4.5.1函数的零点与方程的解 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 1 复习导入 方程的根为图象与轴的交点横坐标 二次函数的零点： 一般地，对于二次函数， 我们把使的实数叫做函数 的零点 【注意】零点不是点，是交点的横坐标，是数值。 y=x2－12x＋20 一元二次方程的根与二次函数图象之间的联系： 课本P51 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 函数的零点 函数与轴交点的横坐标 方程的实数解 1.函数的零点与方程的解 数 形 概念辨析 1.下列图象表示的函数中恰有一个零点的是 (　　) B A B C D 大本P126 例题讲解 2.函数的零点为(　　) A. B. C.和 D.和 C 大本P126 例题讲解 问题1 观察二次函数的图象,想一想,两个零点附近函数图象与轴有什么关系？函数值变化有什么特点？ 追问1 在上，我们发现函数在区间(2,4)内有零点_______,有_____，_____,得到_____（填或） 追问2 在上，我们发现函数)在区间 内有零点_______,有_____，_____,得到)_____（填>或<） 【结论】在零点附近，图象“穿过”轴，左右两侧的函数值总是异号. 概念辨析 问题2 通过问题1的探索，你觉得函数在区间上存在零点的条件是什么？ 追问1 若，则函数在区间内一定有零点吗？ 0 y x 不一定存在零点，如右图. 概念辨析 2.函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,且有,那么函数在区间内至少有一个零点,即存在,使得,这个也就是方程的解. 概念辨析 思考1 如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，那么 函数在区间内是否一定有零点？ 不一定存在零点，如右图. 0 y x 定理中“在给定区间上连续”和 “”这两个条件缺一不可. x y 0 x1 思考2 若在区间上的图象是连续不断的，但, 则在区间上一定没有零点吗？ 零点存在定理只能用于判断“变号零点” 不一定，如右图. 概念辨析 思考3 如果函数在区间上是一条连续不断的曲线， 且在区间内有零点，是否一定有？ x y 0 不一定 有零点 在上连续 ⇍ ⇒ 概念辨析 思考4 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 且有，那么函数在区间内有零点，但 是否只有一个零点呢？ 函数零点存在定理可以证明函数有零点， 但不能判定零点的个数. 思考5 若函数在内存在零点．则满足什么条件时在 上有唯一零点？ 在内为单调函数 0 y x 0 y x 概念辨析 函数区间上连续 在上存在零点 函数区间上连续 函数图像在单调 在上存在唯一零点 概念辨析 3.函数的一个零点所在区间为(　　) B 大本P126 例题讲解 4 (多选)已知函数的图象是连续不断的,且有如下对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) -4 -2 1 4 2 -1 -3 在下列区间中,函数必有零点的区间为(　 　) BCD 大本P127 例题讲解 例2 求方程实数解的个数. 列表，并作出的图象 解： 设函数， 则的定义域为 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 ， 即 由表和图象得 由函数零点存在定理， 在内至少有一个零点. 又∵易证函数 在上是增函数, ∴ 是只有一个零点 方程有1个实数解. 例题讲解 由得 设, 作出函数和的图象，如右. f(x)=lnx g(x)=-2x+6 减函数 增函数 由图知，函数和的图象 只有一个公共点， 且 ∴方程只有一个解, 即有1个实数解. 例2 求方程实数解的个数. 方法二： 例题讲解 方法总结：判定函数零点(或方程的解)的个数 ①直接解方程或判断方程解的个数; ②是根据函数的性质和零点存在定理进行判断 ③是利用函数图象. 由函数得，再分别作出和的图象，则两图象的交点个数得出结论 例题讲解 C 大本P126 例题讲解 方程的实数解、函数的图象与 轴的交点、函数的零点三者之间的联系： 对应方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴的 公共点横坐标值 数 形 对应方程 的实数解 函数－的零点 函数的图象与函数的 公共点横坐标值 数 形 课堂小结 5.函数f(x)=的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 $