2025-2026学年北师大版七年级上册数学期末考试综合复习

北师大版七年级上册数学期末考试综合复习 一．选择题（共13小题） 1．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．2与 B．﹣1与（﹣1）2 C．（﹣1）2与1 D．2与|﹣2| 2．过一个多边形的顶点可作5条对角线，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 3．如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．球 4．下列调查中，适合采用普查方式的是（　　） A．调查白银市中学生的视力情况 B．调查白银市某校七年级（3）班学生的身高情况 C．调查暑假期间到甘肃省白银市旅游的游客数量 D．调查央视“元旦晚会”的收视率 5．为了解某校2000名学生的视力状况，从中随机抽取了500名学生进行视力检查．关于此次调查，下列叙述正确的是（　　） A．所采用的调查方式是普查 B．2000名学生是总体 C．每一名学生的视力状况是个体 D．样本是500名学生 6．下列变形中，不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+3＝y+3 B．若﹣2x＝﹣2y，则x＝y C．若，则x＝y D．若x＝y，则 7．已知点C是线段AB上的一点，不能确定点C是AB中点的条件是（　　） A．AC＝CB B．ACAB C．AB＝2BC D．AC+CB＝AB 8．某商场把一个双肩包按进价提高40%标价，然后按八折出售，这样商场每卖出一个书包仍可盈利12元．设每个双肩书包的进价是x元，根据题意列一元一次方程正确的是（　　） A．40%x•80%﹣x＝12 B．（1+40%）x•80%﹣x＝12 C．（1+40%）x•80%＝12 D．（1+40%）x﹣x＝12 9．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（　　） A．7x+9x＝1 B．xx＝1 C．9x﹣7x＝1 D． 10．下列方程的变形中，正确的是（　　） A．方程3m＝2m﹣1，移项得3m+2m＝1 B．方程3＝2﹣5（x﹣1），去括号得3＝2﹣5x﹣1 C．方程，可化为5（x﹣1）﹣2x＝10 D．方程，可化为 11．按如图程序计算，若开始输入的值为x＝3，则最后输出的结果是（　　） A．6 B．21 C．156 D．231 12．如图图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中共有6个小圆圈，第②个图形中共有9个小圆圈，第③个图形中共有12个小圆圈，…，按此规律，则第⑲个图形中小圆圈的个数为（　　） A．60 B．63 C．66 D．69 13．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．1或﹣1 B．﹣1或﹣4 C．﹣3或﹣6 D．1或﹣8 二．填空题（共10小题） 14．单项式的系数是 　 　 ，次数是 　 　 ． 15．已知：∠A＝50°36′，则∠A的余角　 　 ． 16．绝对值小于2.5的所有负整数的积是　 　 ． 17．将一根木条钉在墙上，至少需要两根钉子，其数学原理是 　 　 ． 18．已知﹣5x3y2n和2x3my2是同类项，则mn的值是 　 　 ． 19．（m﹣3）x|m|﹣2+5＝0是关于x的一元一次方程，则m＝　 　 ． 20．方程x﹣2＝0与方程5x﹣（x+k）＝2x﹣1的解相同，则k的值为 　 　 ． 21．如图，某列火车从白银西站出发，中间经过4个车站才能到达甲地火车站，那么在白银西站和甲地火车站之间，需要安排 　 　 种不同的车票（包括往返路线）． 22．《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著．《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问苦果和甜果各有几个？设苦果有x个，则x的值为 　 　 ． 23．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝　 　 ． 三．解答题（共22小题） 24．计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣16； （2）﹣14÷（﹣5）2×（）﹣|0.8﹣1|． 25．计算：|﹣20|÷5． 26．解方程： （1）5x﹣2（x﹣1）＝3； （2）． 27．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 28．如图，已知线段a，b，求作线段AB，使得AB＝2a﹣b．（不写作法，保留作图痕迹，铅笔作图后请用水性笔加深作图痕迹） 29．一份试卷共30道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确的答案选出来，选对得4分，选错或不选倒扣1分，如果一个学生得了95分，那么他选对了几道题？ 30．随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数． 31．已知一个角是这个角的补角3倍，求这个角的度数？ 32．若有理数a、b、c在数轴上对应的点A、B、C位置如图，化简|c|﹣|c﹣b|+|a+b|+|b|． 33．如图，已知线段AB和CD的公共部分BDABCD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长． 34．如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝3∠DOE．求∠COE的度数． 35．某商场用1170元购进A、B两种新型节能台灯共30盏，这两种台灯的进价、标价如表所示． （1）这两种台灯各购进多少盏？ （2）若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ 类型 价格 A型 B型 进价（元/盏） 30 45 标价（元/盏） 50 70 36．A、B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时走60千米，一列快车从B地出发，每小时走65千米． （1）两车同时出发相向而行，几小时后相遇？ （2）慢车出发1小时后快车从B地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？ 37．如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是1米． （1）若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式分别表示出正方形F的边长＝　 　 正方形E的边长＝　 　 ，正方形C的边长＝　 　 ； （2）观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图中的MN＝PQ）．根据等量关系可求出x＝　 　 ；． （3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成．如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问乙还要多少天完成？甲、乙2个工程队各铺设多少米？ 38．某公司为庆祝2024年元旦特举办跨年联欢演出，现需购买一些扎绳捆绑气球布置会场，甲商店每根收费0.1元；乙商店购买同样的扎绳，一次购买不超过20根时，每根收费0.16元；一次购买超过20根时，超过部分每根收费0.08元．设在同一家商店一次购买的根数为x（x为正整数）． （1）当x超过20根时，到甲商店购买的费用为 　 　 元；到乙商店购买的费用为 　 　 元（用含x的式子表示）． （2）当x超过20根时，购买多少根时，两家商店所收费用相同． 39．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图． （1）某户居民1月份用水5.5m3，试求1月份的水费为多少元？ （2）若某户居民5月份共交水费22元，则该户居民5月份实际用水多少立方米？ 40．A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米． （1）乙出发多长时间后能追上甲？ （2）若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？ 41．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： （1）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？ （2）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 42．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系． （3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可． 43．已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数是b，并且a，b满足|a+16|+（b﹣6）2＝0． （1）点A表示的数为 　 　 ，点B表示的数为 　 　 ； （2）点C为线段AB的中点，数轴上另一点D距离点C有7个单位长度，求点D表示的数； （3）若数轴上的点M从第（2）问中的点C开始以每秒2个单位的速度向右移动，同时点N从点A开始以每秒5个单位的速度也向右移动，设运动时间为t秒，当MB＝NB时，求运动时间t． 44．如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转20°；同时，射线OD从OB开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转5°；设运动时间为t（分钟）（0＜t≤18），解答下列问题： （1）当t为何值时，∠AOD为平角？ （2）当t为何值时，OC平分∠AOB？ （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OB将∠DOC 分成的两个角的度数之比为1：2？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD⊥OC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 45．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点B表示的数 　 　 ；点P表示的数 　 　 ；（用含t的代数式表示） （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上Q？ （3）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长． 北师大版七年级上册数学期末考试综合复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C B C D D B B C D 题号 12 13 答案 A C 一．选择题（共13小题） 1．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．2与 B．﹣1与（﹣1）2 C．（﹣1）2与1 D．2与|﹣2| 【分析】根据各个选项中的说法可以判断选项中的两个数是否互为相反数，从而可以解答本题． 【解答】解：∵2与互为倒数，不是互为相反数，故选项A错误， ∵（﹣1）2＝1，∴﹣1与（﹣1）2互为相反数，故选项B正确， ∵（﹣1）2＝1，∴（﹣1）2与1不是互为相反数，故选项C错误， ∵|﹣2|＝2，∴2与|﹣2|不是互为相反数，故选项D错误， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的乘方、相反数、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 2．过一个多边形的顶点可作5条对角线，则这个多边形是（　　） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解． 【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出5条对角线， ∴n﹣3＝5， 解得n＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了多边形的对角线的公式，牢记公式是解题的关键． 3．如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．球 【分析】由圆锥的展开图特点得出即可． 【解答】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥． 故选：C． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握圆锥的展开图特点是关键． 4．下列调查中，适合采用普查方式的是（　　） A．调查白银市中学生的视力情况 B．调查白银市某校七年级（3）班学生的身高情况 C．调查暑假期间到甘肃省白银市旅游的游客数量 D．调查央视“元旦晚会”的收视率 【分析】根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【解答】解：A．调查白银市中学生的视力情况，适宜用抽样调查方式，故A不符合题意； B．调查白银市某校七年级（3）班学生的身高情况，适宜采用全面调查的方式，故B符合题意； C．调查暑假期间到甘肃省白银市旅游的游客数量，适宜用抽样调查方式，故C不符合题意； D．调查央视“元旦晚会”的收视率，适宜用抽样调查方式，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是关键． 5．为了解某校2000名学生的视力状况，从中随机抽取了500名学生进行视力检查．关于此次调查，下列叙述正确的是（　　） A．所采用的调查方式是普查 B．2000名学生是总体 C．每一名学生的视力状况是个体 D．样本是500名学生 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量以及抽样调查与全面调查的意义，逐项进行判断即可． 【解答】解：A．本次调查是抽样调查，因此选项A不符合题意； B．总体是全校2000名学生的视力情况，因此选项B不符合题意； C．个体是每一名学生的视力情况，因此选项C符合题意； D．样本容量为500，不是500名学生，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查总体、个体、样本、样本容量以及抽样调查与全面调查，理解总体、个体、样本、样本容量以及抽样调查与全面调查的意义是正确解答的前提． 6．下列变形中，不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+3＝y+3 B．若﹣2x＝﹣2y，则x＝y C．若，则x＝y D．若x＝y，则 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【解答】解：（D）当m＝0时， 与无意义，故D选项错误， 故选：D． 【点评】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 7．已知点C是线段AB上的一点，不能确定点C是AB中点的条件是（　　） A．AC＝CB B．ACAB C．AB＝2BC D．AC+CB＝AB 【分析】根据线段中点的定义对每一项分别进行分析，即可得出答案． 【解答】解：A、若AC＝CB，则C是线段AB中点； B、若ACAB，则C是线段AB中点； C、若AB＝2BC，则C是线段AB中点； D、AC+BC＝AB，C可是线段AB是任意一点， 则不能确定C是AB中点的条件是D． 故选：D． 【点评】此题考查了两点间的距离，理解线段中点的概念是本题的关键． 8．某商场把一个双肩包按进价提高40%标价，然后按八折出售，这样商场每卖出一个书包仍可盈利12元．设每个双肩书包的进价是x元，根据题意列一元一次方程正确的是（　　） A．40%x•80%﹣x＝12 B．（1+40%）x•80%﹣x＝12 C．（1+40%）x•80%＝12 D．（1+40%）x﹣x＝12 【分析】首先根据题意表示出标价为（1+40%）x元，再表示出售价为（1+40%）x•80%元，然后利用售价﹣进价＝利润即可得到方程． 【解答】解：根据题意得： （1+40%）x•80%﹣x＝12． 故选：B． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程． 9．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（　　） A．7x+9x＝1 B．xx＝1 C．9x﹣7x＝1 D． 【分析】此题属于相遇问题，把南海到北海的距离看作单位“1”，野鸭的速度是，大雁的速度为，根据野鸭x天的路程+大雁x天的路程＝1，即可列方程． 【解答】解：由题意可得，xx＝1． 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 10．下列方程的变形中，正确的是（　　） A．方程3m＝2m﹣1，移项得3m+2m＝1 B．方程3＝2﹣5（x﹣1），去括号得3＝2﹣5x﹣1 C．方程，可化为5（x﹣1）﹣2x＝10 D．方程，可化为 【分析】将下列解方程按照合并同类项、去括号、同时扩大的方法整理方程即可判断正确选项． 【解答】解：A选项：方程3m＝2m﹣1两边同时减2m得，3m﹣2m＝﹣1，不符合题意； B选项：方程3＝2﹣5（x﹣1）去括号得3＝2﹣5x+5，不符合题意； C选项：方程两边同时乘10得，5（x﹣1）﹣2x＝10，符合题意； D选项：将方程分母化整数，得，不符合题意． 故答案选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程计算，熟练掌握一元一次方程式解本题的关键．本题化简方程时容易忽略分母扩大，分子并未扩大导致解方程出错． 11．按如图程序计算，若开始输入的值为x＝3，则最后输出的结果是（　　） A．6 B．21 C．156 D．231 【分析】把x＝3代入代数式求解，如结果大于100就输出，若小于100就代入再算，直到大于100为止． 【解答】解：当x＝3时，6＜100， 当x＝6时，21＜100， 当x＝21时，231＞100， 故选：D． 【点评】本题考查了代数式求值及有理数的混合运算，理解图示是解题的关键． 12．如图图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中共有6个小圆圈，第②个图形中共有9个小圆圈，第③个图形中共有12个小圆圈，…，按此规律，则第⑲个图形中小圆圈的个数为（　　） A．60 B．63 C．66 D．69 【分析】根据图形的变化规律可知，每个图形都比前一个多三个小圆圈，总结出第n个图的表达式即可． 【解答】解：由题知，第①个图形中一共有2×3＝6个小圆圈， 第②个图形中一共有3×3＝9个小圆圈， 第③个图形中一共有4×3＝12个小圆圈， …， ∴第n个图形中一共有（n+1）×3个小圆圈， ∴第⑲个图形中小圆圈的个数为（19+1）×3＝60个， 故选：A． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，总结出图形的变化规律是解题的关键． 13．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　） A．1或﹣1 B．﹣1或﹣4 C．﹣3或﹣6 D．1或﹣8 【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数，确定a＝﹣1或a＝2，从而求出d的值，即可求解． 【解答】解：∵﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2， ∴﹣7+6+8+b＝2， ∴b＝﹣5， ∵6+4+b+c＝2，a+8﹣7+d＝2， ∴c＝﹣3，a+d＝1， ∴a＝﹣1或a＝2， 当a＝﹣1时，d＝2，此时a+b＝﹣6， 当a＝2时，d＝﹣1，此时a+b＝﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出a、d的可能取值是解题的关键． 二．填空题（共10小题） 14．单项式的系数是 　　 ，次数是 　5　 ． 【分析】根据单项式系数及次数的定义解答即可． 【解答】解：单项式的系数是，次数是4+1＝5． 故答案为：，5． 【点评】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键． 15．已知：∠A＝50°36′，则∠A的余角　39°24′　 ． 【分析】角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．用90°减去一个角的余角就等于这个角的度数． 【解答】解：根据余角的定义，知∠A的余角是90°﹣50°36′＝39°24′． 故答案为39°24′． 【点评】此题考查余角和补角，关键是主要记住互为余角的两个角的和为90度． 16．绝对值小于2.5的所有负整数的积是　2　 ． 【分析】先求出绝对值小于2.5的所有的负整数，再求积． 【解答】解：绝对值小于2.5的所有负整数是﹣2，﹣1． 它们的积为﹣2×（﹣1）＝2． 【点评】这类题注意一步一步的来，先求负整数，再求积，难度不大． 17．将一根木条钉在墙上，至少需要两根钉子，其数学原理是 　两点确定一条直线　 ． 【分析】将一根木条钉在墙上，至少需要两根钉子，是因为经过两点有且只有一条直线． 【解答】解：将一根木条钉在墙上，至少需要两根钉子，其数学原理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【点评】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，把数学知识和生活实际紧密联系起来是关键． 18．已知﹣5x3y2n和2x3my2是同类项，则mn的值是 　1　 ． 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此解答即可． 【解答】解：若﹣5x3y2n和2x3my2是同类项， 则3m＝3，2n＝2， 所以m＝1，n＝1， 所以mn＝1×1＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了同类项，有理数的乘法，熟知同类项的定义是解题的关键． 19．（m﹣3）x|m|﹣2+5＝0是关于x的一元一次方程，则m＝　﹣3　 ． 【分析】根据一元一次方程的定义求解即可． 【解答】解：由题意，得 |m|﹣2＝1且m﹣3≠0， 解得m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元一次方程，一元一次方程的未知数的指数为1且未知数的系数不等于零． 20．方程x﹣2＝0与方程5x﹣（x+k）＝2x﹣1的解相同，则k的值为 　5　 ． 【分析】先解方程x﹣2＝0，从而可得：x＝2，然后根据题意可得：把x＝2代入方程5x﹣（x+k）＝2x﹣1中得：10﹣（2+k）＝4﹣1，最后进行计算即可解答． 【解答】解：x﹣2＝0， 解得：x＝2， 由题意得：把x＝2代入方程5x﹣（x+k）＝2x﹣1中得： 10﹣（2+k）＝4﹣1， 10﹣2﹣k＝4﹣1， ﹣k＝4﹣1+2﹣10， ﹣k＝﹣5， k＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了同解方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21．如图，某列火车从白银西站出发，中间经过4个车站才能到达甲地火车站，那么在白银西站和甲地火车站之间，需要安排 　30　 种不同的车票（包括往返路线）． 【分析】根据线段条数的计算方法求出图形中所有线段的条数，再根据方向性确定车票的种类即可． 【解答】解：图中线段的总条数为1+2+3+4+5＝15（条）， 所以从A到B需要车票的种类为15×2＝30（种）， 故答案为：30． 【点评】本题考查线段、射线、直线，掌握线段数量的计算方法是正确解答的关键． 22．《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著．《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问苦果和甜果各有几个？设苦果有x个，则x的值为 　343　 ． 【分析】若设苦果有x个，则甜果有（1000﹣x）个，利用总价＝单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值． 【解答】解：若设苦果有x个，则甜果有（1000﹣x）个， 根据题意得：x（1000﹣x）＝999， 解得：x＝343， ∴x的值为343． 故答案为：343． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 23．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝　　 ． 【分析】直接利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等得出n的值，即可得出答案． 【解答】解：设右上角方格内的数为x，右下角的数为y 根据题意可知：m+4+x＝6+1+x，6+n+y＝m+1+y， 解得n＝﹣2，m＝3， ∴mn＝3﹣2． 故答案为：． 【点评】此题主要考查二元一次方程的应用，正确得出m，n的值是解题关键． 三．解答题（共22小题） 24．计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣16； （2）﹣14÷（﹣5）2×（）﹣|0.8﹣1|． 【分析】（1）先去括号．再从左到右依次计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣16 ＝12+18﹣7﹣16 ＝30﹣7﹣16 ＝7； （2）﹣14÷（﹣5）2×（）﹣|0.8﹣1| ＝﹣1÷25×（）﹣0.2 （）﹣0.2 ． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 25．计算：|﹣20|÷5． 【分析】根据有理数混合运算顺序和运算法则计算可得． 【解答】解：原式＝25×（）+20÷5 ＝﹣5+4 ＝﹣1． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算，绝对值的含义和求法，乘方的意义，掌握有理数混合运算的步骤是解决问题的关键． 26．解方程： （1）5x﹣2（x﹣1）＝3； （2）． 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答． （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答． 【解答】（1）5x﹣2（x﹣1）＝3 解：5x﹣2x+2＝3 5x﹣2x＝3﹣2 3x＝1 x． （2） 解：4（2x﹣1）＝3（x+2）﹣12 8x﹣4＝3x+6﹣12 8x﹣3x＝6﹣12+4 5x＝﹣2 x． 【点评】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答． 27．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【分析】读图可得，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为1，2，1；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1；从上面看有3行，每行小正方形数目分别为2，2，2，依此画出图形即可． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． 28．如图，已知线段a，b，求作线段AB，使得AB＝2a﹣b．（不写作法，保留作图痕迹，铅笔作图后请用水性笔加深作图痕迹） 【分析】在射线AM上延长截取AC＝CD＝a，再在AD上截取DB＝b，则线段AB满足条件． 【解答】解：如图，线段AB为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 29．一份试卷共30道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确的答案选出来，选对得4分，选错或不选倒扣1分，如果一个学生得了95分，那么他选对了几道题？ 【分析】设该学生选对了x道题，则他选错或不选（30﹣x）道题，根据选对的得分﹣选错或不选倒扣的分＝95列出方程，解方程即可． 【解答】解：设该学生选对了x道题，则他选错或不选（30﹣x）道题， 根据题意得：4x﹣（30﹣x）＝95， 解得：x＝25． 答：他选对了25道题． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 30．随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数． 【分析】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，然后再求出在线听课的人数，即可将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据可以求得该校对在线阅读最感兴趣的学生人数． 【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为：18÷20%＝90， 在线听课的人数为：90﹣24﹣18﹣12＝36， 补全的条形统计图如图所示； （2）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：360°48°， 即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48°； （3）2100560（人）， 答：估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有560人． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 31．已知一个角是这个角的补角3倍，求这个角的度数？ 【分析】设这个角是x°，则补角是（180﹣x）度，再根据一个角是这个角的补角3倍列出方程求解即可． 【解答】解：设这个角是x°，则补角是（180﹣x）度， 根据题意得：x＝3（180﹣x） 解得x＝135， ∴这个角的度数为135度． 【点评】本题主要考查了与补角有关的计算，熟知如果两个角的度数之和为180°，那么这两个角互补是解题的关键． 32．若有理数a、b、c在数轴上对应的点A、B、C位置如图，化简|c|﹣|c﹣b|+|a+b|+|b|． 【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出a、b、c的符号，再去绝对值符号，合并同类项． 【解答】解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，c﹣b＞0，a+b＜0， ∴原式＝c﹣（c﹣b）﹣（a+b）﹣b ＝c﹣c+b﹣a﹣b﹣b ＝﹣a﹣b． 【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 33．如图，已知线段AB和CD的公共部分BDABCD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长． 【分析】先设BD＝xcm，由题意得AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm，再根据中点的定义，用含x的式子表示出AE和CF，再根据EF＝AC﹣AE﹣CF＝2.5x，且E、F之间距离是10cm，所以2.5x＝10，解方程求得x的值，即可求AB，CD的长． 【解答】解：设BD＝xcm，则AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm． ∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AEAB＝1.5xcm，CFCD＝2xcm． ∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝6x﹣1.5x﹣2x＝2.5xcm．∵EF＝10cm，∴2.5x＝10，解得：x＝4． ∴AB＝12cm，CD＝16cm． 【点评】本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，注意运用数形结合思想和方程思想． 34．如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝3∠DOE．求∠COE的度数． 【分析】依据∠AOB＝90°，OC是∠AOB的平分线，即可得到∠BOC＝45°，再根据∠COD＝90°，即可得出∠BOD的度数，再根据∠BOD＝3∠DOE，即可得到∠BOE的度数，根据∠COE＝∠BOC+∠BOE进行计算即可． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC是∠AOB的平分线， ∴∠BOC＝45°， 又∵∠COD＝90°， ∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°． 又∵∠BOD＝3∠DOE． ∴∠BOE∠BOD＝30°， ∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝45°+30°＝75°． 【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 35．某商场用1170元购进A、B两种新型节能台灯共30盏，这两种台灯的进价、标价如表所示． （1）这两种台灯各购进多少盏？ （2）若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ 类型 价格 A型 B型 进价（元/盏） 30 45 标价（元/盏） 50 70 【分析】（1）根据题意可得等量关系：A、B两种新型节能台灯共30盏，A种新型节能台灯的台数×30+B种新型节能台灯的台数×45＝1170元；设A种台灯购进x盏，B种台灯购进（50﹣x）盏，列方程即可求解； （2）根据题意列出代数式进行解答即可． 【解答】解：（1）设A种台灯购进x盏，B种台灯购进（30﹣x）盏，可得： 30x+45（30﹣x）＝1170， 解得：x＝12， 30﹣x＝30﹣12＝18． 答：A种台灯购进12盏，B种台灯购进18盏； （2）50×0.9×12+70×0.8×18﹣1170＝378（元）， 答：商场共获利378元． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． 36．A、B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时走60千米，一列快车从B地出发，每小时走65千米． （1）两车同时出发相向而行，几小时后相遇？ （2）慢车出发1小时后快车从B地出发，同向而行，请问快车出发几小时后追上慢车？ 【分析】（1）设两车同时出发相向而行，x小时后相遇，根据两点间的距离＝两车的速度之和×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设快车出发y小时后追上慢车，则此时慢车出发（y+1）小时，根据快车追上慢车时快车比慢车多行驶480千米，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设两车同时出发相向而行，x小时后相遇， 依题意得：（60+65）x＝480， 解得：x． 答：两车同时出发相向而行，小时后相遇． （2）设快车出发y小时后追上慢车，则此时慢车出发（y+1）小时， 依题意得：65y﹣60（y+1）＝480， 解得：y＝108． 答：快车出发108小时后追上慢车． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 37．如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是1米． （1）若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式分别表示出正方形F的边长＝x﹣1　 正方形E的边长＝x﹣2　 ，正方形C的边长＝　或x﹣3　 ； （2）观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图中的MN＝PQ）．根据等量关系可求出x＝　7　 ；． （3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成．如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工2天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问乙还要多少天完成？甲、乙2个工程队各铺设多少米？ 【分析】（1）根据图象由最小的正方形的边长为1可以得出正方形F、E和C的边长； （2）设图中最大正方形B的边长是x米，分别表示出QM和PN的值由QM＝PN建立方程求出其解即可； （3）设余下的工程由乙队单独施工，还要y天完成，由工程问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【解答】解：（1）由题意，得 正方形F的边长（x﹣1）， 正方形E的边长（x﹣2）， 正方形C的边长或x﹣3； 故答案为：x﹣1；x﹣2；或x﹣3． （2）设图中最大正方形B的边长是x米，由图象，得 QM＝x﹣1+x﹣2，PN＝x， ∵QM＝PN， ∴x﹣1+x﹣2＝x， ∴x＝7． 故答案为：7； （3）由（1）（2）可知，长方形MNPQ的长为13米，宽为11米，则长方形MNPQ的周长为2×（13+11）＝48（米）． 设余下的工程由乙队单独施工，还要y天完成，由题意，得 （）×2y＝1， 解得：y＝10． 则甲工程队铺设了48＝9.6（米）． 乙工程队铺设了48﹣9.6＝38.4（米）． 答：还要10天完成，甲工程队铺设了9.6米，乙工程队铺设了38.4米． 【点评】本题考查了代数式表示数的运用，列一元一次方程求值的运用，工程问题的数量关系的运用．在求x的值时运用矩形的性质QM＝PN建立方程是关键． 38．某公司为庆祝2024年元旦特举办跨年联欢演出，现需购买一些扎绳捆绑气球布置会场，甲商店每根收费0.1元；乙商店购买同样的扎绳，一次购买不超过20根时，每根收费0.16元；一次购买超过20根时，超过部分每根收费0.08元．设在同一家商店一次购买的根数为x（x为正整数）． （1）当x超过20根时，到甲商店购买的费用为 　0.1x 元；到乙商店购买的费用为 　（0.08x+1.6）　 元（用含x的式子表示）． （2）当x超过20根时，购买多少根时，两家商店所收费用相同． 【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合甲、乙两家商店给出的优惠方案，可用含x的代数式表示出到甲、乙两家商店购买所需费用； （2）根据两家商店所收费用相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：当x超过20根时，到甲商店购买的费用为0.1x元； 到乙商店购买的费用为0.16×20+0.08（x﹣20）＝（0.08x+1.6）元． 故答案为：0.1x，（0.08x+1.6）； （2）根据题意得：0.1x＝0.08x+1.6， 解得：x＝80． 答：购买80根时，两家商店所收费用相同． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出到甲、乙两家商店购买所需费用；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 39．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图． （1）某户居民1月份用水5.5m3，试求1月份的水费为多少元？ （2）若某户居民5月份共交水费22元，则该户居民5月份实际用水多少立方米？ 【分析】（1）根据5.5＜6，按实际用水量未超过6m3进行计算即可； （2）根据用水费用分析该户居民5月份实际用水量超过6m3且不超过10m3，设该户居民5月份实际用水量为xm3，依题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）5.5＜6， 故1月份的水费为：2×5.5＝11（元）， 答：1月份的水费为11元； （2）∵2×6＝12（元），4×（10﹣6）+12＝28（元），12＜22＜28， ∴该户居民5月份实际用水量超过6m3且不超过10m3， 设该户居民5月份实际用水量为xm3， 根据题意得：4（x﹣6）+12＝22， 解得：x＝8.5， 答：该户居民5月份实际用水8.5立方米． 【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用；根据实际费用，分析用水量处于阶梯费用的什么收费标准是解题的关键． 40．A，B两地相距46千米，甲骑自行车从A地前往B地，速度为每小时15千米，1小时后，乙骑摩托车也沿相同的路线从A地前往B地，速度为每小时40千米． （1）乙出发多长时间后能追上甲？ （2）若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地多少千米？ 【分析】（1）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时，根据路程＝速度×时间，结合甲、乙的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙早出发1小时，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙出发x小时后能追上甲，则此时甲出发了（x+1）小时， 依题意得：40x＝15（x+1）， 解得：x． 答：乙出发小时后能追上甲． （2）设返回途中与甲相遇的地点距B地y千米， 依题意得：1， 解得：y＝10． 答：若乙到达B地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距B地10千米． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 41．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式： （1）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？ （2）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 【分析】能够根据桌子的摆放发现规律，然后进行计算判断． 【解答】解：（1）第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．即有n张桌子时是6+4（n﹣1）＝4n+2． 第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即6+2（n﹣1）＝2n+4． （2）中，分别求出两种对应的n的值，或分别求出n＝25时，两种不同的摆放方式对应的人数，即可作出判断． 打算用第一种摆放方式来摆放餐桌． 因为，当n＝25时，4×25+2＝102＞98 当n＝25时，2×25+4＝54＜98 所以，选用第一种摆放方式． 【点评】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 42．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系． （3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可． 【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可； （2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可； （3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可． 【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝90°+60°＝150°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC＝75°，∠NOC∠BOC＝30°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°． （2）如图2，∠MONα， 理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝α+60°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOCα+30°，∠NOC∠BOC＝30°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOCα． （3）如图3，∠MONα，与β的大小无关． 理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝α+β． ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线， ∴∠MOC∠AOC（α+β）， ∠NOC∠BOCβ， ∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝α+ββ＝αβ． ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC （α+β）βα， 即∠MONα． 【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC． 43．已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数是b，并且a，b满足|a+16|+（b﹣6）2＝0． （1）点A表示的数为 　﹣16　 ，点B表示的数为 　6　 ； （2）点C为线段AB的中点，数轴上另一点D距离点C有7个单位长度，求点D表示的数； （3）若数轴上的点M从第（2）问中的点C开始以每秒2个单位的速度向右移动，同时点N从点A开始以每秒5个单位的速度也向右移动，设运动时间为t秒，当MB＝NB时，求运动时间t． 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出a+16＝0，b﹣6＝0，解之可得出a，b的值，进而可得出点A，B表示的数； （2）由点A，B表示的数及点C为线段AB的中点，可得出点C表示的数为﹣5，设点D表示的数为x，根据CD＝7，可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为t秒时，点M表示的数为﹣5+2t，点N表示的数为﹣16+5t，进而可得出MB＝|11﹣2t|，NB＝|22﹣5t|，结合MB＝NB，可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵|a+16|+（b﹣6）2＝0， ∴a+16＝0，b﹣6＝0， ∴a＝﹣16，b＝6， ∴点A表示的数为﹣16，点B表示的数为6． 故答案为：﹣16，6； （2）∵点A表示的数为﹣16，点B表示的数为6，且点C为线段AB的中点， ∴点C表示的数为5． 设点D表示的数为x， 根据题意得：|x﹣（﹣5）|＝7， 解得：x＝﹣12或x＝2． 答：点D表示的数为﹣12或2； （3）当运动时间为t秒时，点M表示的数为﹣5+2t，点N表示的数为﹣16+5t， ∴MB＝|6﹣（﹣5+2t）|＝|11﹣2t|，NB＝|6﹣（﹣16+5t）|＝|22﹣5t|． 根据题意得：|11﹣2t|＝|22﹣5t|， 即11﹣2t＝22﹣5t或11﹣2t＝5t﹣22， 解得：t或t． 答：t的值为或． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 44．如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转20°；同时，射线OD从OB开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转5°；设运动时间为t（分钟）（0＜t≤18），解答下列问题： （1）当t为何值时，∠AOD为平角？ （2）当t为何值时，OC平分∠AOB？ （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OB将∠DOC 分成的两个角的度数之比为1：2？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD⊥OC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据“∠AOD为平角”列方程求解； （2）根据“OC平分∠AOB”列方程求解； （3）根据“使OB将∠DOC 分成的两个角的度数之比为1：2”列方程求解； （4）根据“OD⊥OC”列方程求解． 【解答】解：（1）由题意得：5t+120＝180， 解得：t＝12， 答：当t为12分钟时，∠AOD为平角； （2）由题意得：20t120， 解得：t＝3， 答：当t为3分钟时，OC平分∠AOB； （3）存在，当t＝4或t使OB将∠DOC 分成的两个角的度数之比为1：2 若∠BOD：∠BOC＝1：2， 则120﹣20t＝2×5t， 解得：t＝4， 若∠BOD：∠BOC＝2：1， 则2（120﹣20t）＝5t， 解得：t， 所以当t＝4或t； （4）存在， 由题意得：5t+120﹣20t＝90或20t﹣120﹣5t＝90， 解得：t＝2或t＝14． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 45．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点B表示的数 　﹣12　 ；点P表示的数 　8﹣5t ；（用含t的代数式表示） （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上Q？ （3）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长． 【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为﹣12；点P表示的数为8﹣5t； （2）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC＝5x，BC＝3x，根据AC﹣BC＝AB，列出方程求解即可； （3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可． 【解答】（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝20， ∴点B表示的数是8﹣20＝﹣12， 设运t（t＞0）秒， ∴点P表示的数是8﹣5t， 故答案为：﹣12，8﹣5t； （2）如图，设点P运动x秒时，在点C处追上点Q， 则AC＝5x，BC＝3x， ∵AC﹣BC＝AB， ∴5x﹣3x＝20， 解得：x＝10， ∴点P运动10秒时追上点Q； 答：点P运动10秒时追上点Q； （3）线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： ， ②当点P运动到点B的左侧时： ， ∴线段MN的长度不发生变化，其值为10． 答：线段MN的长度不发生变化，其值为10． 【点评】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $