精品解析：河北省衡水市武强县衡水街关中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学第三次月考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题得到答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为：​. 故选：B. 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单调性可判断数的范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 故. 故选：C. 3. 若，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】对于，则，解得； 对于，则，解得； 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 5. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 6. 已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定是增函数，奇函数，利用这两个性质变形不等式，再由分离参数法化为，然后利用勾形函数的单调性求得右边的最大值即得． 【详解】是上的增函数，又，即是奇函数， 所以不等式可化为， 所以，又，所以， 由勾形函数的性质知在上是增函数，所以时，， 所以， 故选：D． 7. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意先明确函数在上的单调性和函数值情况并作出函数图，接着分、和三种情况分析即可求解. 【详解】由题意可知，且在上单调递增，在上单调递减，如图： 当时，，故，此时； 当时，满足； 当时，，， 此时，则，所以， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 8. 对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域为 C. 函数最小正周期为1 D. 不等式的解集为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，通过举反例排除；对于B，由取整函数的定义得，即可求得函数值域；对于C，利用函数的周期性定义推得为整数，再利用验证得即可；对于D，利用取整函数的定义求出解集即可. 【详解】对于A，因为当时，，当时，， 即，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，由取整函数的定义可知，，则， 即函数的值域为，故B错误； 对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且， 取，即得，即，则为整数， 又因，， 故函数的最小正周期为1，故C正确； 对于D，由可得：，解得， 而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A. 与 B. 与 C 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由同一函数的定义对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，所以不是同一函数，故错误； 对于D，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确； 故选：AD. 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A可直接利用基本不等式求最大值；选项B可先平方，再利用基本不等式求最大值；选项C利用消元法再结合一元二次函数求得最小值；选项D利用常数代换，再结合基本不等式求得最小值. 【详解】对于选项A，因为，所以，则，当且仅当，时取等号，则的最大值为，故选项A正确； 对于选项B，，由选项A可知，所以，所以，即的最大值为，当且仅当，时取等号，故选项B错误； 对于选项C，，当且仅当，时取等号，故选项C正确； 对于选项D，，当且仅当，时取等号，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于对称 D. 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据函数解析式求出定义域判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用函数的对称性判断；对D，求出在上的值域，再利用对数函数的单调性求解. 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错误； 对于B，因为，设， 因函数在定义域内为增函数，函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，因为该函数的定义域关于对称， 且， 故函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，因为在上的值域为， 所以的值域为，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 关于的不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为二次不等式，再结合分母不为零，即可得出正确解集. 【详解】解：由； 移项得：； 同分得：； 化简得：； 等价于，解得：或者； 综上所述：不等式的解集为：. 13. 已知，求的值______ 【答案】 【解析】 【分析】结合完全平方和公式，利用指数运算性质化简求值即可. 【详解】由，则，即， ，又，则，故， 故. 故答案为： 14. 若是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数．则在区间上的最小值为______． 【答案】##1.75 【解析】 【分析】由为奇函数，为偶函数，求出的解析式，判断在区间的单调性即可求出答案. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以， 解得：， 因为在上单调递减，在上单调递减， 在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 当时，集合， 又或，则， 或；. 【小问2详解】 若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称． （1）求的解析式； （2）若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为，再结合奇偶性计算即可得解； （2）由（1）可得在区间上恒成立，将不等式进行参变分离，得到在上恒成立，由二次函数求出最小值，从而得出结论. 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于y轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符， 所以， 【小问2详解】 由（1）得， 由不等式在区间 上恒成立， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，对称轴为， 则函数在单调递减，在单调递增， 则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知定义域为偶函数，当时. （1）求时，的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）函数在区间上单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性及时的解析式，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3），根据在区间上的单调性，得到，求出答案. 【小问1详解】 时，， 则时，，， 因为为偶函数，所以， 所以时，. 【小问2详解】 函数在区间上单调递增，证明如下： 当时，，，且， 有， 且，从而，即， 所以函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 是偶函数，定义域为， 由，得， 由（2）知函数在区间上单调递增， ， 故，解得， 即实数的取值范围为. 18. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 【答案】（1），59 （2）. 【解析】 【分析】（1）分别求得、和时的解析式，综合即可得答案，代入数据，即可求得，时的值. （2）分别求出、时的表达式，结合基本不等式，反比例函数性质，分析即可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：则， 所以当时，； 【小问2详解】 由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 因为，所以当游玩时间为5小时，取到最小值为. 19. 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【小问1详解】 ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. 【小问2详解】 由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第三次月考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则（ ） A B. C. D. 3. 若，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数，若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数值域为 C. 函数最小正周期为1 D. 不等式的解集为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于对称 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 关于的不等式的解集为___________. 13. 已知，求的值______ 14. 若是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数．则在区间上的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称． （1）求的解析式； （2）若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知定义域为的偶函数，当时. （1）求时，的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）求满足不等式的实数的取值范围. 18. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 19. 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $