4.4 数学归纳法 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.4 数学归纳法 【基础巩固】 1．观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（ ） A．； B． C．； D． 【答案】C 【解析】注意到， 则可猜想：，AD错误， 或，B错误C正确. 故选：C. 2．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（ ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【解析】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D. 3．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边； 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是． 故选：C 4．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（ ） A．项 B．项 C．项 D．项 【答案】B 【解析】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 5．（多选）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（ ） A．对于成立 B．对于每一个自然数成立 C．对于每一个偶数成立 D．对于某些偶数可能不成立 【答案】ABC 【解析】由于命题，这里， 当时，成立，并且当时它也成立， 可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立， 故对于不一定成立，对于每一个自然数不一定成立， 对于每一个偶数不一定成立，对于某些偶数可能不成立． 故选：ABC． 6．用数学归纳法证明（且），第一步要证的不等式是______． 【答案】 【解析】由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为“”．故答案为：. 7．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是_______. 【答案】 【解析】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 8．用数学归纳法证明不等式：． 【答案】见解析 【解析】（i）当时，左边，右边，显然，左边右边，原不等式成立； （ii）假设当时不等式成立，即， 那么当时，． 又， 所以， 即时，不等式也成立． 由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立． 【能力拓展】 9．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得，假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 10．（多选）设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ） A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】AD 【解析】对于A：当成立时，总有成立. 则逆否命题：当成立时，总有成立. 若成立，则成立，故A正确； 对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误； 对于C：当成立时，总有成立. 则逆否命题：当成立时，总有成立. 故若成立，则成立，所以C错误； 对于D：根据题意，若成立，则成立， 即成立，结合， 所以当时，均有成立，故D正确. 故选：AD 11．数学的浪漫难以言表，今年是年，，，我们将可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份成为“完美平方年”，小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信，则标题可起为______年之约. 【答案】千或 【解析】由题设， 猜想，显然时， 若时，成立， 当时， ， 所以时，也成立， 由，故下一个完美平方年为年， 所以，故标题可为千年之约. 故答案为：千或 【素养提升】 12．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值； (3)若，求证：对任意自然数，总有成立． 【答案】见解析 【解析】(1)设是图象上任意一点， 则点关于点对称的点的坐标为． 已知，则，． 故，即函数的图象关于点对称． (2)由(1)有，即， 所以，，， 则． (3)，即，不等式等价于． 下面用数学归纳法证明． 当时，左边，右边，，不等式成立； 当时，左边，右边，，不等式成立； 假设当时不等式成立，即， 则当时，左边，右边， ， 因在上单调递增，则. 则，所以对任意自然数，总有成立， 即对任意自然数，总有成立． 第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 数学归纳法 【基础巩固】 1．观察下列式子：为正整数，则可以猜想结论（ ） A．； B． C．； D． 2．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（ ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 3．用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（ ） A． B． C． D． 4．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（ ） A．项 B．项 C．项 D．项 5．（多选）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（ ） A．对于成立 B．对于每一个自然数成立 C．对于每一个偶数成立 D．对于某些偶数可能不成立 6．用数学归纳法证明（且），第一步要证的不等式是______． 7．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是_______. 8．用数学归纳法证明不等式：． 【能力拓展】 9．平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（ ） A． B． C． D． 10．（多选）设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ） A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立 11．数学的浪漫难以言表，今年是年，，，我们将可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份成为“完美平方年”，小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信，则标题可起为______年之约. 【素养提升】 12．已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值； (3)若，求证：对任意自然数，总有成立． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $