利用三角函数的性质求参数值或范围 专题训练-2026届高三数学一轮复习

专题训练 利用三角函数的性质求参数值或范围（解析版） 一、单选题 1．若点（）是曲线的一个对称中心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】代入余弦函数的对称性的公式，，即可求解. 【详解】由余弦函数的对称性可知，，， 所以，，且， 所以的最小值为. 故选：B 2．若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】辅助角公式、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】将利用辅助角公式化为，利用函数的图像关于y轴对称，得到，计算求解. 【详解】，， 的图像关于y轴对称， ，， 当时，. 故选：B. 3．“”是函数的最小正周期为的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】求正切（型）函数的周期、判断命题的充分不必要条件 【分析】化简函数，根据周期为求出或，再由充分不必要条件的定义判断. 【详解】由于函数，若，则为常数函数，无最小正周期， 若，则根据，则或， 所以“”是函数的最小正周期为的充分而不必要条件. 故选：A 4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】依题意可得，即可求出的大致范围，再由的范围求出的范围，再确定左端点的范围，从而得到，解得即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以，即，又，所以，解得， 由，则， 又，所以，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A 5．已知（，）在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为在上单调递增且为图象的一条对称轴， 所以，， 得：，且（）① 因为是图象的一个对称中心， 所以，得：（）②， 由①②，得：（，），结合，得， 则（），，所以.故. 当时，，所以的最小值为. 故选：A. 6．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据正弦函数的性质列式计算即可求解. 【详解】当时，，且时，， 由函数在区间上单调递增， 故，解得，即. 当时，， 由函数在区间内至少有一个零点， 则，解得. 综上所述，，则的取值范围是. 故选：B. 7．已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据题设条件结合正弦函数的性质由可得或，由可得或，进而分析求解即可. 【详解】由， 则或， 即或， 因为，则为正整数，可以为或， 由， 则或， 即或， 由于为正整数，则可以为或， 综上所述，可以为则的最小值为2. 故选：B 8．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】D 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这两个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，的最小正周期为 B．当时，若，则 C．当在有且仅有两个单调区间，则正数的取值范围为 D．将的图象向右平移个单位后所得图象与的图象关于对称，则正数的最小值为 【答案】BD 【知识点】二倍角的正弦公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据周期公式计算判断A ，应用两角差的正弦公式结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式判断B，应用正弦函数单调性列式计算判断C，应用对称性列式计算判断D. 【详解】对于A，当时，的最小正周期，故A错误； 对于B，当时，，则有，两边平方得：，则，故B正确； 对于C，，当时，，由有且仅有两个单调区间，则，于是，故C错误； 对于D，将的图象向右平移个单位后所得图象的函数为， 其图象与的图象关于对称，可得，即， 故的图象关于直线对称，则，则，， 解得：，，从而当时，正数取得最小值，故D正确. 故选：BD. 10．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若的图象关于点对称，则可取的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】ACD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据图像的平移变换得，利用二倍角的正弦公式得，又由的图像关于点对称得，，进而求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数， 又因为的图象关于点对称， 所以的图象关于点对称， 则，，所以，， 又因为，所以的最小值为1， 故可取的值为1，，4. 故选：ACD. 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的最小正周期为，则 B．若，则函数在上的最小值为 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数在上恰有两个零点，则 【答案】AC 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的周期性求值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】借助辅助角公式将原函数化为正弦型函数后，结合正弦型函数图象及其性质逐项判断即可得. 【详解】， 对A：，解得，故A正确； 对B：若，则， 当时，， 则，故B错误； 对C：当时，， 则有，结合，可得，故C正确； 对D：当时，， 则有，解得，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】令，结合余弦函数的递增区间列出不等式即可求出的取值范围. 【详解】由题可知在上单调递增， 令， 余弦函数的递增区间， 则，即， ，仅满足，代入可得：. 故的取值范围为. 故答案为： 13．已知函数，在内有且只有三条对称轴，则的取值范围是 【答案】 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式、二倍角的余弦公式、cos2x的降幂公式及应用 【分析】根据二倍角公式、降幂公式、辅助角公式，化简整理，可得，根据x的范围，可得的范围，根据正弦型三角函数的图象与性质，结合条件，可得，化简即可得答案. 【详解】由题意 ， 因为，所以， 因为在内有且只有三条对称轴， 所以，解得. 故答案为： 14．若函数，且对任意的满足，则实数 . 【答案】/ 【知识点】辅助角公式、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】用辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数形式，根据正弦型函数的对称性进行求解即可. 【详解】函数， 因为， 所以该函数的对称轴为， 因此有， 于是有， 故答案为： 四、解答题 15．已知函数的图像关于直线对称． (1)求的值和在区间上的值域． (2)若，函数在区间上单调递增，求的值． 【答案】(1)，； (2)4 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】（1）利用正弦函数的对称性、单调性计算即可； （2）根据（1）的结论，利用整体思想结合正弦函数的单调性解不等式，根据条件确定值即可. 【详解】（1）由题意可知时，， 即，又，所以， 即， 当时，， 易知上单调递增，在上单调递减， 则此时， 所以，且在区间上的值域为； （2）由上知，所以，显然，即， 当时，， 若要符合题意需， 解不等式得， 易知，则，此时. 16．已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求在的单调增区间； (3)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)和 (3) 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求sinx型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据两角和的正弦公式，和二倍角公式，以及辅助角公式，对函数进行化简，根据正弦函数的周期性，求出参数值； （2）根据正弦函数的单调增区间，利用换元法求出函数在给定区间上的单调增区间即可； （3）根据函数图形的平移方法，求出平移后的函数解析式，根据函数零点的性质，列出方程，判断有三个零点时参数的范围即可. 【详解】（1） ， 又的最小正周期为，，则，所以. （2）由题意得，得， 即的增区间为， 又， 在增区间为和 （3）由（1）知，所以， 由时，得到， 所以或， 即或， 因为在区间上有且仅有3个零点， 由，令，得；令，得； 由，令，得；，得； 所以，故的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练 利用三角函数的性质求参数值或范围（学生版） 一、单选题 1．若点（）是曲线的一个对称中心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 3．“”是函数的最小正周期为的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知（，）在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C． D．0 6．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 8．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ） A． B．2 C．5 D． 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，的最小正周期为 B．当时，若，则 C．当在有且仅有两个单调区间，则正数的取值范围为 D．将的图象向右平移个单位后所得图象与的图象关于对称，则正数的最小值为 10．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若的图象关于点对称，则可取的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的最小正周期为，则 B．若，则函数在上的最小值为 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数在上恰有两个零点，则 三、填空题 12．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 13．已知函数，在内有且只有三条对称轴，则的取值范围是 14．若函数，且对任意的满足，则实数 . 四、解答题 15．已知函数的图像关于直线对称． (1)求的值和在区间上的值域． (2)若，函数在区间上单调递增，求的值． 16．已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)求在的单调增区间； (3)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $