5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 【基础巩固】 1．函数的图象中与轴最近的最高点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．若，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分又不必要条件 3．用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（ ） A． B． C． D． 4．下列的取值范围能使成立的是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，，则的图象（ ） A．与的图象形状相同，位置不同 B．与的图象关于轴对称 C．向右平移个单位长度，得到的图象 D．向左平移个单位长度，得到的图象 6．方程的解集为___________． 7．定义在区间的函数与的图象交点个数为______． 8．已知，用“五点法”作出在上简图． 【能力拓展】 9．如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点轴作的垂线，垂足为，记线段的长为，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 10．有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为________． 11．已知关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实根． (1)求实数的取值范围； (2)求这两实根之和． 【素养提升】 12．（多选）亚里士多德在《论机械》中提出了“车轮悖论”：车轮圆滚动一圈，车轮底部的点与车轮内部的点的位移相同，为什么点转动的大圆周长会比点转动的小圆周长要长呢？伽利略在解决该问题时指出点在小圆上转动的同时自身还在朝前滑动．以点为原点建立如图直角坐标系，设，下列说法正确的是（ ）（参考数据：，） A．圆沿轴向右滚动时，点的轨迹是正弦曲线 B．圆沿轴向右滚动个单位后，点到轴的距离约为 C．圆沿轴向右滚动个单位后，点到轴的距离约为 D．设圆沿轴向右滚动的距离为，则滚动后点的坐标为 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 【基础巩固】 1．函数的图象中与轴最近的最高点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因是周期函数，画出，的图象（如图）， 由图可知，与轴最近的最高点的坐标为. 故选：B. 2．若，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】因，根据正弦函数图象性质，由，得，所以； 而由，由余弦函数性质，得或，此时或． 因此若，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D 4．下列的取值范围能使成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图分别为函数在区间内的图象． 当时，或， 结合图象可知满足的的取值范围为. 故选：B． 5．（多选）已知，，则的图象（ ） A．与的图象形状相同，位置不同 B．与的图象关于轴对称 C．向右平移个单位长度，得到的图象 D．向左平移个单位长度，得到的图象 【答案】ACD 【解析】， ， 选项A，将图象向左移个单位可以得到的图象， 故与的图象形状相同，位置不同，故A选项正确； 选项B，由，且， 故，所以与的图象不关于轴对称， 故B选项错误； 选项C，因为， 所以把余弦曲线向右平移个单位长度，得到正弦曲线， 故C选项正确； 选项D，因为， 把余弦曲线向左平移个单位长度，得到正弦曲线， 故D选项正确. 故选：ACD. 6．方程的解集为___________． 【答案】 【解析】由可得，解得， 因此，方程的解集为. 故答案为：. 7．定义在区间的函数与的图象交点个数为______． 【答案】4 【解析】在平面直角坐标系中，函数与的图象如图所示， 根据图象，可得函数与的图象交点个数为4. 故答案为：4. 8．已知，用“五点法”作出在上简图． 【答案】见解析 【解析】∵，∴，列表如下： 描点，连线，在上的图象如下： 【能力拓展】 9．如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点轴作的垂线，垂足为，记线段的长为，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，可得，将绕坐标原点逆时针旋转至， 可得，即， 因为线段的长为，所以函数， 由余弦函数的图象可知，满足的大致图象是B选项. 故选：B. 10．有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为________． 【答案】③④ 【解析】是偶函数，是奇函数，与的图像不关于轴对称，①错误； 是偶函数，是保留在轴上方的图像，下方翻折到轴上方， 而是奇函数，与的图像不关于轴对称，②错误； ，是偶函数等价于；故与图像相同，③正确 是偶函数等价于，与图像关于轴对称，④正确. 故答案为：③④. 11．已知关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实根． (1)求实数a的取值范围； (2)求这两实根之和． 【答案】见解析 【解析】(1)令，即， 因为函数在区间有且只有两个不同的零点， 所以函数与有两个不同的交点， 设，画出函数在区间上的图象，如图所示， 结合图象可得，或， 解得， (2)由图可知，这两实根之和为或， 所以或 【素养提升】 12．（多选）亚里士多德在《论机械》中提出了“车轮悖论”：车轮圆滚动一圈，车轮底部的点与车轮内部的点的位移相同，为什么点转动的大圆周长会比点转动的小圆周长要长呢？伽利略在解决该问题时指出点在小圆上转动的同时自身还在朝前滑动．以点为原点建立如图直角坐标系，设，下列说法正确的是（ ）（参考数据：，） A．圆沿轴向右滚动时，点的轨迹是正弦曲线 B．圆沿轴向右滚动个单位后，点到轴的距离约为 C．圆沿轴向右滚动个单位后，点到轴的距离约为 D．设圆沿轴向右滚动的距离为，则滚动后点的坐标为 【答案】BCD 【解析】当圆滚动的距离为时，设圆滚动到点，如图， 点初始位置对应的角为，由于圆转动时沿着顺时针方向， 当圆滚动的距离为时，点转过的角为弧度，为角对应的终边， 则，， 即点，易知点，则，故点， 所以点的轨迹不是正弦曲线，A错，D对； 圆滚动个单位后，， 点到轴的距离，B对； 点到轴的距离，C对； 故选：BCD. 第2页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $