专题01 有理数（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材湘教版

该初中数学有理数期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，构建“概念-运算-应用”三维知识体系。按有理数分类、数轴与绝对值等12个知识点分层展开，每个知识点配套定义解析、典型示例及易错点标注，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，题型涵盖混合运算、实际应用等四类，如混合运算强调“定顺序、看符号、巧简化”技巧培养运算能力，数轴与绝对值综合题结合几何直观分析提升抽象能力。基础通关练、重难突破练等分层习题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习时高效突破薄弱环节。

专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的分类 能独立完成有理数分类树状图（整数/分数→正/负/零），辨析非有理数（如π） 高频易错点，选择题常设π为干扰项，易忽视"0既非正也非负"的特性 数轴三要素 能规范绘制数轴并标出给定数对应的点，理解单位长度变化对数值比较的影响 常考画图题，易错点：漏标箭头或原点，混淆"数"与"点"的对应关系（如-3.5的位置） 相反数与绝对值 能快速求任意数的相反数，用绝对值的几何意义比较负数大小 考查"0的相反数是其本身"等特殊情形（易错点）；求含字母的绝对值（如|a-2|的最小值问题）；混淆相反数与倒数（如-3的相反数是3，倒数是-1/3）；忽略绝对值的非负性（如|a|+1的最小值是1，非0） 有理数大小比较 掌握三法：数轴法（左小右大）、绝对值法（负数的绝对值越大越小）、作差法 高频出现在选择题，易错点：比较"-3/4与-2/3"时误判分母大小关系 科学记数法 能快速转换大数（如384000→3.84×10⁵），保持有效数字精确度 实际应用题高频考点，易错点：10的指数符号错误 混合运算顺序 严格遵循"先乘除后加减，括号优先"，能使用分配律简化计算 压轴题核心考点，易错点：看到同级运算从左往右算（实际可灵活调整顺序优化计算） 知识点01 有理数的概念 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。有理数是能够表示为两个整数之比的数。…… ·示例：整数5可表示为，分数、直接符合形式，因此都是有理数；无限不循环小数（如π、）不能表示为两个整数之比，不属于有理数。 ·易错点：容易忽视π 知识点02 数轴、相反数、绝对值 1.数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度. 3.画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度. 4.只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 5.一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 示例：（1）标出-3.5的位置：在原点左侧，介于-3和-4之间。 （2）|a-2|的最小值为0（当a=2时）。 （3）0的相反数和绝对值均为0。 ·易错点：漏画箭头或单位长度标记。混淆"数"与"点"的对应关系（如将-3.5标在-3的位置）；混淆相反数与倒数（如-3的倒数是-1/3，相反数是3）。忽略绝对值的非负性（如认为|a|可能是负数）。 知识点03 有理数比较大小 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 示例：比较-3/4与-2/3：绝对值3/4 > 2/3 ⇒ -3/4 < -2/3。 易错点：误判负数大小（如认为分母越大数值越大） 知识点4 有理数加法法则 有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算） 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数） 4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a 示例：3-(+5)=3-5=-2（易错：漏变符号得8）。 易错点：去括号时符号漏变（如将-(-5)写成-5） 知识点5 加法运算定律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a； 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。 运用有理数加法的运算律进行计算时，通常： 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。 3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。 示例：同号结合：(−7)+(−3)+10=−10+10=0；凑整简化：.6+(−3.2)+(−2.8)=5.6+[(−3.2)+(−2.8)]=5.6+(−6)=−0.4相反数抵消：(−4)+3+4=[(−4)+4]+3=0+3=3 易错点：未优先计算相反数导致复杂化（如 (−5)+5+3不先算 (−5+5)）。小数或分数运算时符号错误（如 −2.5+1.8 误算为 −0.7 写成 0.7）。 知识点6 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 示例：5−3=5+(−3)=2；−4−(−2)=−4+2−2（减去负数相当于加正数）；0−6=0+(−6)=−6 易错点：符号错误：如 −3−5 误算为 −3+5=2−（正确应为 −3−5=−8−）。 去括号错误：如 7−(−2) 误算为 7−2=5（正确应为 7+2=9）。 混淆减数和被减数：如 2−5 误算为 5−2=3（正确应为 −3）。 知识点7 有理数乘法法则 1两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2任何数同0相乘，都得0。 3多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 4多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 示例：（同正得正） ；（同负得正） ；（异号得负） （任何数与0相乘为0） 易错点：符号判断错误：如 误算为 （正确应为 ）；忽略“负负得正”：如 误算为 （正确为 ）；混淆乘法和加法符号规则：如 误认为 。 知识点8 乘法运算定律 1.乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 示例：凑整简化： 分配律逆用： 符号与绝对值分离： 易错点：跳步计算导致符号错误（如 直接写 而忽略中间步骤）。 分数运算时约分错误（如 误算为 ）。 知识点9 有理数除法法则 1.除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 2.两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3.0除以任何一个不等于0的数，都得0。 示例： 易错点：小数点位置错误：如 误算为 （正确为 ）。 符号遗漏：如 误算为 （正确为 ）。 知识点10 有理数乘方法则运算 1.正数的任何次幂都是正数 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 3.0的任何正整数次幂都是0 示例：（正数奇次幂）；（负数偶次幂）；（负数奇次幂）；（0的幂） 易错点：符号混淆：如 误算为 （实际为 ，因指数仅作用于2）。 指数与底数关系不清：如 误算为 （偶次幂应为 ）。 忽略括号： 与 结果不同。 知识点11 科学记数法 1.正数的任何次幂都是正数 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 3.0的任何正整数次幂都是0 示例：25000→2.5×（小数点左移4位） −6.03×102=−603−6.03×102=−603（还原：小数点右移2位） 易错点：混淆科学记数法的概念 知识点12 有理数的混合运算 1.先乘方，再乘除，最后加减。 2.同级运算，从左到右的顺序进行。 3.如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 示例：计算-3²+2×(-1)²：先算乘方再乘法，最后加法（结果：-9+2=-7）。 易错点：混淆运算顺序 题型一 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.定顺序：严格遵循运算顺序： 先乘方 → 再乘除 → 最后加减 括号优先（先算小括号，再中括号，最后大括号） 2.看符号： 先确定每一步结果的符号，再算绝对值。 乘除法符号规则：同号得正，异号得负。 3.巧简化： 优先计算相反数（如 -a + a = 0）。 凑整（如 -3.5 + 4.5 = 1）。 分配律逆用（如 -3×5 + 3×2 = 3×(-5 + 2) = -9）。 易｜错｜点｜拨 坑点1： 与 的区别（前者仅1的幂，后者整体幂）。 坑点2：绝对值未优先计算导致符号错误。 坑点3：分数减法通分错误（如 通分为 ）。 【典例1】（25-26七年级上·湖北·期末）计算： 【变式1】（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1) (2) 题型二 有理数运算的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.建模：将实际问题转化为数学表达式。 收入/上升/增加 → 正数 支出/下降/减少 → 负数 2.抓关键： 明确基准量（如海平面为0，温度0℃等）。 单位统一（如吨→吨，米→米）。 3.验结果：检查是否符合实际意义（如库存不可能是负数）。 易｜错｜点｜拨 坑点1：漏算某一天的数据（如少加一个）。 坑点2：符号混淆（如把“运出”当成正数）。 坑点3：单位不统一（如吨与千克混用）。 【典例1】（2025·山东日照·一模）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为 （元） 根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档． A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【变式1】（23-24七年级下·江苏镇江·期末）一个班级一共有名学生，但后来转学了名学生，女生人数是男生人数的一半，现在一共有多少名男生？解决这道题的综合算式是 ． 【变式2】（25-26七年级上·湖南·期末）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行全科目测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 已知该产品的数学测试分数为分． (1)请补全上表； (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中全科目的总分． 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 题型三 数轴与绝对值综合题 解｜题｜技｜巧 1.画数轴：标出关键点（如原点、正负数）。 2.绝对值几何意义： 表示数轴上与的距离。 表示到原点的距离。 3.分类讨论： 遇到，需考虑 或 。 易｜错｜点｜拨 坑点1：忽略绝对值非负性（认为有解）。 坑点2：未分类讨论（如漏掉）。 【典例1】（24-25七年级上·福建厦门·期末）数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【典例2】（24-25六年级上·山东济南·期末）可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．则： 与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离可以表示为 【变式1】（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 题型四 新定义问题 解｜题｜技｜巧 解有理数混合运算新定义题，先理解新定义，将其转化为数学表达式。根据新定义，代入给定值进行计算。观察计算结果，找出规律。将规律应用于问题求解，验证答案正确性。 【典例1】（25-26七年级上·四川·期末）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示，孩子已经出生的天数为 ． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·湖北·期末）如图，，两点在数轴上表示的数分别是，，以下结论错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）据某网站报道一粒废旧纽扣电池可以使600吨水受到污染，某校团委四年来发动全体团员同学共回收废旧纽扣电池3500粒．若这3500粒废旧纽扣电池可以使m吨水受到污染，用科学记数法表示（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东茂名·期末）如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数；；；中不是“幻生有理数对”的是 ． 4．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则x的取值范围是 ． 5．（25-26七年级上·山东·期末）计算： (1)； (2)． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 4．（24-25七年级上·全国·期末）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 5．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）2024年中考的第一天，为了考生出行方便，出租车司机张华从家出发，在东西走向的大道上免费接送考生，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)若出发地记为0，最后一名考生被送到目的地时，张华在出发地的什么方向，距离出发地点多少千米？ (2)若出租车耗电量为度/千米，张华出发前仪表盘显示电量充足，共13度电，当他送完最后一名考生后，能否顺利开车回家？为什么？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 2．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）、、、、五个人练习踢毽子，每个人都可以把毽子踢给另外四个人中的任意一个，先由甲踢毽子，作为第一次传毽子，经过5次传毽子后毽子仍然回到甲处．整个传毽子过程中毽子在甲处共有 种情况． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的分类 能独立完成有理数分类树状图（整数/分数→正/负/零），辨析非有理数（如π） 高频易错点，选择题常设π为干扰项，易忽视"0既非正也非负"的特性 数轴三要素 能规范绘制数轴并标出给定数对应的点，理解单位长度变化对数值比较的影响 常考画图题，易错点：漏标箭头或原点，混淆"数"与"点"的对应关系（如-3.5的位置） 相反数与绝对值 能快速求任意数的相反数，用绝对值的几何意义比较负数大小 考查"0的相反数是其本身"等特殊情形（易错点）；求含字母的绝对值（如|a-2|的最小值问题）；混淆相反数与倒数（如-3的相反数是3，倒数是-1/3）；忽略绝对值的非负性（如|a|+1的最小值是1，非0） 有理数大小比较 掌握三法：数轴法（左小右大）、绝对值法（负数的绝对值越大越小）、作差法 高频出现在选择题，易错点：比较"-3/4与-2/3"时误判分母大小关系 科学记数法 能快速转换大数（如384000→3.84×10⁵），保持有效数字精确度 实际应用题高频考点，易错点：10的指数符号错误 混合运算顺序 严格遵循"先乘除后加减，括号优先"，能使用分配律简化计算 压轴题核心考点，易错点：看到同级运算从左往右算（实际可灵活调整顺序优化计算） 知识点01 有理数的概念 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。有理数是能够表示为两个整数之比的数。…… ·示例：整数5可表示为，分数、直接符合形式，因此都是有理数；无限不循环小数（如π、）不能表示为两个整数之比，不属于有理数。 ·易错点：容易忽视π 知识点02 数轴、相反数、绝对值 1.数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度. 3.画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度. 4.只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 5.一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 示例：（1）标出-3.5的位置：在原点左侧，介于-3和-4之间。 （2）|a-2|的最小值为0（当a=2时）。 （3）0的相反数和绝对值均为0。 ·易错点：漏画箭头或单位长度标记。混淆"数"与"点"的对应关系（如将-3.5标在-3的位置）；混淆相反数与倒数（如-3的倒数是-1/3，相反数是3）。忽略绝对值的非负性（如认为|a|可能是负数）。 知识点03 有理数比较大小 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 示例：比较-3/4与-2/3：绝对值3/4 > 2/3 ⇒ -3/4 < -2/3。 易错点：误判负数大小（如认为分母越大数值越大） 知识点4 有理数加法法则 有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算） 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数） 4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a 示例：3-(+5)=3-5=-2（易错：漏变符号得8）。 易错点：去括号时符号漏变（如将-(-5)写成-5） 知识点5 加法运算定律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a； 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。 运用有理数加法的运算律进行计算时，通常： 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。 3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。 示例：同号结合：(−7)+(−3)+10=−10+10=0；凑整简化：.6+(−3.2)+(−2.8)=5.6+[(−3.2)+(−2.8)]=5.6+(−6)=−0.4相反数抵消：(−4)+3+4=[(−4)+4]+3=0+3=3 易错点：未优先计算相反数导致复杂化（如 (−5)+5+3不先算 (−5+5)）。小数或分数运算时符号错误（如 −2.5+1.8 误算为 −0.7 写成 0.7）。 知识点6 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 示例：5−3=5+(−3)=2；−4−(−2)=−4+2−2（减去负数相当于加正数）；0−6=0+(−6)=−6 易错点：符号错误：如 −3−5 误算为 −3+5=2−（正确应为 −3−5=−8−）。 去括号错误：如 7−(−2) 误算为 7−2=5（正确应为 7+2=9）。 混淆减数和被减数：如 2−5 误算为 5−2=3（正确应为 −3）。 知识点7 有理数乘法法则 1两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2任何数同0相乘，都得0。 3多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 4多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 示例：（同正得正） ；（同负得正） ；（异号得负） （任何数与0相乘为0） 易错点：符号判断错误：如 误算为 （正确应为 ）；忽略“负负得正”：如 误算为 （正确为 ）；混淆乘法和加法符号规则：如 误认为 。 知识点8 乘法运算定律 1.乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 示例：凑整简化： 分配律逆用： 符号与绝对值分离： 易错点：跳步计算导致符号错误（如 直接写 而忽略中间步骤）。 分数运算时约分错误（如 误算为 ）。 知识点9 有理数除法法则 1.除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 2.两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 3.0除以任何一个不等于0的数，都得0。 示例： 易错点：小数点位置错误：如 误算为 （正确为 ）。 符号遗漏：如 误算为 （正确为 ）。 知识点10 有理数乘方法则运算 1.正数的任何次幂都是正数 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 3.0的任何正整数次幂都是0 示例：（正数奇次幂）；（负数偶次幂）；（负数奇次幂）；（0的幂） 易错点：符号混淆：如 误算为 （实际为 ，因指数仅作用于2）。 指数与底数关系不清：如 误算为 （偶次幂应为 ）。 忽略括号： 与 结果不同。 知识点11 科学记数法 1.正数的任何次幂都是正数 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 3.0的任何正整数次幂都是0 示例：25000→2.5×（小数点左移4位） −6.03×102=−603−6.03×102=−603（还原：小数点右移2位） 易错点：混淆科学记数法的概念 知识点12 有理数的混合运算 1.先乘方，再乘除，最后加减。 2.同级运算，从左到右的顺序进行。 3.如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 示例：计算-3²+2×(-1)²：先算乘方再乘法，最后加法（结果：-9+2=-7）。 易错点：混淆运算顺序 题型一 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 1.定顺序：严格遵循运算顺序： 先乘方 → 再乘除 → 最后加减 括号优先（先算小括号，再中括号，最后大括号） 2.看符号： 先确定每一步结果的符号，再算绝对值。 乘除法符号规则：同号得正，异号得负。 3.巧简化： 优先计算相反数（如 -a + a = 0）。 凑整（如 -3.5 + 4.5 = 1）。 分配律逆用（如 -3×5 + 3×2 = 3×(-5 + 2) = -9）。 易｜错｜点｜拨 坑点1： 与 的区别（前者仅1的幂，后者整体幂）。 坑点2：绝对值未优先计算导致符号错误。 坑点3：分数减法通分错误（如 通分为 ）。 【典例1】（25-26七年级上·湖北·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键；因此此题可先算乘方，然后再进行有理数的运算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查有理数的加减运算及含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算即可求解； （2）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26七年级上·湖北·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查有理数的加减运算及含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型二 有理数运算的实际应用 解｜题｜技｜巧 1.建模：将实际问题转化为数学表达式。 收入/上升/增加 → 正数 支出/下降/减少 → 负数 2.抓关键： 明确基准量（如海平面为0，温度0℃等）。 单位统一（如吨→吨，米→米）。 3.验结果：检查是否符合实际意义（如库存不可能是负数）。 易｜错｜点｜拨 坑点1：漏算某一天的数据（如少加一个）。 坑点2：符号混淆（如把“运出”当成正数）。 坑点3：单位不统一（如吨与千克混用）。 【典例1】（2025·山东日照·一模）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为 （元） 根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档． A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，通过计算用电量为度和度时的电费，得到临界值元和元，从而判断各说法． 【详解】用电量度时，电费为元， 当时，用电量在第一档，故（1）正确； 用电量度时，电费为元， 当时，用电量在第二档，故（2）正确； 当 时，用电量在第三档，故（3）正确； 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·江苏镇江·期末）一个班级一共有名学生，但后来转学了名学生，女生人数是男生人数的一半，现在一共有多少名男生？解决这道题的综合算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了综合算式的运用，熟练运用整数乘除法和加法的意义解决实际问题．根据题意先列出学生总人数，再结合女生人数是男生人数的一半，也就是男生人数是女生人数的倍，用总人数除以求出女生人数，然后用女生人数再乘以即可得到男生人数． 【详解】解：现在全班的人数为名， 女生人数是男生人数的一半，也就是男生人数是女生人数的倍，用总人数除以求出女生人数，然后再乘以即可，可得． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（25-26七年级上·湖南·期末）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行全科目测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 已知该产品的数学测试分数为分． (1)请补全上表； (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中全科目的总分． 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 【答案】(1)表格见解析 (2)92，57 (3)671分 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，熟练掌握正负数的应用和有理数的运算法则是解题的关键． （1）求出数学的相对分数，再补全表格即可； （2）先找出相对分数中的最高分和最低分，再用基准分数加上相对分数的最高分即可求出该产品所得的最高分，用基准分数加上相对分数的最低分即可求出该产品所得的最低分； （3）先根据题意列式，然后再按照有理数的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：该产品的数学测试分数为61分，数学的相对分数为（分）， 补全表格如下： 科目 语文 数学 英语 物理 化学 道法 历史 生物 地理 相对分数 （2）解：在相对分数中，最高分为，最低分为， 该产品所得最高分为（分），最低分为（分）， 故答案为：，； （3）解： ， 该产品在本次测试中全科目的总分是671分． 题型三 数轴与绝对值综合题 解｜题｜技｜巧 1.画数轴：标出关键点（如原点、正负数）。 2.绝对值几何意义： 表示数轴上与的距离。 表示到原点的距离。 3.分类讨论： 遇到，需考虑 或 。 易｜错｜点｜拨 坑点1：忽略绝对值非负性（认为有解）。 坑点2：未分类讨论（如漏掉）。 【典例1】（24-25七年级上·福建厦门·期末）数m，n在数轴上如图示，则下列最可能表示数的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上点表示的数，绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键；先根据数轴，且，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可知，，且， ∴， ∴可能表示数的点是C． 故选∶C． 【典例2】（24-25六年级上·山东济南·期末）可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．则： 与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离可以表示为 【答案】 【分析】本题考查绝对值几何意义的应用，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离可以表示为． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 题型四 新定义问题 解｜题｜技｜巧 解有理数混合运算新定义题，先理解新定义，将其转化为数学表达式。根据新定义，代入给定值进行计算。观察计算结果，找出规律。将规律应用于问题求解，验证答案正确性。 【典例1】（25-26七年级上·四川·期末）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 【答案】 1（答案不唯一） 961 【分析】本题主要考查程序流程图与有理数的计算，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算． 本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数． 【详解】解：第一空： 选取三位数100进行运算， ……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， 最后输出的结果可能是（答案不唯一，还可能是169等）； 第二空：从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 同理，运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义． 所以，最大的幸运数为961， 故答案为：1（答案不唯一）；961． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满六进一，根据图示，孩子已经出生的天数为 ． 【答案】92天 【分析】本题考查有理数的混合运算，六进制与十进制转换的关系，结合已知条件中“满十进一”的算式可列出“满六进一”的算式. 【详解】解：∵“满十进一”的数， ∴图片中“满六进一”的数表示的为， ∴孩子已经出生的天数为92天 故答案为：92天 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·湖北·期末）如图，，两点在数轴上表示的数分别是，，以下结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的运算及大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示及运算是解题的关键；由数轴可知，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：，则， ∴，，，， 故选：B． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）据某网站报道一粒废旧纽扣电池可以使600吨水受到污染，某校团委四年来发动全体团员同学共回收废旧纽扣电池3500粒．若这3500粒废旧纽扣电池可以使m吨水受到污染，用科学记数法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；先根据题意求出m的值，再用科学记数法表示出m即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 3．（25-26七年级上·广东茂名·期末）如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数；；；中不是“幻生有理数对”的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义下的有理数运算；根据“幻生有理数对”的定义，逐一计算每对有理数的和的值，并判断是否相等即可． 【详解】解：对于： ， ∴，故是幻生有理数对． 对于 ： =， +=， =，故是幻生有理数对． 对于：， ，故是幻生有理数对． 对于：， ，故不是幻生有理数对． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·山东·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】解题思路是先将有理数的减法转化为加法，再利用加法的结合律简化计算；对于含绝对值的式子，先化简绝对值，再进行加减运算．本题考查有理数的加减运算，涉及的知识点是有理数的运算法则、绝对值的化简．解题中用到的方法是转化法，即将减法转化为加法，将绝对值化简为具体数值．解题关键是正确处理符号（减法变加法时注意符号的变化）．易错点是绝对值化简错误，或减法转加法时符号处理不当． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，数轴，掌握数轴表示数的方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 根据数轴表示数的方法以及点A、点B所表示的数进行计算即可． 【详解】解：由于点A在原点左侧，点A对应整数a，a的最大值是， 又点B在原点右侧，点B对应整数b，而， ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，利用数轴比较大小，熟练掌握数轴上的点的表示方法是解题的关键． 首先 确定点A在原点右侧，点B在原点左侧， 从而得到，又根据 ，得到， 即，即可得出最大的数． 【详解】A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧）， ∴点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∵，所以， ∴； 故选：B． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）的几何意义：数轴上表示数a、数b的两点之间的距离，当时，的值均为定值，则t的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，得到当时，的值均为定值，这个定值是5，进行求解即可． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示x与两点之间的距离，表示x与3两点之间的距离， 则表示x到的距离与x到3的距离的差， 当时，，这两个距离的差都是5， 当时，，这两个距离的差都是， 当时，，这两个距离的差是变化的，最大值是5，最小值是， 则当时，的值均为定值，这个定值是5，则t的最小值3， 故答案为：3． 4．（24-25七年级上·全国·期末）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查有理数的运算，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互为相反数的两个数的绝对值相同，结合有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴或； 故答案为：2或4． 5．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）2024年中考的第一天，为了考生出行方便，出租车司机张华从家出发，在东西走向的大道上免费接送考生，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)若出发地记为0，最后一名考生被送到目的地时，张华在出发地的什么方向，距离出发地点多少千米？ (2)若出租车耗电量为度/千米，张华出发前仪表盘显示电量充足，共13度电，当他送完最后一名考生后，能否顺利开车回家？为什么？ 【答案】(1)张华在出发地的西边，距离出发地点25千米 (2)不能，见解析 【分析】此题主要考查了正数与负数，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．也考查了绝对值的意义和有理数的混合运算． （1）直接将所有数据相加得出答案即可； （2）先算出所有记录数的绝对值与25的和，再乘以度/千米，再与13度电比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ，                      故张华在出发地的西边，距离出发地点25千米. （2）解： （度）度， 则当他送完最后一名考生后，不能顺利开车回家. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）、、、、五个人练习踢毽子，每个人都可以把毽子踢给另外四个人中的任意一个，先由甲踢毽子，作为第一次传毽子，经过5次传毽子后毽子仍然回到甲处．整个传毽子过程中毽子在甲处共有 种情况． 【答案】 【分析】本题考查排列组合问题的应用，通过对每一次传毽子进行分析（确定总传法以及回到甲处的情况种数），即可得出结论．正确理解题意并确定每一次传毽子回到甲处的情况种数是解题的关键． 【详解】解：设甲表示， 第次传：甲必须传给别人（、、、），共有种传法，此时毽子不在甲手里； 第次传：拿毽子的人可以传给甲，也可以传给另外人， ∴能回到甲手里的有种（第次有人拿着，每人都能传给甲）； 第次传：要回到甲手里，第次毽子一定不在甲那， ∵第次总传法是：（种）（第次人，每人传次）， 又∵（种）（减去回到甲的种，剩下种，这种都能传给甲）， ∴第次回到甲有种； 第次传：第次总传法是：（种）， ∵（减去回到甲的种，剩下种不在甲那，这种都能传给甲）， ∴第次回到甲有种； 第次传：第次总传法是（种）， ∵（减去回到甲的种，剩下种不在甲那，这种都能传给甲）， ∴第次回到甲有种． 整个传毽子过程中毽子在甲处共有种情况． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，根据题意要求的的最小值，结合题意，得出，，进而根据，得出，或，，代入式子，即可求解． 【详解】解：∵且为非零整数 ∴， 要使得最小，则都为最小值， ∴ ∵，且最小，则 ∵ ∴ ∵，为整数，且最小，则都为负数， ∴，， ∴， 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $