专题6.1.1 向量的概念（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

本讲义聚焦向量的概念这一核心知识点，从向量“既有大小又有方向”的定义出发，系统梳理几何表示（有向线段）与字母表示的规范方法，深入解析零向量、单位向量的特征，进而构建平行（共线）向量、相等向量的关系判定体系，形成从概念到应用的递进式学习支架。 资料通过即学即练即时巩固概念，结合正方形、梯形等几何图形设计例题与变式，培养学生的几何直观和抽象能力，应用题型（如证明平行四边形）提升推理意识。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生查漏补缺，强化数学语言表达能力。

专题6.1.1向量的概念 教学目标 1．准确理解向量“既有大小又有方向”的核心定义，明确有向线段的三要素，熟练掌握向量的几何表示（有向线段）与字母表示规范； 2．清晰认识零向量、单位向量的本质特征，牢记零向量的表示形式与长度属性，理解单位向量的长度定义； 3．精准区分平行（共线）向量、相等向量的概念，明确两者的核心判定条件，能结合简单情境判断向量关系。 教学重难点 1．重点：向量的核心定义与规范表示方法（几何表示、字母表示），向量模的含义； 平行（共线）向量、相等向量的定义，以及零向量、单位向量的关键特征。 2．难点：零向量方向不确定的特殊性，理解“零向量与任意向量平行”的规定内涵； 把握相等向量“长度相等且方向相同”的双条件，避免仅依据单一条件判断向量相等。 知识点01向量的概念及表示 1.定义:既有_______又有_______的量叫做向量. 2.表示:_______（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、_______、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的_______,有向线段的方向表示向量的_______.向量的大小称为向量的长度(或称_______),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为_______的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2） 单位向量:长度等于_______个单位长度的向量,叫做单位向量. 【即学即练】 1．下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 2．下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 知识点02平行向量与相等向量 1.平行向量（共线向量）:方向_______或_______的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量_______,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度_______且方向_______的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 【即学即练】 1．设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 2．下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 题型01 平面向量的基本概念 【例1】指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 【例2】下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 【变式1-1】下列说法错误的是（  ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【变式1-2】（多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【变式1-3】如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 题型02 平面向量的表示 【例3】某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【例4】如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【变式2-1】如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【变式2-2】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【变式2-3】在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 题型03 平行向量与相等向量 【例5】给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【例6】在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 【变式3-1】下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【变式3-2】（多选）(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式3-3】如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 平行向量需满足“方向相同或相反”（非零向量），且零向量与任意向量平行，无需考量长度；相等向量必须同时具备“长度相等且方向相同”双条件，缺一不可。解题时先明确向量是否为零向量，再分别辨析方向与长度，避免仅凭单一条件误判，同时规范向量表示形式可辅助精准判断。 题型04 平面向量的简单应用 【例7】如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形． 【例8】已知四边形中，.求证：. 【变式4-1】如图所示，在平面上给定了一个四边形，点、、、分别是边、、、的中点，求证：． 【变式4-2】如图所示，点D在的边上，且与点B，C不重合，点E，F分别在，上，.求证：. 【变式4-3】如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 一、单选题 1．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 2．已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 4．已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 5．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若、是单位向量，则 C． D．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 6．如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（    ） A．12对 B．18对 C．20对 D．24对 二、多选题 7．下列能使成立的充分条件是（   ） A． B． C．与方向相反 D．或 8．如图，在单位圆中，向量是（   ）    A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 三、填空题 9．在四边形中，有，则四边形的形状为 . 10．给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 . 11．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.    12．在棱长为的正方体的个顶点中选个点作为向量的顶点和终点，则其中：单位向量共有 个与向量相反的向量，模长为的向量共有 个． 四、解答题 13．如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 14．如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 15．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1.1向量的概念 教学目标 1．准确理解向量“既有大小又有方向”的核心定义，明确有向线段的三要素，熟练掌握向量的几何表示（有向线段）与字母表示规范； 2．清晰认识零向量、单位向量的本质特征，牢记零向量的表示形式与长度属性，理解单位向量的长度定义； 3．精准区分平行（共线）向量、相等向量的概念，明确两者的核心判定条件，能结合简单情境判断向量关系。 教学重难点 1．重点：向量的核心定义与规范表示方法（几何表示、字母表示），向量模的含义； 平行（共线）向量、相等向量的定义，以及零向量、单位向量的关键特征。 2．难点：零向量方向不确定的特殊性，理解“零向量与任意向量平行”的规定内涵； 把握相等向量“长度相等且方向相同”的双条件，避免仅依据单一条件判断向量相等。 知识点01向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2） 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 【即学即练】 1．下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【答案】C 【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量. 故选：C. 2．下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 知识点02平行向量与相等向量 1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 【即学即练】 1．设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 【答案】B 【详解】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同. 故选：B.    2．下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 【答案】D 【详解】对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，若，则，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 故选：D 题型01 平面向量的基本概念 【例1】指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 【答案】速度、加速度、力矩为向量．生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等 【详解】解：向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量． 密度、体积、能量、电阻、功都只有大小，没有方向，不是向量； 而速度、加速度、力矩既有大小，又有方向，为向量． 生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等． 【例2】下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 【答案】D 【详解】对于A，因为零向量的方向是任意的，所以A错误； 对于B，单位向量是长度为一个单位的向量，方向可以是任意方向，所以B错误， 对于C，因为的模长为，所以C错误， 对于D，因为相反向量是模长相等，方向相反的两个向量，所以D正确， 故选：D. 【变式1-1】下列说法错误的是（  ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【答案】C 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，有方向不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量长度相等，方向相同，故D正确. 故选：C. 【变式1-2】（多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】AC 【详解】A．由向量的定义知，加速度是向量，故正确； B．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误； C．由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确； D．向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误． 故选：AC． 【变式1-3】如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 【答案】答案见解析 【详解】所有的边可以构成以下向量：、、、、、、、. 它们的模分别为： ， . 题型02 平面向量的表示 【例3】某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【分析】 【详解】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 【例4】如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为． 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 【变式2-1】如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】4个． 【详解】如图，我们标注一些点， 由图得与向量同向且长度为的向量有，共4个． 【变式2-2】如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为 【变式2-3】在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)3 【分析】 【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：    （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：    （3）   . 题型03 平行向量与相等向量 【例5】给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】对于①，若，则，故①错误； 对于②，若，由于方向不确定是相同或相反，则或是不一定正确的，故②错误； 对于③，若，且，因为零向量的方向是任意的，则的方向不一定相同或相反；只有当时，若，则的方向相同或相反；故③错误； 对于④，若，，由于当，就不能保证，只有当时，才一定有，故④错误； 故选：D. 【例6】在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 【答案】 、 、 、、、、、、、、、、 【详解】（1）与相等的向量：； （2）的负向量：; （3）与共线的向量：. 故答案为：①②③. 【变式3-1】下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【详解】选项A：若方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误； 选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误； 选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具， 所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C正确； 选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误. 故选：C 【变式3-2】（多选）(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确； B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确； C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确； D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确， 故选：BD 【变式3-3】如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)， (2)，，，，，，． 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 平行向量需满足“方向相同或相反”（非零向量），且零向量与任意向量平行，无需考量长度；相等向量必须同时具备“长度相等且方向相同”双条件，缺一不可。解题时先明确向量是否为零向量，再分别辨析方向与长度，避免仅凭单一条件误判，同时规范向量表示形式可辅助精准判断。 题型04 平面向量的简单应用 【例7】如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：在三角形BCD中，G、F分别为CD、CB的中点， 所以 所以 同理可得 即共线 又因为G、F、H、E四点不在同一直线上， 所以GF平行HE，且GF=HE 所以四边形EFGH是平行四边形 【点睛】本题考查了平面向量的四则运算和相等向量，数量的运用向量的四则运算是解题的关键，属于基础题. 【例8】已知四边形中，.求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为 所以四边形为平行四边形. 所以，且. 所以. 【变式4-1】如图所示，在平面上给定了一个四边形，点、、、分别是边、、、的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】解：如图所示， 平面四边形中，点、、、分别是边、、、的中点， 连接，则，且； ，且； ，且； ． 【点睛】本题考查了平面向量相等的定义与应用问题，也考查了中位线定理的应用问题，属于基础题． 【变式4-2】如图所示，点D在的边上，且与点B，C不重合，点E，F分别在，上，.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】根据相等向量的定义，可以得到一个平行四边形，根据平行四边形的性质得到线线平行，再根据已知的向量相等，可得到一组平行线，这样可以得到两组角对应相等，利用相似三角形的判定理可以证明. 【详解】证明：∵，∴且， ∴四边形是平行四边形，∴，∴. 由，得.∴ 【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了平行四边形的判定定理和性质定理，考查了平行线的性质定理，考查了三角形相似的判定定理，考查了推理论证能力. 【变式4-3】如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 【详解】(1)由题意知，在中，，，， 所以，是直角三角形， 因为点为半圆上一点，所以 所以，故 (2)因为，所以，， 即，解得，即。 一、单选题 1．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【分析】详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 2．已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】详解】若，则的方向必相同，充分性成立， 若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立， 所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件. 故选：A 3．下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 【答案】B 【分析】详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误； B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确； C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误； D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误. 故选：B 4．已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（   ） A． B． C． D．不存在这样的向量 【答案】A 【分析】详解】由零向量与任意向量平行，故满足条件； 若，由且，得，这与条件矛盾，故排除； 综上所述，. 故选：A. 5．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若、是单位向量，则 C． D．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 【答案】C 【分析】详解】A.向量不能比较大小，故A错误； B. 若、是单位向量，则，故B错误； C.向量与是相反向量，方向相反，模相等，故C正确； D. 若非零向量与是共线向量，则向量与方向相同或相反，根据向量可以平移，则无法说明四点共线，故D错误. 故选：C 6．如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（    ） A．12对 B．18对 C．20对 D．24对 【答案】D 【分析】详解】在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点， 所以AMND和MNCB为边长相等的正方形，如图所示： 由题意得：，则，有3对；， 则，有6对； ，有1对；，有1对；，有1对； 共有：对，又上述成对向量的方向相反的向量也有12对， 综上，相等的非零向量共有24对. 故选：D 二、多选题 7．下列能使成立的充分条件是（   ） A． B． C．与方向相反 D．或 【答案】ACD 【分析】详解】对于A中，由，可得，所以A符合题意； 对于B中，由时，向量与的方向不一定相同或相反，所以与不一定共线，所以B不符合题意； 对于C中，由与方向相反，则向量与共线，所以，所以C符合题意； 对于D中，由或，得到或，即向量与至少有一个为， 根据与任意向量共线，可得，所以D符合题意. 故选：ACD. 8．如图，在单位圆中，向量是（   ）    A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 【答案】BC 【分析】详解】A：由图可知，的起点为O，的起点为A，故A错误； B：由，知都为单位向量，故B正确； C：，故C正确； D：方向不同，，所以不为相等向量，故D错误. 故选：BC 三、填空题 9．在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【分析】详解】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 10．给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 . 【答案】①③④ 【分析】详解】因为与为相等向量，所以，即①能够使成立； 由于并没有确定与的方向，即②不一定能使成立； 因为当与方向相反时，则，即③能够使成立； 因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立. 故使成立的条件是①③④. 故答案为：①③④. 11．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.    【答案】2 【分析】详解】由题意∥AB可知，，所以，所以. 因为，所以，， 所以，，所以. 又M，O，N三点共线， 所以，，故相等向量有2对. 故答案为：2. 12．在棱长为的正方体的个顶点中选个点作为向量的顶点和终点，则其中：单位向量共有 个与向量相反的向量，模长为的向量共有 个． 【答案】 【分析】详解】如图所示， 其中单位向量有与相反，共个； 正方体棱长为，正方体体对角线长为， 模长为的向量有，，，，，，，，共个． 故答案为：，． 四、解答题 13．如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 14．如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 【答案】(1)23； (2)存在，4； (3)9. 【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有23个. （2）存在，由正六边形的性质知，， 所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个. （3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上， 所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个. 15．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：. 【答案】见解析 【解析】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明； 【详解】解：因为，所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且. 又与的方向相同，所以. 同理可证，四边形是平行四边形，所以. 因为，，所以， 又与的方向相同，所以 【点睛】本题考查向量相等的定义的应用，属于基础题. 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $