3.9弧长及扇形面积 同步测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《3.9弧长及扇形面积》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（   ）． A． B． C． D． 4．如图，是圆O的直径，弦，且，已知，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，扇形的圆心角为点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形为菱形，点在以点为圆心的上，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．如图，扇形中，，，用该扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面周长为 cm． 10．如图，已知一钟表的分针段的长为，若时间从到，则经过扇形的面积为 ． 11．如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为 ． 12．如图，是半圆O的直径，将绕点A逆时针旋转得到线段，若，则图中阴影部分的面积是 ． 13．如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 14．如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品被传送 ．（结果保留） 15．如图，扇形的圆心角是90度，半径是是弧的中点．两个阴影部分的面积差是 ．（取3.14） 三、解答题（满分72分） 16．中，，把它沿所在直线旋转一周，求所得的几何体的全面积． 17．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 18．如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； (2)的长度为______． 19．如图，在中，，以为直径作，与相交于点D．连接，与相交于点E．      (1)如图1，连接，求，的度数； (2)如图2，若点D为的中点，且，求的长． 20．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，扇形的圆心A、点B、点C的坐标分别为、且均在格点上，请解答下列问题：（不需要写作图过程） (1)画出以点为旋转中心，扇形沿逆时针方向旋转后的扇形； (2)以点为对称中心，画出扇形关于点N的中心对称图形扇形． (3)点C绕点N顺时针旋转的路径长为_____，线段绕点M旋转扫过的面积为___． 21．如图1，A、B是上两点，C是的中点，，的半径为4． (1)①求证：四边形是菱形； ②图中的阴影部分面积为________； (2)如图2，点P是线段上动点，以为半径作小圆，连接，当P运动到什么位置时，是小圆的切线，并说明理由； 22．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 23．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 2．A 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于． 【详解】解：这个圆锥的侧面积． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：管道展直长度是， 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，求弧长．过点O作于点E，连接，根据垂径定理，可得，在中，利用特殊角锐角函数值可得，从而得到，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于点E，连接， ∴， ∵，，是圆O的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为． 故选：A 5．D 【分析】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质得到为等边三角形，得到， ，根据勾股定理求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【详解】解：， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查扇形面积的计算和菱形的相关知识，首先算出扇形的圆心角，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接， 四边形为菱形，点在以点为圆心的上， ， 三角形为正三角形， ， ， ， ， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了扇形面积计算，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，设与交于点，的半径为，根据得到为等边三角形，根据垂径定理得到，然后证明，得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径，交于，两点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 8．D 【分析】本题考查圆内接四边形，求扇形的面积，解直角三角形，作，等边三角形的性质结合圆内接四边形的性质，求出，三线合一，解直角三角形，求出的长，利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点， ∴ ， ∴， 如图；作 ， 则：， ∴ ， ∴阴影部分的面积为； 故选：D． 9． 【分析】本题考查扇形弧长公式与圆锥侧面展开图的关系，解题思路是利用扇形弧长等于圆锥底面周长，通过扇形弧长公式计算；考查的知识点是扇形弧长公式、圆锥侧面展开图的性质，用到的思想是转化思想，方法是公式法，技巧是明确扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，解题关键是正确运用扇形弧长公式，易错点是混淆扇形半径与圆锥底面半径的关系． 【详解】解：∵扇形中，，， ∴ 故答案为． 10． 【分析】本题考查了扇形面积的计算；根据分针转一大格即5分钟所转的角度是，则可计算出分针从到所转的角度，即可得扇形的圆心角，从而由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：分针从到所转的角度为， 所以分针所扫过的扇形的面积是； 故答案为：． 11．/ 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，弧长公式，根据垂径定理和等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， ． 为的弦，， ， ∵， ∴的半径是2， 劣弧的长为． 故答案为：． 12． 【分析】先求出与，再利用勾股定理求得，然后分别求出、、，再利用求解即可． 【详解】解：如图，交半圆于点，过点作于点，连结， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形,求扇形面积,求其他不规则图形的面积,根据旋转的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 13．/ 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查弧长的计算，根据题意可知传送带上的物品平移的距离是圆心角为的扇形的弧长．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：根据弧长公式可知， 传送带上的物品被传送的距离为∶． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查不规则面积求法，涉及扇形面积公式、圆面积公式等知识，数形结合，准确表示不规则图形面积是解决问题的关键． 如图所示，，，从而得到两个阴影部分的面积差是，再由代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ，， ， 故答案为：． 16．解：在中，， 由勾股定理得， 由三角形面积公式（为边上的高，即圆锥底面半径）， 得， 沿旋转转周所得几何体是两个同底圆锥， 其全面积为两个圆锥侧面积之和，由圆锥侧面积公式（为母线长）， 得． 17．（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点，如图所示， ∴点即为所求圆心． （2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角， ∴， ∴， ∴弧的长为． 18．（1）解：①的外接圆圆心，如图所示： ②在上作点，使平分，如图所示： （2）解：由（1）中的②得出四边形是正方形，， ∴， 则的长度． 19．（1）解：，O是的中点 ∴， ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴， ； （2）解：连接， ，为中点， ， ， 为等边三角形， ， ， 的长为：． 20．（1）解：扇形如图所示： （2）解：扇形如图所示； （3）解：依题意，， 则点C绕点N顺时针旋转的路径长为； 则， 线段绕点M旋转扫过的面积为． 21．(1)①见解析；② (2)当时，是小圆的切线，见解析 【分析】对于（1），①根据等弧所对的圆心角相等，即可得出和都是等边三角形，再根据“四边相等的四边形是菱形”得出答案； ②根据扇形的面积减去三角形的面积可得结果； 对于（2），根据等边三角形的性质可得，且，可得是小圆的切线． 【详解】（1）①连，如图， 是的中点，， . 又， 和都是等边三角形， ， 四边形是菱形． ②； 如图所示，过点O作，交于点D， ∵， ∴． 根据勾股定理，得． ∴， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：． （2）解：连接， 当点P运动到的中点时，是小圆的切线． 理由如下： 由①可知是等边三角形，点P是的中点， ，且， ∴是小圆的切线． 所以，当是的中点，是小圆的切线． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，求扇形的面积，切线的判定，等边三角形的判定和性质，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差是解题的关键． 22．(1)见解析 (2)①；②阴影部分的图形面积为． 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，度角的性质，扇形面积公式，勾股定理． （1）连接，根据切线的性质得到，进而证明，得到，根据等边对等角得到，进而得到，即可证明是的角平分线； （2）①设，根据度角的性质得到，，可得，求解即可； ②根据扇形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，即可得到阴影部分的图形面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线与相切， ∴． ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）①解：设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得； ②解：在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴阴影总分的面积为． 23．（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $