二项分布、超几何分布导学案——2026届高三数学一轮复习

《一轮复习第十章第六节 ：二项分布、超几何分布》导学案 一、目标要求 复习目标 内容 要求 必备知识 通过具体实例，了解二项分布、超几何分布及其数字特征. 理解、识记 关键能力 掌握二项分布、超几何分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.　 应用 二、 先学检查，课堂前测 1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 2．（2022·福建龙岩·模拟预测）某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何区别），现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为 . 三 、将问题化为活动 任务1：二项分布与超几何分布及其区别 问 题 二项分布、超几何分布是怎样的分布列？如何区分二项分布与超几何分布？ 做中学 1．袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列． 解：(1)①确定X取值： ②求各取值的概率： ③写分布列： (2) ①确定Y取值： ②求各取值的概率： ③写分布列： 构中学 1、二项分布： 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为 若随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作:. 2、超几何分布： 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. 3、二项分布与超几何分布的区分辨别： 　 实验 总体个数 概率计算方式 题眼 二项分布 有放回抽样 无限个 利用相互独立事件计算 “将频率视为概率” 超几何分布 不放回抽样 有限个 利用排列组合计算 多出现“分层抽样” 4、二项分布与超几何分布的均值与方差： ①若，则， ②若服从超几何分布，则，其中p=，解释为次品率. 用中学 1．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”． （1）将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望． （2）用分层抽样的方法从这名观众中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列． 2．做投掷一枚骰子的试验，当出现1或2时，就说明这次试验成功，假设骰子质地均匀，则在6次这样的试验中成功次数的期望为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 四、课后练习 1．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 4．某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图， (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望． 5．羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为，乙选手在每回合中得分的概率为． （1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率； （2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《一轮复习第十章第五节 ：二项分布、超几何分布》导学案 一、目标要求 复习目标 内容 要求 必备知识 通过具体实例，了解二项分布、超几何分布及其数字特征. 理解、识记 关键能力 掌握二项分布、超几何分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.　 应用 二、 先学检查，课堂前测 1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【详解】由题意得 故选：D. 2．（2022·福建龙岩·模拟预测）某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何区别），现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为 . 【答案】 【知识点】求超几何分布的概率、计数原理与概率综合 【分析】设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为计算即可. 【详解】设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为. 故答案为：. 三 、将问题化为活动 任务 1：二项分布与超几何分布及其区别 问 题 二项分布、超几何分布是怎样的分布列？如何区分二项分布与超几何分布？ 做中学 1．袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X，求X的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列． 【解析】 (1)由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数X的可能取值为0,1,2，其中每次抽取到黑球的概率均为，所以2次取球可以看成2次独立重复试验，则X～B，可得 P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P (2)若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数Y的可能取值为0,1,2，可得 P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝， 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 P 构中学 1、二项分布： 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为 若随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作. 2、超几何分布： 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布 3、二项分布与超几何分布的区分辨别： 　 实验 总体个数 概率计算方式 题眼 二项分布 有放回抽样 无限个 利用相互独立事件计算 “将频率视为概率” 超几何分布 不放回抽样 有限个 利用排列组合计算 多出现“分层抽样” 4、二项分布与超几何分布的均值与方差： ①若，则， ②若服从超几何分布，则，其中p=，解释为次品率. 用中学 1．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”． （1）将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望． （2）用分层抽样的方法从这名观众中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列． 【解析】（1）“体育迷”对应的频率为：， 用频率估计概率，可知从该地区电视观众中，随机抽取名观众，该观众是“体育迷”的概率为，则；所有可能的取值为， ； ； ； ； 的分布列为： 数学期望. （2）根据分层抽样原则知：抽取的人中，有“体育迷”人，非“体育迷”体育迷人，则所有可能的取值为， ；；； 的分布列为： 2．（2025高三·全国·专题练习）做投掷一枚骰子的试验，当出现1或2时，就说明这次试验成功，假设骰子质地均匀，则在6次这样的试验中成功次数的期望为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A 【知识点】二项分布的均值 【分析】根据二项分布的期望公式求解即可． 【详解】根据题意可知，符合二项分布即， 所以， 故选：A． 四、课后练习 1．（2025·山东济南·模拟预测）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】利用二项分布的期望公式求出的值，然后利用二项分布的方差公式可求得的值. 【详解】因为随机变量，则，解得， 故. 故选：C. 2．（2025·辽宁辽阳·二模）一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】超几何分布的均值 【分析】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，套公式求期望即可. 【详解】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布， 取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则． 故选：C. 3．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望 【答案】 【知识点】计算条件概率、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 4．（25-26高三上·浙江·月考）某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图， (1)求图中的值和样本成绩的中位数； (2)已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)，中位数为75 (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积为1即可求得a，再由频率分布直方图求中位数； （2）根据分层抽样得出每组的人数，再根据超几何分布的概率公式求出相应的概率即可得分布列以及数学期望. 【详解】（1）∵每组小矩形的面积之和为1， ∴， ∴ 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， ∴中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． （2）由分层抽样可知，成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， 且 0 1 2 故． 5．（2021·全国·模拟预测）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为，乙选手在每回合中得分的概率为． （1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率； （2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为3． 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，进而根据独立重复试验的概率公式即可求出结果； （2）求出X的取值，进而求出对应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望即可求出结果． 【详解】（1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A， 可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以； （2）易知X的取值为0，1，2，3，4，且， ，， ，， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $