曲线的对称性得点B的横坐标为1， ∴当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 故选：C． 【例2】（2025•宿迁）如图，点A、B在双曲线y1（x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2（x＜0）交于点E，连接OA、OB，若S△AOC＝20，AB＝3BC，AD＝DE，则k2的值为（　　） A．﹣10 B．﹣11 C．﹣12 D．﹣13 【分析】过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF，先证明四边形DHFB为平行四边形，则BF＝DH，证明△AHD≌△CFB（AAS），则AD＝BC，再证明△EKD≌△AHD（AAS），则S△EKD＝S△AHD，ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1，则，由AG∥y轴，得到，则，则S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝1，则可求，即可求解k2的值． 【解答】解：过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF， 由条件可知， ∵BF∥y轴，AH∥x轴，AG∥y轴， ∴S△OAH＝S△AHF＝S△OBF＝S△BFH， 由条件可知△AHF，△BHF在FH上的高相等， ∴AB∥FH， ∴四边形DHFB为平行四边形， ∴BF＝DH， ∵AH∥x轴， ∴∠DAH＝∠BCF， ∵∠AHD＝∠CFB＝90°， ∴△AHD≌△CFB（AAS）， ∴AD＝BC， 在△EKD和△AHD中， ， ∴△EKD≌△AHD（AAS）， ∴S△EKD＝S△AHD，AD＝ED， ∵AB＝3BC， ∴ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1， ∴， ∴， ∵AG∥y轴， ∴， ∴， ∴S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝5﹣4＝1， ∴S△EKD＝S△AHD＝1， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴k2＝﹣12， 故选：C． 【变式1】（2025•陕西）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，则k的值为 　 　 ． 【变式2】（2025•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y（k≠0）的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实数k的值为　 　 ． 【变式3】（2025•深圳）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y相交于点A和点B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 　 　 ． 【题型六】反比例函数的应用 【例1】（2025•长春）在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当t＝25和t＝40时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案． 【解答】解：设功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P（k≠0）， 把t＝60，P＝20代入解析式得：20， 解得：k＝1200， ∴功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P； ∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小， ∴当t≥25时，P48， 当t≤40时，P30， ∴30≤t≤48， 故选：C． 【变式1】（2025•盐城）博物馆到小明家的路程为8km，小明回家所需时间t（单位：h）随平均速度v（单位：km/h）的变化而变化，则t与v的函数表达式是（　　） A．t＝8v B． C．t D．t＝8v2 【变式2】（2025•连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数．当V＝1.2m3时，p＝20000Pa．则当V＝1.5m3时，p＝ 　 　 Pa． 【变式3】（2025•辽宁）在电压不变的情况下，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当R＝4时，I＝5．则电流I与电阻R之间的函数表达式为I＝　 　 ． 【题型七】反比例函数综合题 【例1】（2025•苏州）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD． （1）求A，B两点的坐标； （2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值． 【分析】（1）在y＝2x+4中，令y＝0可得点A的坐标为（﹣2，0），令x＝0得点B的坐标为（0，4）； （2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，由△BCD是以BD为底边的等腰三角形可得BE＝DE，从而C（，8），根据点C在一次函数y＝2x+4的图象上，有8＝24， 即可解得k＝16． 【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0， 解得x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， 在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； （2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图： ∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形， ∴CB＝CD， ∵CE⊥BD， ∴BE＝DE， 在y中，令y＝4得x， ∴D（，4）， ∴BE＝DE， 在y中，令x得y＝8， ∴C（，8）， ∵点C在一次函数y＝2x+4的图象上， ∴8＝24， 解得k＝16， ∴k的值为16． 【变式1】（2025•大庆）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，点B在反比例函数的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标及△OAD的面积； （3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）． （1）求k的值； （2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标． 【课后练习】 1．（2023秋•宣汉县期末）正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，2），那么点B的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3） 2．（2025•湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．点（2，2）在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞0时，y随x的增大而减小 3．（2025•武汉）在平面直角坐标系中，某反比例函数y的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的k的值是 　 　 ． 4．（2025•山东）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y（x＞0）的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（　　） A．0＜x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤4 D．x≥4 5．（2025•镇江）已知点A（﹣1，y1）、B（a，y2）在反比例函数的图象上，若y2＞y1，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣1或a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞0 D．a＜﹣1 6．（2025•宁夏）函数和的部分图象如图所示，点A在的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交的图象于点B．若AC＝3BC，则的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 7．（2025•烟台）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y（x＞0）的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 8．（2025•陕西）一个反比例函数的图象经过A（m，﹣4），B（3，n）两点，若m＜﹣3，则n的取值范围是 　 ． 9．（2025•威海）如图，点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则tan∠BAO＝ 　 　 ． 10．（2025•滨州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数y的图象经过点C．若点B的坐标为（0，6），OC＝5，则k＝　 　 ． 11．（2025•德州）已知点P（a，b）在双曲线上，点M（6a，b），N（a，c）在双曲线上，若|b﹣c|＝2，则N的坐标为 　 　 ． 12．（2025•青岛）如图，正八边形ABCDEFGH的顶点A，B，G，H在坐标轴上，顶点C，D，E，F在第一象限．点F在反比例函数y（x＞0）的图象上，若AB，则k的值为 　 　 ． 13．（2025•徐州）若点A（6，y1），B（5，y2）都在函数的图象上，则y1　 　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 14．（2025•乐山）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是　 　 （填番号）； ①y＝x+2； ②y； ③y＝x2+1． （2）若一次函数yx+m的图象上存在“单位圆点”，则m的取值范围为　m　 ． 15．（2025•福建）若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ 　 　 ． 16．（2025•甘肃）已知点A（2，y1），B（6，y2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，如果y1＞y2，那么k＝　 　 （请写出一个符合条件的k值）． 17．（2025•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）两点，过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是　 　 ． 18．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为　 　 ．（结果保留π） 19．（2025•安徽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y（k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． （1）求a与k的值； （2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积． 20．（2025•山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积． 21．（2025•巴中）如图，直线y＝kx+b与双曲线交于A（﹣2，6），B（﹣6，a）两点． （1）求m和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求△ABO的面积． 22．（2025•湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（　　） A．3A B．4A C．5A D．6A 23．（2025•哈尔滨）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率P＝　 　 W． 24．（2025•成都）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为I，则电流I的值随电阻R值的增大而　 　 （填“增大”或“减小”）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $