3.3.1 抛物线及其标准方程（思维导图+2大知识点+5大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

本讲义聚焦抛物线及其标准方程核心知识点，系统梳理抛物线定义（平面内与定点和定直线距离相等的点的轨迹）及标准方程（四种形式，含焦点、准线与方程系数关系），构建“定义推导-方程辨析-应用拓展”的学习支架。 资料含思维导图辅助知识结构化，通过五种题型（定义、方程、轨迹、最值、实际应用）的例题与变式训练，培养数学思维中的推理能力和数学眼光下的问题转化意识，实际应用如抛物线型拱桥问题助力用数学语言表达现实，课中辅助教学，课后方便学生查漏补缺。

3．3．1 抛物线及其标准方程 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、抛物线的定义 4 知识点二、抛物线的标准方程 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：抛物线的定义问题 6 题型二：抛物线的标准方程 6 题型三：求轨迹方程 7 题型四：和与差的最值问题 7 题型五：实际应用问题 8 知识点一、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释： （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化． 知识点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，． 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． 一般情况归纳： 方程 图象的开口方向 焦点 准线 时开口向右 时开口向左 时开口向上 时开口向下 ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 题型一：抛物线的定义问题 【例题1】（2025·高二·河南·期中）设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【例题2】已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（    ） A． B．2 C．3 D． 【变式1】（2025·高二·河南·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【变式2】（2025·高二·吉林长春·月考）抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B．1 C．3 D． 【变式3】（2025·高三·湖南·月考）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 题型二：抛物线的标准方程 【例题3】（2025·高二·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例题4】（2025·高二·浙江丽水·期中）顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【变式4】（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式5】（2025·高二·天津河西·月考）准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高二·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：求轨迹方程 【例题5】（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例题6】若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【变式7】（2025·高二·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8】若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9】（2025·高三·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型四：和与差的最值问题 【例题7】（2025·高二·湖南衡阳·期中）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为 . 【例题8】（2025·高二·广东惠州·期中）已知直线和直线抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 . 【变式10】（2025·高二·重庆·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 ． 【变式11】（2025·高三·上海宝山·月考）已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 【变式12】已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ． 题型五：实际应用问题 【例题9】（2025·高二·浙江丽水·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽．当水位下降，水面宽为时，拱顶到水面的距离是 ． 【例题10】（2025·高二·陕西渭南·月考）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm． 【变式13】（2025·高二·江苏盐城·期中）如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m） 【变式14】（2025·高二·山东·期中）如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 【变式15】如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 m．（精确到1m）    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．3．1 抛物线及其标准方程 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、抛物线的定义 4 知识点二、抛物线的标准方程 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：抛物线的定义问题 6 题型二：抛物线的标准方程 7 题型三：求轨迹方程 9 题型四：和与差的最值问题 10 题型五：实际应用问题 13 知识点一、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释： （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化． 知识点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，． 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． 一般情况归纳： 方程 图象的开口方向 焦点 准线 时开口向右 时开口向左 时开口向上 时开口向下 ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 题型一：抛物线的定义问题 【例题1】（2025·高二·河南·期中）设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，设点，则， 由，得，解得，所以. 故选：D 【例题2】已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】设点，由轴，得，且， 又，则，又，所以. 故选：A 【变式1】（2025·高二·河南·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解析】由题意知，所以焦点到准线的距离为3. 故选：B. 【变式2】（2025·高二·吉林长春·月考）抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【解析】，抛物线的标准方程为， ，， 抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：A. 【变式3】（2025·高三·湖南·月考）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】依题意，焦点， 由，根据抛物线的定义，得，所以， 则，代入，得，又，解得. 故选：C 题型二：抛物线的标准方程 【例题3】（2025·高二·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 【例题4】（2025·高二·浙江丽水·期中）顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】焦点坐标为在轴正半轴上，可设抛物线方程为， 又，则，故抛物线的标准方程为. 故选：C 【变式4】（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 【变式5】（2025·高二·天津河西·月考）准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线为， 所以抛物线的焦点在上，开口向下，且，即，故抛物线的标准方程为， 故选：D. 【变式6】（2025·高二·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设抛物线的方程为， 因为抛物线的焦点是， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为. 故选：A. 题型三：求轨迹方程 【例题5】（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】设，依题意得， 动点到的距离比点到轴的距离的大2， 则，即， 所以的轨迹方程是或， 故选：C 【例题6】若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 【变式7】（2025·高二·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 【变式8】若点P到点的距离比它到直线的距离小2，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，知P到的距离比它到的距离小2， 因此P到的距离与到直线的距离相等， 故P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线， 所以P的轨迹方程为． 故选：C 【变式9】（2025·高三·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 题型四：和与差的最值问题 【例题7】（2025·高二·湖南衡阳·期中）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为 . 【答案】13 【解析】因为，故， 记抛物线C的准线为l，则， 记点P到l的距离为d，点到l的距离为， ， 故答案为： 【例题8】（2025·高二·广东惠州·期中）已知直线和直线抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 . 【答案】2 【解析】由题意可得：抛物线的焦点，准线， 设动点到直线的距离分别为， 点到直线的距离为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 故动点到直线和直线的距离之和的最小值是2. 故答案为：2 【变式10】（2025·高二·重庆·期中）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设点的坐标为，则， 因为，所以，整理得， 所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 设抛物线的焦点为，则，故是抛物线的准线， 所以， 因为，所以， 所以， 此时，分别为线段与圆和抛物线的交点. 所以，的最小值为 故答案为：； 【变式11】（2025·高三·上海宝山·月考）已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 【答案】5 【解析】曲线，即， 设其圆心为，则. 抛物线的准线， 过点作，垂足为，则， 所以. 当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离. 设到直线的距离为，则， 则的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式12】已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】解:将抛物线方程化为标准方程:，求得焦点为，准线,且． 设，如图，过点作于点，则由抛物线的定义得:， 所以的周长． 当且仅当三点共线，即时，等号成立. 故答案为:. 题型五：实际应用问题 【例题9】（2025·高二·浙江丽水·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽．当水位下降，水面宽为时，拱顶到水面的距离是 ． 【答案】/ 【解析】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 当水面未下降时，水面与拱桥的交点， 将代入抛物线方程， 得，所以． 当水面下降后与拱桥的交点为，设，代入， 得，解得， 所以拱桥到水面的距离为． 故答案为：． 【例题10】（2025·高二·陕西渭南·月考）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm． 【答案】60.5 【解析】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），如下图所示： 则可设抛物线的方程为， 由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点， 代入抛物线方程得，解得，所以抛物线的方程为， 当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为， 将代入抛物线方程求得，此时探照灯的深度为. 故答案为： 【变式13】（2025·高二·江苏盐城·期中）如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m） 【答案】4.3 【解析】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 将点代入得， 故， 今，得， 故限高为， 故答案为：4.3. 【变式14】（2025·高二·山东·期中）如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 【答案】/ 【解析】建系如图，设抛物线方程为， 则根据题意可知图中坐标为， ，， 抛物线方程为， 令，可得， 则水面下降了米 故答案为： 【变式15】如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 m．（精确到1m）    【答案】5 【解析】以抛物线的顶点为原点，过顶点与焦点的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线的方程为，则，代入方程得， 所以抛物线的方程为，又， 令，则，故， 所以，根据对称性知：水池直径为m，约为5 m. 故答案为：5. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $