4.4.2 对数函数的图象和性质 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.2 对数函数的图象与性质 学习内容分析 本节内容选自人教A版必修第一册第四章第四节第二课时. 主要内容是对数函数的图象和性质. 对数函数的图象和性质是建立在对数运算和对数函数概念的基础上的一节课，也是学生在系统学习了幂函数及其图象与性质、指数函数及其图象与性质的基础上进行研究的一节课，体现了数形结合的重要思想. 教材首先通过回顾指数函数的研究路径引入，先描点作 的图象，以 为载体，再变化底数，结合信息技术绘制更多图象进行观察和归纳，最后应用性质解决问题，体现了“从特殊到一般”的思维过程，整个过程中突出函数的一般研究思路、并始终贯穿“以形助数，以数辅形，数形结合”的思想方法，目的在于巩固研究函数的一般方法和研究新函数的一般思路，有利于发展学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养. 学生学情分析 在前面幂函数、指数函数的学习中，学生已经经历了结合图象来探究性质的一般过程，对“数形结合”思想有了一定的理解，这为本节课的学习创造了有利条件；同时上一节关于对数函数的概念的学习以及前面对数运算的学习，也为本节内容的学习奠定了基础. 但是，高一阶段学生的抽象思考和逻辑推理能力有限，对于对数的运算也比较生疏（如对换底公式的应用不熟练、指对互化不熟悉等），在学习本节课时中绘制和观察图象需要结合信息技术选取不同底数进行观察、思考和总结. 教学目标 1. 会用描点法画出具体对数函数的图象，能说出对数函数的定义域、值域、单调性、特殊点等基本性质，能利用单调性比较对数值的大小关系；初步感知指数函数与对数函数图象关于直线y = x的对称关系. 2. 类比指数函数的研究路径，经历“由解析式画图→从图象归纳性质→用性质解决问题”的完整探究过程，体会从特殊到一般、数形结合的思想方法. 教学重难点 1. 教学重点：会用描点法画出具体对数函数的图象，能说出对数函数的定义域、值域、单调性、特殊点等基本性质，能利用单调性比较对数值的大小关系. 2. 教学难点：类比指数函数的研究路径，经历“由解析式画图→从图象归纳性质→用性质解决问题”的完整探究过程，体会从特殊到一般、数形结合的思想方法. 教学过程 1. 回顾旧知，导入新课 1. 回顾对数函数的概念及其由来： 问题1：请同学们回顾对数函数的概念？ 一般地，函数 (,且)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞). 问题2：请同学们说一说对数函数的由来？ 由指数函数 (,且)得到 ，进而得到对数函数 . 2. 回顾函数一般研究思路，引出对数函数的研究： 问题3：请回顾指数函数的图象与性质的研究方法和过程，你能类比得到对数函数的图象与性质的研究方法和过程吗？ 通过解析式画出函数图象→由图象归纳概括其性质→应用性质解决问题. 导入课题：那么接下来，我们首先通过画出具体函数图象来探究和归纳性质，不妨从最简单的 开始 绘制图象，直观感知，归纳性质 1. 动手操作，绘制 图象： 任务1：在学案上完成x，y的对应值表，再描点绘制 图象 【学情预设】这个时候可能有部分学生不知道选取哪些x的值比较好，教师现场引导取确定x的值，再让学生填写对应的y的空格，，具体根据学生的情况适当引导，并现场点评问题. 问题4：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 对于底数互为倒数的两个对数函数，比如 和 ，它们的图象是否也有某种对称关系？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？ 任务2：在学案上绘制 图象 2. 利用几何画板改变底数,动态观察 【观察1】绘制出 和 ； 和 ； 和 . 一共三组图象，进行特征观察. 问题5：从图中能观察到对数函数的哪些特征呢？ 【提示】1.定义域；2.值域；3.性质（最值、奇偶性，特殊点，渐近线，单调性）；4.图象间的联系和变化趋势. 【学情预设】这里学生多少能说出一些，要引导他们依序有条理的表达，学生应当能观察到a>1和0<a<1，由此可以自然引入按底数分类后更加精细的观察. 【观察2】当a>1时，观察当a 增大时图象的变化情况. 【观察3】当0<a<1时，观察当a 增大时图象的变化情况. 3. 总结并汇总结论，形成表格 应用性质，解决问题 【新知应用】1.如图所示是对数函数，，的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为______________. 2.函数的图象恒过定点A，则A的坐标为__________. 【例题】比较下列各题中值的大小： （1） ，； （2） ，； （3） 与 () 此例题板书过程，形成范式 【练习】比较下列各题中值的大小 （1） ； （2） 0.51.8，0.54； （3） 0.51.8，0.31.8； （4） ，； 此练习学生书写后通过投屏展示点评 【归纳总结】1.同底（可化同底）利用函数单调性比较大小；2.不同底，引入中间变量或借助函数图象 【思考】指数函数与对数函数间有什么关系？ 一般地，指数函数(,且)与对数函数(,且) ， 它们的定义域与值域正好 .且图象关于直线 对称. 课堂小结和作业布置 1. 小结（师生共同完成） 今天我们学会了：（1）对数函数的标准形式是什么？（2）它的图象一定过哪个点？（3）如何根据底数判断它是增还是减？（4）比较同底对数值大小的关键是什么 2. 作业布置 （1）常规内容：4.2.2作业本练习题； （2）拓展内容：自主查找资料，了解对数函数在实际生活中的应用案例； （3）兴趣内容：对反函数感兴趣的同学可借助AI/互联网进一步了解有关问题. 板书设计 4.4.2 对数函数的图象与性质 【例题】比较下列各题中值的大小： （1） ，； （2） ，； （3） 与 () 学科网（北京）股份有限公司 $