一元二次不等式有解求参数取值范围 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

已知一元二次不等式有解，求参 1、（2024高一·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【解答过程】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 2、（25-26高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由存在性问题得即可得解. 【解答过程】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 3、（25-26高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【解答过程】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 4、（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果. 【解答过程】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 5、（25-26高一下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【解答过程】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 6、（25-26高一上·山东济南·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时， （i）解关于x的不等式； （i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，转化为得到和是方程的两个实数根据，列出方程组，即可求解； （2）（i）由，求得，把不等式，转化为，分类讨论，即可求得不等式的解集； （i i）由（i）中不等式的解集，结合存在，使得，分类讨论，即可求解. 【解答过程】（1）解：由函数，因为不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根据， 则，解得. （2）解：（i）由函数， 因为，可得，即， 所以， 由不等式，即， 当时，即时，解得或； 当时，即时，即为 解得； 当时，即时，解得或， 综上可得，当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （i i）由（i）知，当时，不等式解集为， 若存在，使得，则满足，解得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得； 当时，不等式的解集为， 此时不存在，使得， 综上可得，实数的取值范围为. 7、（25-26高一上·山东淄博·期中）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）依题意可得是真命题，分和两种情况讨论； （2）依题意参变分离可得存在使得成立，则只需，，利用基本不等式求出即可得解. 【解答过程】（1）若命题：是假命题，则是真命题， 即在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得； 综上所述，的取值范围为. （2）若存在成立， 即存在使得成立，故只需，， 因为，所以，则， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 8、（25-26高一上·福建·期中）已知函数 (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得的值. （2）化简不等式，通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本不等式求得的取值范围. 【解答过程】（1）依题意，的解集是或，则， 且是方程的两个根， 所以，解得． （2）时，在有解， 即在有解， 法一：因为的开口向上，对称轴 ①即时，函数取得最小值. ②即时，当取得最小值，此时， 解得或.又. ③当即，当时取得最小值，此时不成立， 即无解. 综上，． 法二：在有解， 当时不成立， 当时，即在有解，， 令，， 当且仅当即取“”，，. 9、（25-26高一下·河北衡水·期末）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）由f(0)＝2得c，由f(x＋2)－f(x)＝16x得4ax＋4a＋2b＝16x，再根据多项式相等可得答案； （2）转化为存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，求出g(x)max可得答案． 【解答过程】（1）由f(0)＝2，得c＝2， 所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)， 由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b， 又f(x＋2)－f(x)＝16x， 得4ax＋4a＋2b＝16x， 所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2． （2）因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立， 即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立， 令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2， 即m的取值范围为(－∞，－2)． 10、（25-26高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值； （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 11、（25-26高一上·辽宁鞍山·期中）设， (1)若使成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【解题思路】（1）可转化为，，再利用基本不等式可得答案； （2）等价于，分、、、、讨论解不等式可得答案. 【解答过程】（1）由题知，得， 从而， ， 从而，故； （2）不等式，等价于. 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或. 综上：当时，等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 13、（25-26高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 【解题思路】将转化为， （1）讨论和时的情况； （2），显然该函数单调，所以只需即可. （3）讨论当时，当时，当时，如何对有解，其中，，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可. 【解答过程】（1）原不等式等价于， 当时，，即，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则且，无解； 综上，不存在实数，使不等式恒成立. （2）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得即， 所以的取值范围是. （3）若不等式对有解， 等价于时，有解. 令， 当时，即，此时显然在有解； 当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解； 当时，对称轴为，， 时，有解， 结合一元二次函数图象，易得：或， 解得或（无解）， 又∵， ; 综上所述，的取值范围为. 14、（25-26高一上·全国·课后作业）已知不等式． (1)若不等式在时有解，求实数的取值范围； (2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）设，依题意或成立，即可得到不等式，解得即可； （2）设，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. 【解答过程】（1）不等式可化为①， 设， 当不等式①在时有解时， 即存在，使得， 所以或成立， 即或， 解得或， 所以实数的取值范围是． （2）不等式化为②， 设， 因为时不等式②恒成立， 即， 所以， 解得或或； 所以实数的取值范围是． 15、（25-26高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，函数在有解，求的取值范围. 【解题思路】（1）对进行分类讨论，结合判别式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）若恒成立，则 恒成立. 当时，不恒成立； 当时，，解得：. 实数的取值范围为：. （2）当时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 16、（25-26高一上·安徽宣城·期中）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值. （2）对进行分类讨论，结合判别式来求得正确答案. （3）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）若恒成立，则恒成立. 当时，不恒成立； 当时，，解得：. 实数的取值范围为：. （3）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以：的范围为. 17、（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知“，”为假命题，则的最大值为 . 【答案】 【分析】问题化为，恒成立，求右侧最小值即可得范围. 【详解】由题设知，为真命题，即，恒成立， 故只需，得，即. 故答案为：1 18、（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后转化为求函数的最小值. 【详解】在时有解，分离参数得在区间上有解， 只需要不小于函数在区间上的最小值即可， 因为，函数图像对称轴，且， 所以当时，在区间上取最小值，， 所以若命题“”为真命题，则， 实数的取值范围是． 故答案为： 19、（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 20、（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 21、（25-26高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 22、（2025高一·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解析】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 23、（2025高一·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【解析】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 24、（2025·福建宁德·模拟预测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【解析】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D 25、（2025高一·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【解析】因为， 所以. 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”. 所以. 故选：C 26、（2025高一·湖北荆州·阶段练习）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【解析】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $已知一元二次不等式有解，求参 1、(2024高一全国专题练习)若关于x的不等式x2+mx-4>0在区间[2,4]上有解，则实数m的 取值范围为() A.(-3,+∞)B.(0,+∞) C.（-,0) D.(-0∞，-3) 2、(25-26高一上·安徽宣城期末)若命题“3x∈[-1,2]，使x2+1>m”是真命题，则实数m的取值 范围是() A.(-∞1]B.(-∞，2) C.(-∞，5) D.(5,+∞) 3、(25-26高一上山东聊城阶段练习)若存在xE(0,2],使不等式ax2-2x十3a<0成立，则实数a的 取值范围是() A.a<号 B.0≤a≤号 c.a>9 D.a>号 4、(2024陕西宝鸡模拟预测)若存在实数x,使得mx2-(m-2)x+m<0成立，则实数m的取值 范围为() A.(-∞，2) B.（-∞，0]U(待，) c.(-∞号) D.(-∞，1) 5、(25-26高一下江苏常州阶段练习)已知函数f(x)=mx2-(2m+1)x+2(mER). (1)若m>0,解关于x的不等式f(x)<0; (2)若不等式f(x)≤x-4在xE(3,+∞)上有解，求实数m的取值范围. 第1页共8页 6、(25-26高一上·山东济南阶段练习)已知函数fx)=x2-ax+b, (1)若不等式f(x)>0的解集为(-∞，1)U(3,+∞)，求实数a,b的值： (2)当f(-1)=0时， (i)解关于x的不等式f(x)>0; (i)若存在x∈[1,2]，使得f(x)≤0，求实数a的取值范围， 7、(25-26高一上山东淄博期中)设函数f(x)=mx2-x一1. (1)若命题：3xERf()>0是假命题，求m的取值范围； (2)若存在x∈(-4,0)，f(x)≥(m+1)2+3成立，求实数m的取值范围 第2页共8页 8、(25-26高一上福建期中)已知函数f(x)=ax2-(2a+3)x+6(a∈R) (1)若f(x)>0的解集是{<2或x>3},求实数a的值； (2)当a=1时，若-2≤x≤2时函数f(x)≤-(m+5)x+3+2m有解，求m的取值范围. 9、(25-26高一下·河北衡水·期末)若二次函数x)=a2+bx十c(a0),满足x+2)-x)=16x且0)=2. (I)求函数fx)的解析式； (2)若存在x∈[1,2]，使不等式fx)>2x+m成立，求实数m的取值范围. 第3页共8页 10、(25-26高一上江苏徐州阶段练习)己知函数y=ax2-(2a+3)x+6(aER) (I)若y>0的解集是x|x<2或x>3},求实数a的值； (2)当a=1时，若-2≤x≤2时函数y≤-(m+5)x+3+m有解，求m2+3的取值范围. 11、(25-26高一上辽宁鞍山期中)设f(x)=ax2+(1-a)x+a-2, (1)若扫x∈[1，+∞)使f(x)≥-2成立，求实数a的取值范围： (2)解关于x的不等式f(x)<a-1(a∈R) 第4页共8页 13、(25-26高一上山东潍坊阶段练习)已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1). (I)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由： (2)若不等式对于m∈[-2,2]恒成立，求实数x的取值范围： (3)若不等式对x∈2，+o∞)有解，求m的取值范围. 14、(25-26高一上·全国课后作业)已知不等式x2+px>4x+p-4, (I)若不等式在2≤x≤4时有解，求实数P的取值范围； (2)若不等式在0≤p≤6时恒成立，求实数x的取值范围. 第5页共8页 15、(25-26高上江苏常州期中)已知函数fx)=ax2-(2a+3x+6(a∈R) (1)若fx)+2>0恒成立，求实数a的取值范围； (2)当a=1时，函数f(x)≤-(（m+5)x+3+m在[-2,2]有解，求m2+3的取值范围 16、(25-26高一上安徽宣城期中)已知函数y=ax2-(2a+3)x+6(a∈R) (I)若y>0的解集是x|x<2或x>3},求实数a的值； (2)若y+2>0恒成立，求实数a的取值范围： (3)当a=1时，若-2≤x≤2时函数y≤-(m+5)x+3+m有解，求m2+3的取值范围， 17、（25-26高一上·安微蚌埠阶段练习)已知“3x∈(0,1，mx2-x>0”为假命题，则m的最大值 为 18、(25-26高一上·全国.单元测试)若命题“3x∈[-1,3]，x2-2x-a≤0”为真命题，则实数a的取值范围 是 第6页共8页 19、(24-25高一下.广东揭阳·期末)已知命题p:3x∈R,ax2+2ax+3≥0为真命题，则实数a的取值范围 是() A.R B.a az0 c.{aa<0或a>3}D.{aa>3} 20、(24-25高一上黑龙江哈尔滨阶段练习)若"3x∈ 使得2x2-x+1<0成立”是真命题，则实 数入的取值范围是一， 21、(25-26高一上北京期中)己知存在x∈[0,1，使得x2-4x≥m2-4m成立，则m的取值范围是(） A.[0, B.[1,3 c.[0,4 D.0,+o0） 22、(2025高一·广东揭阳·期末)已知命题p:reR,ax2+2ar+3≥0为真命题，则实数a的取值范围是 () A.R B.aa2 C.{aa<0或a>3}D.{aa>3 23、(2025高一.湖北黄冈阶段练习)关于x的不等式x2-a+2)x+2a<0有解是“a>2”的() A.充要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件 24、(2025福建宁德模拟预测)若两个正实数x,y满足4x+y=2y,且不等式x+兰<m2-m有解，则 4 实数m的取值范围是() A.-1<m<2 B.m<-2,或m>1 C.-2<m<1 D.m<-1,或m>2 25、(2025商一河北石家庄期中)若存在xeR,使得不等式“2写之2成立，则实数m的取值范围 为() A.{mm≥2}B.{mm<0 C.{mm≤2} D.mm<2 第7页共8页 26、(2025高一·湖北荆州阶段练习)若存在-1≤x≤1，使4x2-2(m-2)x+3m+1>0,则m的取值集合 是() A.{mm>-9} B.{mm≤1} C.{m-9<m<1} D.{m|m≤-9} 第8页共8页