3.2.2 双曲线的简单几何性质（10大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质这一核心知识点，系统梳理从基础性质（渐近线、离心率、顶点焦点）到综合应用（弦长面积、中点弦、定点定值、最值及实际问题）的完整脉络，构建从概念理解到解题能力提升的学习支架。 资料以“基础题型归纳+重难点拓展”分层设计，涵盖10类基础题型与综合拓展题，精选2025年各地最新月考及模拟题。实际应用题型（如拱桥截面问题）引导学生用数学眼光观察现实世界，证明与推理题（如直线与双曲线位置关系证明）培养数学思维，课中助力分层教学，课后便于学生针对性查漏补缺。

3．2．2 双曲线的简单几何性质 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：双曲线的简单几何性质 2 题型二：渐近线问题 3 题型三：求离心率的值 4 题型四：求离心率的范围 6 题型五：直线与双曲线的位置关系 7 题型六：弦长、面积问题 8 题型七：中点弦问题 11 题型八：定点定值问题 13 题型九：最值问题 17 题型十：实际应用问题 22 02 重难点拓展 25 题型一：双曲线的简单几何性质 1．（多选题）（2025·高二·新疆喀什·月考）已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 【答案】ACD 【解析】由题意得：双曲线焦点在轴上，且，，，所以，，； 对于选项：根据渐近线公式，所以渐近线方程为，选项正确； 对于选项：根据离心率公式，所以离心率为：，选项错误； 对于选项：根据顶点坐标公式，所以顶点坐标为，选项正确； 对于选项：根据焦点坐标公式，所以焦点坐标为，选项正确. 故选：. 2．（多选题）（2025·高二·河南驻马店·月考）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的实轴长为4 C．的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BC 【解析】双曲线的焦点在轴上，且， 所以，则， 所以的焦点坐标为，A错误； 因为，所以的实轴长，B正确； 的离心率为，C正确； 的渐近线方程为，D错误. 故选：BC. 3．（多选题）（2025·高二·河南开封·期末）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 【答案】ACD 【解析】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确； 由，所以虚轴长为，故B错误； 由得，故C正确；由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 题型二：渐近线问题 4．（2025·高二·江苏南京·月考）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线的渐近线方程为，所以，解得. 故选：A. 5．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【解析】由题设且，故， 所以，双曲线的渐近线方程为， 其中一条与平行，所以，则． 故选：A． 6．（2025·高二·山东泰安·期末）已知直线过双曲线的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线的焦点在轴上， 由直线，取，可得，则， 再由，得，得， 联立，解得． 的方程为． 故选：C． 题型三：求离心率的值 7．（2025·浙江宁波·一模）双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设点在轴右侧，则， 因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 8．（2025·高二·云南玉溪·月考）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于是等边三角形，故, 由于通径长，所以 ， 故，进而，故，即， 故， 故选：D 9．（2025·高二·甘肃庆阳·期末）已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 题型四：求离心率的范围 10．（2025·高二·湖南长沙·期中）已知双曲线若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线的渐近线， 双曲线与直线没有公共点，则. 又因为双曲线离心率大于1，所以C选项符合题意. 故选：C 11．（2025·广西柳州·三模）已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点， 故有，即，， 所以，所以. 所以的范围为. 故选：C 12．（2025·高二·浙江金华·期末）已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的渐近线为，右顶点为， 显然直线过双曲线的右顶点，且斜率为， 所以由渐近线的性质可得， 所以双曲线的离心率为， 又，所以， 故选：A 题型五：直线与双曲线的位置关系 13．（2025·高二·上海·期中）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 【答案】0或1 【解析】因为双曲线的渐近线方程为， 所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 14．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【答案】2 【解析】由双曲线方程知：右顶点为，渐近线为，点在双曲线的外部， 如下图所示， 所以，过点的直线与渐近线平行与双曲线有且只有一个交点. 故共有两条直线满足要求. 故答案为：2 15．（2025·高二·上海浦东新·期中）已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【解析】（1）由题意可得，因为，解得. （2）因为直线与圆相切，所以，可得， 联立得，即， 则，所以方程有两个不等的实根， 设这两个实根分别为、，则， 因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 题型六：弦长、面积问题 16．（2025·高二·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 【解析】（1）由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 17．（2025·高二·广西玉林·期中）已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 【解析】（1）设，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； （2）设， 由（1）及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 18．（2025·高三·云南昆明·开学考试）已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，∴，得，所以 ∴双曲线的方程为 （2）由（1）知，双曲线的右焦点为， ∴经过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线l的方程为， 联立直线与双曲线方程，消y得， 设，，则，， 所以. 题型七：中点弦问题 19．（2025·高二·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【解析】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 20．（2025·高二·湖南株洲·开学考试）双曲线的方程是．求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． 【解析】设直线与双曲线交于,、,两点， 点为的中点，则，． 由，， 两式相减得，即 ， 的方程为，即． 把此方程代入双曲线方程，整理得， 满足， 即所求直线的方程为． 21．（2025·高二·河北·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【解析】（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以可设其方程为， 将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为． （2）设，，因为的中点为，则，， 因为，所以， 即，则，所以， 所以直线的方程为，即． 当直线为时，联立方程，得，，符合题意，故直线的方程为. 题型八：定点定值问题 22．（2025·高二·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【解析】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 23．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，在中，边的中点为.当直线的倾斜角为时，有. (1)求的离心率； (2)若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点. 【解析】（1）设，则， 当直线的倾斜角为时，，所以，故的横坐标为， 代入的方程，得，则，则， 因，则，即，解得（负值舍去）， 故的离心率为. （2）由（1）可知，， 因直线不与轴平行，故设直线，设， 联立，得， 则， 因为，且是线段的中点，则， 所以，即， 因，， 所以， 即， 即 即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点， 则直线过定点. 24．（2025·高二·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为点在双曲线上，得 又因为渐近线方程为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）①直线斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线得， ， 所以， 又点到的距离为， 故的面积为. ②设，， 当直线斜率不为0时，设，代入双曲线得， ，， 所以 ， 若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以， 所以，此时. 当直线斜率时为，对于 所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值. 题型九：最值问题 25．（2025·高二·浙江杭州·月考）已知双曲线的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：； (3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围. 【解析】（1）由题意知双曲线的实轴长为2，离心率为， 故，解得， 故双曲线的方程为； （2）证明：设，则，当时，不妨取， 此时不妨取，则，即； 同理可证当时，有； 当时，圆在处的切线方程为， 即； 由可得， 因为切线交双曲线于，两点， 故，， 设，则， 故 ， 故， 综合上述可知； （3）由（2）可得当时，， ； 的渐近线方程为， 联立，得， 同理可得， 则 ， 由于，故， 由于，则； 当时，不妨取，则， 此时； 当时，不妨取，则， 此时； 综合上述可知. 26．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N. (1)若的面积为，求直线AB的方程； (2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围. 【解析】（1）由题得，解得，所以椭圆的方程为， 等轴双曲线的方程为. 由题意，直线PA的斜率存在，设PA：，则PB：， 联立，消去得， 所以，又，所以，则 将换成，得，所以， 设， 由，消去得， ，所以得， 则，，， 所以，解得， 所以直线AB的方程为； （2）由，消去得，解得， 所以， ，，则， ，， 所以的取值范围为． 27．（2025·高二·重庆九龙坡·期中）已知，，为平面上一动点，且满足，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)若，过点的动直线：交曲线于，（不同于，）两点，直线与直线斜率分别记为，. ①求的范围. ②证明：为定值，并计算定值的范围． 【解析】（1）由题意：，，即的运动轨迹是，焦点为，的双曲线的右支，所以轨迹方程为 （2）①直线：，令，. 联立得到： 故. 因为要同时交于双曲线右支，首先，即存在，使得 同时满足：， 所以且； ② 又因为故①式可化为： 因为且，所以. 题型十：实际应用问题 28．（2025·高二·河北张家口·月考）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 29．（2025·高二·浙江·月考）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【答案】D 【解析】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 30．（2025·高三·河南·月考）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（    ） A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】根据题意：，，故，解得，即， 当水面宽度为米时，即时，， 拱顶M到水面的距离为. 故选：D 1．（2025·高二·安徽·月考）过双曲线上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，.若的面积为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 设， 因为点在双曲线上，所以，即， 因为双曲线的两条渐近线的方程为， 所以， 设渐近线的倾斜角为， 此时，易知， 因为，所以， 所以的面积， 解得，则双曲线的离心率. 故选：A 2．（2025·高二·四川绵阳·期中）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的离心率，双曲线的离心率， ，，， 设双曲线渐近线的倾斜角为，则，即渐近线的倾斜角分别为和， 又两条直线夹角的范围为：， 双曲线两条渐近线的夹角大小为. 故选：B. 3．（2025·高二·河北·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【解析】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4， 设双曲线的右焦点为， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：B. 4．（2025·高二·重庆·期中）已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，，则，则得. 设直线的方程为，依题意设， 则，， 由，两式相减整理得， 化简得，即（*）. 依题意，，即得（**）， 代入（*），可得，化简得. 解得（舍去），或，将其代入（**），解得. 所以. 故选：C. 5．（2025·高二·江西宜春·期中）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线的一个焦点是，可知，且焦点在轴上， 由渐近线方程为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以的方程是. 故选：C. 6．（多选题）（2025·高二·贵州贵阳·月考）设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【解析】将双曲线与直线联立得， 因为直线与双曲线的交点分布在左右两支， 所以， 又，所以，故A正确，B错误； ，， ， 所以， 又，所以，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD. 7．（2025·高二·上海·期中）已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由条件可知，，，即， 双曲线的过第二象限的渐近线的斜率，渐近线方程为，即， 此时渐近线与直线的距离， ，渐近线上的点与点、构成的三角形的面积为， 左顶点到直线的距离， 左顶点与点构成的三角形的面积为， 点是第二象限的点，所以面积的取值范围为. 故答案为： 8．（2025·高二·广东广州·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于两点. (1)求； (2)求的周长. 【解析】（1）由题知，过且倾斜角为的直线斜率为： ， 所以直线的方程为即， 设，， 联立， 整理得：. 由， 所以. 所以 . （2）已知直线与双曲线左右两支分别交于两点， 如图所示： 记的周长为则：， 因为， 且， 所以 ， 又点是直线与双曲线的右支上交点， 所以，所以， 同理， 由点是直线与双曲线的左支上交点， 所以，所以， 所以 ， 所以. 9．（2025·高二·江苏淮安·期中）已知，，三点 (1)求外接圆方程； (2)若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ (3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 【解析】（1）设圆方程为， ， 求出， 所以所求圆方程为； （2）不能， 设双曲线D方程为， 则，所以双曲线方程为， 若存在，由题易知直线斜率存在，设，且， 因为M、N在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点A为线段MN的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 又由题知点P在直线上，且 所以不存在符合题意直线l， 综上，点A不是线段MN的中点 （3）设，直线BS方程为 则， 所以， 所以 得， 同理， 所以. 10．（2025·高二·吉林·月考）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【解析】（1）因为的坐标为，又，，, 又动点满足直线与的斜率之积为，， 即， 故曲线的方程为. （2）根据已知作图如下： 直线过点且倾斜角为，直线的方程为， 联立，消去，整理得，， 设，则， ， 故. 11．（2025·高二·内蒙古赤峰·月考）已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． (1)求的方程； (2)直线与直线的交点分别为，求的最小值． 【解析】（1）对双曲线，令，得， ∴当与轴垂直时，． 由得，即，故， ∵，∴，∴的方程为． （2）①不合题意． ②设， 联立得，， ∴， ，解得， ∵，∴直线方程为， 故，同理， ∴ ． ∴当时，． 12．（2025·高二·云南昆明·期中）双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 【解析】（1）由题可知，， 设，则，即或， ， 又或，所以时，取得最小值1； （2）双曲线的左焦点，又因为直线的倾斜角为，所以， 则直线的方程为， 联立直线方程与双曲线方程，得， 设，则， 则． 13．（2025·高二·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【解析】（1）已知点，，， 则，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； （2）过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 14．（2025·高二·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【解析】（1）由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. （2）判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设， 联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 15．（2025·高二·江苏·月考）(1)已知为双曲线的左顶点，点在上，且的离心率为，求双曲线的方程. (2)已知椭圆 的右焦点为，斜率不为的直线与交于两点.若是线段的中点，求直线的方程. 【解析】（1）由点在上，且的离心率为2，得， 解得，故双曲线的方程为. （2）根据题意作图如下： 由已知椭圆，则右焦点，又线段的中点为， 所以直线的斜率存在且不为，设点. 则，两式相减得，又， 整理得，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 16．（2025·高二·河北邢台·期中）设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 【解析】（1）可化为，圆的圆心为，半径； 可化为，圆的圆心为，半径． 设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得． 故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，， 则，故动圆圆心的轨迹的方程为． （2）设，，易得，则 ， 两式作差得，整理得到， 因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以， 则直线的斜率， 故所求直线方程为，即． 17．（2025·高二·湖北武汉·专题练习）已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点，求证：点在定直线上； 【解析】（1）由题意，设左焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，，左焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. （2） 由题知，因为直线过， 点在第一象限，故直线的斜率不为， 设直线的方程为，，则， 方程的判别式， 由已知为方程的两个根，所以， 因为直线的方程为，直线的方程为联立可得 ，则，即在直线上； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．2．2 双曲线的简单几何性质 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：双曲线的简单几何性质 2 题型二：渐近线问题 2 题型三：求离心率的值 3 题型四：求离心率的范围 3 题型五：直线与双曲线的位置关系 3 题型六：弦长、面积问题 4 题型七：中点弦问题 5 题型八：定点定值问题 5 题型九：最值问题 6 题型十：实际应用问题 8 02 重难点拓展 10 题型一：双曲线的简单几何性质 1．（多选题）（2025·高二·新疆喀什·月考）已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 2．（多选题）（2025·高二·河南驻马店·月考）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的实轴长为4 C．的离心率为 D．C的渐近线方程为 3．（多选题）（2025·高二·河南开封·期末）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 题型二：渐近线问题 4．（2025·高二·江苏南京·月考）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为（    ） A． B．4 C． D．2 6．（2025·高二·山东泰安·期末）已知直线过双曲线的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的方程为（   ） A． B． C． D． 题型三：求离心率的值 7．（2025·浙江宁波·一模）双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·云南玉溪·月考）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高二·甘肃庆阳·期末）已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型四：求离心率的范围 10．（2025·高二·湖南长沙·期中）已知双曲线若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·广西柳州·三模）已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·高二·浙江金华·期末）已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：直线与双曲线的位置关系 13．（2025·高二·上海·期中）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 14．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 15．（2025·高二·上海浦东新·期中）已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 题型六：弦长、面积问题 16．（2025·高二·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 17．（2025·高二·广西玉林·期中）已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 18．（2025·高三·云南昆明·开学考试）已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 题型七：中点弦问题 19．（2025·高二·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 20．（2025·高二·湖南株洲·开学考试）双曲线的方程是．求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． 21．（2025·高二·河北·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 题型八：定点定值问题 22．（2025·高二·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 23．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，在中，边的中点为.当直线的倾斜角为时，有. (1)求的离心率； (2)若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点. 24．（2025·高二·江苏南京·期末）已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型九：最值问题 25．（2025·高二·浙江杭州·月考）已知双曲线的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：； (3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围. 26．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N. (1)若的面积为，求直线AB的方程； (2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围. 27．（2025·高二·重庆九龙坡·期中）已知，，为平面上一动点，且满足，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)若，过点的动直线：交曲线于，（不同于，）两点，直线与直线斜率分别记为，. ①求的范围. ②证明：为定值，并计算定值的范围． 题型十：实际应用问题 28．（2025·高二·河北张家口·月考）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 29．（2025·高二·浙江·月考）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 30．（2025·高三·河南·月考）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（    ） A．4米 B．米 C．米 D．米 1．（2025·高二·安徽·月考）过双曲线上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，.若的面积为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·四川绵阳·期中）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则双曲线两条渐近线的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·河北·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 4．（2025·高二·重庆·期中）已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·江西宜春·期中）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2025·高二·贵州贵阳·月考）设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（   ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 7．（2025·高二·上海·期中）已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 8．（2025·高二·广东广州·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于两点. (1)求； (2)求的周长. 9．（2025·高二·江苏淮安·期中）已知，，三点 (1)求外接圆方程； (2)若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ (3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 10．（2025·高二·吉林·月考）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 11．（2025·高二·内蒙古赤峰·月考）已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． (1)求的方程； (2)直线与直线的交点分别为，求的最小值． 12．（2025·高二·云南昆明·期中）双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 13．（2025·高二·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 14．（2025·高二·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 15．（2025·高二·江苏·月考）(1)已知为双曲线的左顶点，点在上，且的离心率为，求双曲线的方程. (2)已知椭圆 的右焦点为，斜率不为的直线与交于两点.若是线段的中点，求直线的方程. 16．（2025·高二·河北邢台·期中）设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 17．（2025·高二·湖北武汉·专题练习）已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点，求证：点在定直线上； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $