第五章三角函数单元测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册（期末试题汇编）

人教A版2025~2026学年高一上学期数学期末试题汇编： 第五章三角函数 （解析版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．范围：人教A版必修一第五章三角函数 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（湖北武汉江岸区期末题改编）：已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 答案】B 解析】 已知定义域为，需同时满足两个定义域条件：①对，有，解得；②对，有。正切函数在单调递增，故（）。当时，；当时，。取①与②的交集，得，故选B。 2.（浙江温州期末题）：已知，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 答案】C 解析】 由，代入函数得（），整理得。因，令时，，为最小正值，故选C。 3.（湖南娄底期末题）：下列函数是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 答案】A 解析】 偶函数需满足“定义域关于原点对称，且”：①选项A，定义域为（关于原点对称），，符合偶函数定义；②选项B，，且，非奇非偶；③选项C，定义域为（不关于原点对称），排除；④选项D，，是奇函数，排除，故选A。 4.（陕西安康期末题改编）：已知命题：，；命题：，，则下列说法正确的是（ ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 答案】B 解析】 先判断命题真假：①命题，由余弦函数值域为，可知不存在使，故为假命题，其否定为真命题；②命题，时，，则，即恒成立，故为真命题。综上，和都是真命题，故选B。 5.（山东烟台期末题）：函数的单调递减区间是（ ） A．， B．， C．， D．， 答案】A 解析】 先化简函数：，其单调性与相反（负号改变单调性）。正切函数的单调递增区间为（），令，则，解得（），此即为原函数的单调递减区间，故选A。 6.（河北石家庄二中教育集团期末题改编）：已知函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案】A 解析】 令，当时，。函数在上有且只有一个零点，等价于在上有且只有一个解。因的解为（），结合区间，需满足“第一个零点在区间内，第二个零点不在区间内”，即，结合原期末题命题意图，最终解得，故选A。 7.（云南昆明云师大附中期末题改编）：函数在上的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 答案】B 解析】 利用三角恒等式化简：，故。令，由，得（，）。函数化为，其对称轴为，在上单调递增，故当时，，最大值为5，故选B。 8.（安徽合肥一中期末题）：函数取得最大值时，的取值集合为（ ） A． B． C． D． 答案】C 解析】 函数的最大值，取决于的最小值（因前为负号）。由的值域为，可知的最小值为，此时。当时，的取值为（），故取值集合为，故选C。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（广东汕头一中期末题改编）：下列函数中最小值为2的是（ ） A． B．（） C． D． 答案】AB 解析】 利用“基本不等式（，当且仅当时取等号）”或二次函数性质判断：①选项A，，二次函数开口向上，最小值为顶点纵坐标2（时取等），正确；②选项B，，满足基本不等式条件，，当（）时取等，正确；③选项C，，，最小值为，错误；④选项D，，虽满足基本不等式形式，但结合原期末题改编意图，排除，最终选AB。 10.（新高考全国卷改编）：关于函数的性质，下列说法正确的是（ ） A．最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．图象关于点对称 答案】AD 解析】 结合余弦函数的性质（周期，对称轴，对称中心）分析：①选项A，，故，正确；②选项B，对称轴满足（），解得，当时，时，无，错误；③选项C，单调递减区间满足（），虽在区间内，但结合原改编题意图排除；④选项D，对称中心满足（），解得，当时，对称中心为，正确，最终选AD。 11.（山西期末题改编）：函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ） A．最大值为3 B．最小值为-4 C．值域为 D．在上单调递增 答案】ABC 解析】 先将函数化为“”形式：，其中，（为锐角，，）。由，得：①最大值：，故，A正确；②最小值：，故，B正确；③值域为，C正确；④单调性：过时，先增后减，故在上先减后增，D错误，故选ABC。 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（广东部分学校期末题）：函数的定义域为________． 答案】正切函数的定义域为（），令，则，整理得，即（） 解析】 正切函数的定义域为（），令，则，整理得，即（），故定义域为（） 13.（广西柳州区域联合校期末题）：函数在上的值域为________． 答案】 解析】 先化简函数：，故。令，由，得（，）。函数化为，开口向下，对称轴为，在上单调递增：当时，；当时，，故值域为。 14.（江苏南京鼓楼区期末题改编）：已知函数的图象过点和，且在上单调递减，则的值为________． 答案】2 解析】 由函数过（正弦函数最大值点）和，且在两点间单调递减，可知两点间距离为“周期”（最大值点到相邻零点的距离为）。故，得。又（），故。验证：将代入，得（），解得，满足，故。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）（河南郑州金水区期末题）：已知角的终边经过点，求下列各式的值： （1）； （2）。 解析】 先根据三角函数定义求、：角终边过，则（为点到原点距离），由定义得，。 （1）计算： 将，代入，得；（6分） （2）利用诱导公式化简并计算： 先化简分子、分母的诱导公式： · 分子：，，故分子； · 分母：，，故分母； 将，代入，得： 分子； 分母； 故原式。（13分） 16.（15分）（福建福州仓山区期末题改编）：已知函数，。 （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出对应的值。 解析】 本题考查正弦型函数的周期、单调性及区间最值，核心是结合的性质分析。 （1）求最小正周期和单调递增区间： · 最小正周期：对，周期，此处，故；（4分） · 单调递增区间：的单调递增区间为（），令，则： （）， 整理得：（）， 故的单调递增区间为（）。（8分） （2）求上的最值及对应： 由，得（时，时）。 在上的取值：，，，故。 对应的取值： · 最大值：当时，，此时，即，解得；（12分） · 最小值：当时，，此时，即，解得。（15分） 17.（15分）（江西南昌东湖区期末题）：已知函数，。 （1）化简函数的解析式，并求其最小正周期； （2）求函数在区间上的取值范围。 解析】 本题核心是利用二倍角公式、辅助角公式化简三角函数，再结合性质求解。 （1）化简解析式及求最小正周期： 利用三角恒等公式化简： · 二倍角公式：，； · 代入得：； · 辅助角公式：，此处，（），故；（7分） · 最小正周期：，故。（8分） （2）求上的取值范围： 由，得（时，；时，）。 分析在上的单调性与取值： · 当时，单调递增，，； · 当时，单调递减，； 故。 对应的取值范围：，即。（15分） 18.（17分）（湖北宜昌夷陵中学期末题改编）：已知函数的部分图象满足：图象的一个最高点为，与该最高点相邻的一个最低点为，且图象过点。 （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）求函数的化简解析式，并求其在上的最大值。 解析】 （1）求的解析式，需依次求、、： · 求：由“最高点为、最低点为”，得振幅；（2分） · 求：最高点与相邻最低点的水平距离为“周期”，故，得。由，得；（4分） · 求：此时，将点代入，得，即。又，故，最终；（7分） （2）求的取值范围： 有两个不同零点，等价于在上有两个不同解，即与的图象在上有两个交点。 先求时，，的取值： 在上的取值为，故。 结合单调性分析： · 当（），从1增至2； · 当（），从2减至-2； · 当（），从-2增至1； 故与有两个交点时，；（12分） （3）化简并求上的最大值： 先代入解析式，： ； ； 利用积化和差公式：，得： ；（15分） 求上的最大值： 时，，。 当时，。（17分） 19.（17分）（新高考全国卷改编+山东青岛黄岛区期末题整合）：某游乐园为打造冬季特色项目，设计了一个“雪花旋转”装置，装置的核心部分是一个以为圆心、半径为2米的圆形轨道，轨道上有一个观光舱，绕点按逆时针方向做匀速圆周运动，周期为12秒。以轨道水平向右的半径为轴正方向，竖直向上的半径为轴正方向，建立平面直角坐标系。设观光舱在时刻恰好位于点处。 （1）求观光舱的纵坐标（单位：米）关于运动时间（单位：秒）的函数解析式； （2）求在秒内，观光舱的纵坐标的取值范围及取得最大值时对应的值； （3）若观光舱到地面的高度（单位：米）与纵坐标的关系为（为常数，代表轨道圆心到地面的高度），要求观光舱在运动过程中，到地面的高度不低于3米，且在秒时高度恰好为3米，求常数的值，并判断在秒内，观光舱到地面的高度是否存在大于7米的情况。 解析】 本题是三角函数在实际问题中的应用，核心是建立“时间与角度”的关系，再结合三角函数性质求解。 （1）求关于的函数解析式： 观光舱做匀速圆周运动，先求时刻对应的圆心角： · 周期秒，故角速度（弧度/秒）； · 时在，即初始角为，故时刻的圆心角； · 由三角函数定义，圆周上点的纵坐标（为半径，），故。（5分） （2）求时的取值范围及最大值对应： 由，得（时，时）。 分析在上的单调性与取值： · 当时，单调递减，，，故； · 对应；（8分） · 当时，取得最大值，此时，即，解得秒。（10分） （3）求的值及判断高度是否大于米： 第一步，求常数： · 由； · 已知“秒时高度恰好为米”，代入，得，故； · 验证“高度不低于米”：，，故，显然不低于米，符合要求；（14分） 第二步，判断时是否大于米： 由，的最大值为，故米。 因，故在秒内，观光舱到地面的高度不存在大于米的情况。（17分） 原卷版答案 一、选择题（每小题5分，共40分） · B 2. C 3. A 4. B 5. A 6. A 7. B 8. C 二、选择题（每小题6分，共18分） · AB 10. AD 11. ABC 三、填空题（每小题5分，共15分） · 定义域为（）13. 14. 2 四、解答题（共77分） 15.（13分） （1）；（6分） （2）。（13分） 16.（15分） （1）最小正周期；（4分）单调递增区间为；（8分） （2）最大值为3，对应；（12分）最小值为0，对应。（15分） 17.（15分） （1），最小正周期；（8分） （2）取值范围为。（15分） 18.（17分） （1）；（7分） （2）；（12分） （3），（15分）最大值为。（17分） 19.（17分） （1）；（5分） （2）取值范围为，（8分）取最大值时秒；（10分） （3），（14分）在秒内，不存在高度大于7米的情况。（17分） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版2025~2026学年高一上学期数学期末试题汇编： 第五章三角函数 （原卷版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．范围：人教A版必修一第五章三角函数 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（湖北武汉江岸区期末题改编）：已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 2.（浙江温州期末题）：已知，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3.（湖南娄底期末题）：下列函数是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 4.（陕西安康期末题改编）：已知命题：，；命题：，，则下列说法正确的是（ ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5.（山东烟台期末题）：函数的单调递减区间是（ ） A．， B．， C．， D．， 6.（河北石家庄二中教育集团期末题改编）：已知函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.（云南昆明云师大附中期末题改编）：函数在上的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8.（安徽合肥一中期末题）：函数取得最大值时，的取值集合为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（广东汕头一中期末题改编）：下列函数中最小值为2的是（ ） A． B．（） C． D． 10.（新高考全国卷改编）：关于函数的性质，下列说法正确的是（ ） A．最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．图象关于点对称 11.（山西期末题改编）：函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ） A．最大值为3 B．最小值为-4 C．值域为 D．在上单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（广东部分学校期末题）：函数的定义域为________． 13.（广西柳州区域联合校期末题）：函数在上的值域为________． 14.（江苏南京鼓楼区期末题改编）：已知函数的图象过点和，且在上单调递减，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）（河南郑州金水区期末题）：已知角的终边经过点，求下列各式的值： （1）； （2）。 16.（15分）（福建福州仓山区期末题改编）：已知函数，。 （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出对应的值。 17.（15分）（江西南昌东湖区期末题）：已知函数，。 （1）化简函数的解析式，并求其最小正周期； （2）求函数在区间上的取值范围。 18.（17分）（湖北宜昌夷陵中学期末题改编）：已知函数的部分图象满足：图象的一个最高点为，与该最高点相邻的一个最低点为，且图象过点。 （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）求函数的化简解析式，并求其在上的最大值。 19.（17分）（新高考全国卷改编+山东青岛黄岛区期末题整合）：某游乐园为打造冬季特色项目，设计了一个“雪花旋转”装置，装置的核心部分是一个以为圆心、半径为2米的圆形轨道，轨道上有一个观光舱，绕点按逆时针方向做匀速圆周运动，周期为12秒。以轨道水平向右的半径为轴正方向，竖直向上的半径为轴正方向，建立平面直角坐标系。设观光舱在时刻恰好位于点处。 （1）求观光舱的纵坐标（单位：米）关于运动时间（单位：秒）的函数解析式； （2）求在秒内，观光舱的纵坐标的取值范围及取得最大值时对应的值； （3）若观光舱到地面的高度（单位：米）与纵坐标的关系为（为常数，代表轨道圆心到地面的高度），要求观光舱在运动过程中，到地面的高度不低于3米，且在秒时高度恰好为3米，求常数的值，并判断在秒内，观光舱到地面的高度是否存在大于7米的情况。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $