3.5 共点力的平衡 讲义-2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

本讲义聚焦共点力平衡核心知识点，系统梳理平衡状态的定义与条件、平衡问题分析方法（整体法、隔离法等）及动态平衡解法（解析法、图解法等），通过思维导图构建知识体系，例题与练习形成从基础到应用的学习支架。 资料融合科学思维与模型建构，易错提醒强化科学推理，生活实例（如风动石、悬链线）培养建模能力，多种解法提升分析能力。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，对接高考真题，提升应用能力。

共点力的平衡 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 考点01 共点力平衡的状态 知识点1 平衡状态 1、定义：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。 2、两种表现形式： ①物体处于静止状态：其特征是物体的速度为零（v=0），加速度为零（a=0）； ②物体处于匀速直线运动状态：其特征是物体的速度为恒定值（v≠0），加速度为零（a=0）。 【易错提醒】 “保持”某状态≠“瞬时”某状态 不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个过渡状态，加速度不为零，例如竖直上抛的物体运动到最高点时，速度为零，但加速度不为零，不处于静止状态。 “静止”要满足两个条件：v=0且a=0，缺一不可。 知识点2 共点力平衡的条件 1、在共点力作用下物体平衡的条件是所受合力为0。 2、表达式：或，（和分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力）。 知识点3 共点力平衡下物体的受力特点 1、二力平衡：若物体在两个共点力同时作用下处于平衡状态，则这两个共点力大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上，它们的合力为零，这就是初中学过的二力平衡。 2、三力平衡：若物体在三个共点力同时作用下处于平衡状态，根据力的合成法则，可以把任意两个共点力用一个合力来等效替代，这样就把三力平衡简化成了二力平衡。 3、多力平衡：物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，这些力在任何一个方向上的合力均为零，若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意（n－1）个力的合力必定与第n个力等大、反向，且作用在同一直线上，这些力的矢量可以构成一个首尾相连的封闭矢量多边形。 【易错提醒】 三力汇交原理： 物体在三个互成角度（θ≠0°或180°）的力同时作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线（或作用线的延长线）必相交于一点，且一定在同一个平面内，一定能构成一个封闭的矢量三角形。 如图所示，两细绳分别连接木板的两端，木板处于静状态，将力F1、F2反向延长，其交点一定在重力G的作用线上，三个是共点力。 考向01 分析物体受力个数 【例1】如图所示某棋类节目中，铁质的棋盘竖直放置，每个棋子都是一个小磁铁，能吸在棋盘上，不计棋子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．棋子受到三个力作用 B．只有磁力大于弹力，棋子才能被吸住 C．棋子受到的静摩擦力的大小与磁力大小成正比 D．棋子所受的磁力和棋盘对它的弹力是一对平衡力 考向02 利用平衡推论求力的大小或方向 【例2】山崖上有一个风动石，无风时地面对风动石的作用力是F1，当受到一个水平风力时，风动石依然静止，地面对风动石的作用力是F2，以下正确的是（　　） A．F2大于F1 B．F1大于F2 C．F1等于F2 D．大小关系与风力大小有关 考向03 直接合成法解决三力平衡问题 【例3】如图（a）、（b）、（c）所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，AB为缆绳，O处为铰链连接，杆和缆绳重力不计，当它们吊起相同重物时，三图中杆OA受力分别为Fa、Fb、Fc，下列关系正确的是（　 　） A．Fa>Fb>Fc B．Fa>Fc＝Fb C．Fa＝Fb>Fc D．Fa＝Fb＝Fc 【对点1】如图所示，两个石块A、B静止在水平面上，石块C叠放在石块A、B上，也处于静止状态，石块C与石块B接触处切线水平，石块C与石块A 接触处切线倾斜且接触处光滑，下列说法正确的是（　　） A．石块C受3个力 B．石块B受4个力 C．石块 C 受到水平向左的摩擦力 D．水平面与石块A之间没有摩擦力 【对点2】一建筑基地上，两工人师傅用一轻质条形布带半包裹着一圆柱形石料匀速前进。如图所示，A、B为工人施力点，C为布带最低点，两侧布带与水平方向的夹角均为，若该柱料重力为G，则布带对该石料的作用力大小为（　　） A．0.5G B．G C． D．G 【对点3】如图所示，将小球置于倾角为45°的斜面上，用竖直挡板挡住，使小球处于静止状态。若小球对斜面的压力大小为F1，对挡板的压力大小为F2，不计一切摩擦。以下说法正确的是（    ） A．F1<mg B．F2>mg C．F1<F2 D．F1>F2 考点02 共点力平衡问题的分析 知识点1 求解共点力平衡问题的一般步骤 1、选取研究对象：根据题目要求，恰当选取研究对象，在平衡问题中，研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统，还可以是几个物体相互连接的结点。 2、明确运动状态：判断物体是否处于平衡状态，是静止还是匀速直线运动。 3、进行受力分析：分析研究对象的受力情况，画出受力分析图。 4、列出方程求解：利用平衡条件建立方程并求解。 知识点2 解决共点力平衡问题的常用方法 1、单个物体的静态平衡 ①合成法：物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，作用在同一条直线上，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解。 如图所示，在平衡状态下，O点所受三个力的合力为0。F4为F1和F2的合力，则F4与F3平衡，即F4＝F3＝G，由图可知，，，则。 ②正交分解法：若物体受到三个以上的力，一般采用正交分解法。先把物体所受的各个力逐一地分解在两个相互垂直的坐标轴（x轴和y轴）上，再列出x轴和y轴方向上的方程并求解。 如图，①中的问题也可以用正交分解法求解。以O为原点建立直角坐标系。F2方向为x轴正方向，向上为y轴正方向。F1在两坐标轴方向的分矢量分别为F1x和F1y。因x、y两方向的合力都等于0，可列方程F2－F1x＝0，F1y－F3＝0。即F2－F1sinθ＝0，F1cosθ－G＝0。联立解得，。 ③矢量三角形法：三个共点力作用使物体处于平衡状态，则此三力首尾相接构成一个闭合的矢量三角形。把三个共点力转化为三角形的三条边，利用三角形定则，根据边角关系，求解平衡问题。（如果力的三角形并不是直角三角形，可以利用相似三角形等规律求解。） 2、多个物体的静态平衡 若系统中涉及两个或两个以上的物体，在选取研究对象时，可选用整体法和隔离法。 ①整体法：当几个物体组成的系统具有相同的运动状态，且在只涉及研究系统与外界的相互作用面不涉及系统内部物体之间的力与运动时，一般采用整体法。 ②隔离法：为了研究系统内某个物体的受力和运动情况，一般把需要研究的物体从系统中隔离出来进行研究的方法，称为隔离法。 考向01 整体法与隔离法解决共点力平衡问题 【例1】如图所示，一内表面光滑的半圆形凹槽放在粗糙的水平地面上，物块（可看做质点）静置于槽内最底部的A点处。现用一方向不变的斜向上的推力F把物块从A点沿着凹形槽缓慢推至B点，整个过程中，凹槽始终保持静止。设物块受到凹槽的支持力为FN，则在上述过程中下列说法正确的是（　　） A．F一直增大，FN先减小后增大 B．F和FN都一直增大 C．地面对凹槽的支持力一直增大 D．地面对凹槽的摩擦力保持不变 考向02 正交分解法解决共点力平衡问题 【例2】悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条粗细与质量分布均匀、柔软且不能伸长的链条在重力的作用下所具有的曲线形状。现搭建如图所示的一条悬链线，链的质量为m，经测量得两悬点M、N处切线与竖直方向夹角分别为37°和53°，两切线的交点为O，P是O点正上方链条上的点，Q为悬链线的最低点，，，则（　　） A．此时链条的重心在O点 B．M、N两悬点处弹力大小之比为 C．链条MQ和链条NQ质量之比为 D．整个链条最低点Q处弹力最小 考向03 三角形法则解决共点力平衡问题 【例3】 中秋节汇演时，某同学表演了一个魔术，将一块磁铁藏在自己的袖子里，对着用细线悬挂的铁球施加“魔力”，铁球便按着他的指令运动起来。如图所示，某次表演中，他先使手与铁球在同一水平线上，然后缓慢抬升手臂，铁球跟着在手臂右下方缓慢移动，某时刻停止移动手臂，铁球随即保持静止，此时悬线紧绷且偏离竖直线的夹角为。已知小球的质量为，重力加速度为，则此时他对小球施加的“魔力”大小可能为（　　） A． B． C． D． 考向04 用相似三角形解决平衡问题 【例4】如图所示，一定质量的物体通过轻绳悬挂，结点为。人沿水平方向拉着绳，物体和人均处于静止状态。若人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，下列说法正确的是（　　） A．绳中的拉力不变 B．绳中的拉力逐渐增大 C．地面对人的摩擦力不变 D．若绳、绳所能承受的最大拉力相同，则绳会先断 【对点1】粗糙水平地面上有一质量为、倾角为的粗糙楔形物体，斜面上有一个质量为的物块，与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一个质量为的小球，右上方有一拉力，初始夹角，如图所示。现让拉力顺时针缓慢转动且保持大小不变，转动过程、始终保持静止。已知与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．、间的摩擦力一直减小 B．绳上拉力先减小再增大 C．地面对物体的支持力先减小再增大 D．物体对地面的摩擦力方向水平向右 【对点2】如图所示，质量均为M的a、b两滑块放在粗糙水平面上，滑块与粗糙水平面间的动摩擦因数为，两轻杆长度均为L，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，杆与水平面间的夹角为，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物c，整个装置处于静止状态。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（　　） A．轻杆上弹力大小为 B．地面对滑块a的摩擦力大小为 C．滑块a受到地面的支持力大小为 D．为保证无论m多大，a、b都不滑动，至少为 【对点3】风筝发明于中国东周春秋时期，是在世界各国广泛开展的一项群众性体育娱乐活动。一平板三角形风筝（不带鸢尾）悬停在空中，如图为风筝的侧视图，风筝平面与水平面的夹角为θ，风筝受到空气的作用力F垂直于风筝平面向上。若拉线长度一定，不计拉线的重力及拉线受到风的作用力，一段时间后，风力增大导致作用力F增大，方向始终垂直于风筝平面，夹角θ不变，再次平衡后相比于风力变化之前（　　） A．风筝距离地面的高度变大 B．风筝所受的合力变大 C．拉线对风筝的拉力变小 D．拉线对风筝的拉力与水平方向的夹角变小 【对点4】一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力的大小变化情况是（   ） A．F先减小，后增大 B．F逐渐增大 C．先减小，后增大 D．始终不变 考点03 动态平衡问题的常用解法 方法 适用范围 步骤 解析法 通常应用于物体受到四个及四个以上的力而平衡的情形 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②将物体受的力按实际作用效果分解或进行正交分解 ③列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式 ④根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况 图解法 一个力的大小、方向不变，一个力的方向不发生变化，另一个力的方向发生变化 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②根据平衡条件进行受力分析，将表示物体受到的力的矢量线段画在一个三角形或平行四边形内 ③根据已知量的变化，画出平行四边形或三角形的边角变化 ④通常以大小、方向都不变化的力作为参考标准，通过分析三角形或平行四边形边、角变化，确定未知量大小、方向的变化 辅助圆法 一个力的大小和方向不变，另外两个力的夹角不变 ①选某一状态时的物体进行受力分析（一般选初状态） ②根据平衡状态构建矢量三角形 ③画出矢量三角形的外接圆 ④根据物体位置的变化确定各量的变化 相似三角形法 一个力的大小、方 向 不变，另外两个力的方向都发生变化 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②根据某一个时刻的平衡状态构建矢量三角形 ③根据图中几何关系，找到一对相似三角形 ④根据相似三角形的性质建立边的比例关系，通过不变的已知量找到未知量的变化情况 考向01 动态平衡问题 【例1】宇树科技的机器人亮相2025春晚，该机器人不仅可以表演创意舞蹈，还可以精准完成前后左右劈叉动作。如图所示，机器人静止站立在水平地面上，两脚左右对称，则（    ） A．地面对机器人的弹力由机器人的形变产生 B．地面对机器人的作用力大于机器人的重力 C．若机器人两脚间的夹角变大，地面对机器人的支持力将变大 D．若机器人两脚间的夹角变大，左脚所受地面的摩擦力将变大 考向02 自锁问题 【例2】如题图所示，三个相同的小物块 、 、 （可视为质点）静止在粗糙水平面上，三根等长的轻杆一端分别通过光滑铰链连接在 上，另一端通过光滑铰链连接在 处，各杆与水平面间的夹角均为 。现在 处连接一质量为 的平台，已知三个物块与水平面间的动摩擦因数相同，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 (1)若 、 、 的质量均为 ，物块与水平面间的动摩擦因数为 ，连接平台后三个物块恰好刚要发生滑动，求平台质量 应满足什么条件？ (2)若在平台上放置一个物体，无论物体质量多大均不能使 A、 B、C 与水平面发生相对滑动， 求物块与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？ 考向03 刚体平衡条件及其应用 【例3】 直杆AB和BC按如图所示连接，A、B、C处均为铰链，杆及铰链的质量都不计．现将重力为G、可视为质点的物块放在图中P处．则（　　） A．AB杆对BC杆的作用力方向沿BC连线斜向下 B．BC杆对AB杆的作用力方向垂直于AB向上 C．若AP间距变大，BC杆对AB杆的作用力变大 D．若AP间距变大，AB杆对BC杆的作用力关于C点的力矩不变 考向04 “活结”、“死结”问题 【例4】晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的两点，两点等高，无风状态下衣服保持静止。某一时刻衣服受到水平向右的恒定风力而发生滑动，并在新的位置保持静止，如图所示。两杆间的距离为，绳长为，衣服和衣架的总质量为，重力加速度为，不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，。则（　　） A．无风时，衣服只能停在绳子中点 B．无风时，轻绳的拉力大小为 C．有风时，衣服在新的平衡位置，挂钩左、右两侧绳子的拉力大小不相等 D．有风时，衣服在新的平衡位置，不变 考向05 恰好发生相对滑动的临界问题 【例5】如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量均为，与地面间的动摩擦因数均为。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面如虚线所示，整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求： (1)未拉A时，C受到B作用力的大小； (2)A向右移动时，A对C的作用力大小； (3)动摩擦因数的最小值。 考向06 平衡问题中的极值问题 【例6】如图所示，质量为0.4kg、倾角为53°的斜面体A静置于水平地面上，质量为0.54kg的物块C悬挂在轻绳OP、OQ的结点O处，OP水平，OQ与竖直方向的夹角为53°，且跨过轻质光滑定滑轮与斜面体上的物块B相连（BQ段绳与斜面平行）。A与B之间、A与地面之间的动摩擦因数均为。整个系统在图示位置始终保持静止，设最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度，，。求： (1)A对定滑轮的作用力； (2)物块B质量的取值范围。 考向07 “定杆”、“动杆”问题 【例7】图甲中，轻杆AB一端与墙上的光滑铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为，在B点下方用另一轻绳悬挂质量为m的重物。图乙中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，用轻绳绕过滑轮悬挂质量为m的重物，倾斜部分绳、杆之间夹角也为。图甲、乙中轻杆都垂直于墙，则下列说法正确的是（　　） A．轻杆AB和轻杆CD的弹力大小相等 B．轻杆AB的弹力大于轻杆CD的弹力 C．轻杆AB和轻杆CD中弹力方向均沿轻杆方向 D．若图甲、乙中轻绳能承受的最大拉力相同，则物体加重时，图乙中倾斜部分轻绳更容易断裂 考向08 平衡状态的定义及条件 【例8】有一种圆珠笔，内部有一根小弹簧。如图甲所示，笔杆竖直放置，在圆珠笔尾部的按钮上放一个砝码，砝码静止时，弹簧压缩量为0.2cm。现用这支圆珠笔水平推一本放在水平桌面上质量为400g的书，当按钮压缩量为0.4cm（未超过弹簧的弹性限度）时，书恰好做匀速直线运动，如图乙所示。已知笔内小弹簧的劲度系数为500N/m，重力加速g取10m/s2。求： (1)砝码的质量； (2)书与水平桌面间的动摩擦因数大小； (3)用水平力F=10N将该书压在竖直墙壁上处于静止状态，如图丙所示，书与墙壁间的动摩擦因数与水平桌面相同，当F减小为6N时，书受到的摩擦力大小。 考向09 三维空间的共点力平衡问题 【例9】如图所示，在水平地面上固定一粗糙斜面体，A、B两完全相同的物体分别受到平行于斜面的拉力。在拉力的作用下，A物体沿斜面向上做匀速直线运动，B物体平行于斜面底端做匀速直线运动，将A、B两物体的受力进行比较，则（　　） A．物体A受到的摩擦力更大 B．物体B受到的摩擦力更大 C．物体B受到的拉力更小 D．物体A受到的拉力更小 考向10 用解析法解决平衡问题 【例10】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳左端固定在晾衣架上O点，右端系在a点，光滑小滑轮悬挂一衣服可在轻绳上滑动。先将轻绳右端沿竖直杆缓慢上移到b点，然后再沿水平杆缓慢移至c点，整个过程衣服始终没与地面和杆接触，设轻绳张力为F，滑轮左侧轻绳与竖直方向夹角为，则轻绳右端沿杆（　　） A．由的过程，F不变，不变，衣服的位置不变 B．由的过程，F不变，不变，衣服的位置升高 C．由的过程，F变大，变小，衣服的位置下降 D．由的过程，F变小，变小，衣服的位置升高 考向11 用图解法解决平衡问题 【例11】在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中。 (1)步骤如下： a、如图甲，水平桌上放一块木板，用图钉把一张白纸钉在木板上，再用图钉把橡皮条一端固定在板上的A点。 b、在橡皮条另一端系上两条细绳形成结点，细绳的另一端系着绳套。先用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉细绳的结点到O点，记下O点位置和两测力计拉力、的大小及方向；再用一个弹簧测力计钩住绳套，拉细绳的结点到 ，记下这个测力计拉力的大小及方向。 c、如果操作正确，图乙中的F与两力中，方向一定沿橡皮条AO方向的是 。 (2)如果图甲中两弹簧测力计的夹角小于90°，保持弹簧测力计B的方向以及结点O的位置不变，将弹簧测力计C沿逆时针方向缓慢转动至水平向右的过程中，若弹簧测力计量程足够大，弹簧测力计B的读数将 （选填“一直增大”“一直减小”“先减小后增大”或“先增大后减小”）。 考向12 用辅助圆解决平衡问题 【例12】如图所示，半球形容器固定在地面上，容器内壁光滑，开始时，质量分布均匀的光滑球A和同种材质构成的质量分布均匀的光滑球B放在容器内处于平衡状态，位置关系如图中所示，A球半径大于B球。一水平力F作用在A球上，且力F的延长线过A球球心，从图示位置开始缓慢推动A球，直到B的球心与容器的球心O等高，则下列判断正确的是（　　） A．B球受到A球的弹力逐渐增大 B．B球受到A球的弹力先增大后减小 C．容器对B球的支持力逐渐增大 D．容器对B球的支持力先增大后减小 考向13 用正弦定理解决平衡问题 【例13】如图所示，两根轻绳一端系于结点，另一端分别系于竖直固定环上的两点，点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为，绳与夹角，拉力大小为。将两绳同时缓慢沿顺时针转过60°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是（　　） A．逐渐增大 B．先增大后减小 C．逐渐减小 D．先减小后增大 【对点1】如图所示，水平地面放置一个斜面体，斜面体上的A物体通过平行斜面的轻绳绕过光滑定滑轮与轻环B相连，环B套在竖直放置的杆上，轻绳上放置一个轻质可视作质点的动滑轮，动滑轮下悬挂一个物体，系统处于静止状态，在完成以下运动过程后，整个系统仍处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．将物体A向上移动后，A物体受到的摩擦力大小一定不变 B．竖直杆向右移动后，地面对斜面体的摩擦力大小一定增大 C．竖直杆向右移动后，竖直杆对环的摩擦力大小一定不变 D．将环向上移动后，竖直杆对环的作用力大小一定增大 【对点2】相同的甲乙两物体质量m=50kg，甲受到与水平方向成30°斜向上的拉力F1，乙受到与水平方向成30°斜向下的推力F2。 如图a所示。在力的作用下它们都沿着同一粗糙水平面向右做匀速直线运动，已知F1=200N。（g取10m/s2） (1)求物体与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ； (2)求物体乙受到的推力F2的大小； (3)若改变乙所受推力F与水平方向夹角α，如图b所示，使得F无论多大也不能移动物体。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则F与水平方向的夹角α应满足什么条件（用表示） 【对点3】如图所示，一架直梯斜靠在光滑的竖直墙壁上，下端处于粗糙的水平地面上，此时直梯和竖直墙的夹角为，直梯处于静止状态。则下列说法正确的是（　　） A．直梯受5个力作用 B．地面对直梯的支持力沿图中BA方向 C．若角增大，直梯仍能静止，则地面对梯子的支持力增大 D．若角增大，直梯仍能静止，则地面对梯子的摩擦力增大 【对点4】如图所示，一光滑轻质细绳跨过固定在竖直墙壁上的定滑轮，下端连接一个物体，上端系在水平天花板上，物体静止。现将绳的上端从水平天花板的A点缓慢移到B点，物体未碰到滑轮，则此过程中（　　） A．细绳的拉力逐渐增大 B．细绳的拉力逐渐减小 C．定滑轮对细绳的作用力逐渐增大 D．定滑轮对细绳的作用力方向在纸面内沿顺时针转动 【对点5】如图所示，质量分布均匀的直杆AB置于水平地面上，现在A端施加外力F，缓慢拾起直杆至竖直，B端始终和地面保持相对静止，F的方向始终和直杆垂直，要确保直杆B端始终和地面保持相对静止，则直杆和地面间的动摩擦因数至少为多少？ 【对点6】如图所示，足够长的固定斜面倾角为30°，质量为m的滑块在拉力F的作用下沿斜面向下做匀速直线运动。已知滑块与斜面之间的动摩擦因数，重力加速度大小为g，为了使拉力F最小，下列说法正确的是（　　） A．拉力F应竖直向上 B．拉力F应沿着水平方向 C．拉力F应垂直于斜面向上 D．拉力F的最小值一定小于0.1mg 【对点7】如图所示，质量分布均匀的直杆AB置于水平地面上，现在A端施加始终和直杆垂直的外力F，缓慢拾起直杆直至竖直。若B端始终和地面之间保持相对静止，问直杆和地面之间的动摩擦因数至少为多少。 【对点8】下列说法正确的是（　　） A．物体受摩擦力时必定同时受弹力，受弹力时也一定同时受摩擦力 B．一个物体同时受到、和三个共点力的作用时，该物体不可能处于平衡状态 C．两个互成一定角度的共点力，其中一个力减小，合力不一定减小 D．倾角为的固定粗糙斜面上静止一质量为的物体，重力可以分解为下滑力和压力 【对点9】箩筐挑东西的简化图如图所示，箩筐口是半径为R的圆。箩筐由a、b、c三根长均为2R的绳吊起，且三根绳和箩筐连接点将箩筐口均分为三等份。箩筐及筐中物品的总质量为m，绳的重力不计，若人挑着箩筐静止不动时，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．三根绳对箩筐的作用力为mg，方向竖直向下 B．每条绳的拉力大小为 C．改用更长的三根绳，每条绳上的拉力将不变 D．a、b两绳拉力的合力与c绳的拉力大小相等方向相反 【对点10】如图所示，墙壁竖直，清洗楼房玻璃的工人用一根绳索将自己悬在空中。若悬绳（质量不计）的长度增大，其他情况不变，则下列说法正确的是（　　） A．悬绳对工人的拉力增大，墙壁对工人的弹力增大 B．悬绳对工人的拉力增大，墙壁对工人的弹力减小 C．悬绳对工人的拉力减小，墙壁对工人的弹力增大 D．悬绳对工人的拉力减小，墙壁对工人的弹力减小 【对点11】将一个质量为2kg的铅球放在倾角为的斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态，不考虑铅球受到的摩擦力。某时刻起挡板绕O点逆时针缓慢旋转至水平，重力加速度，则下列分析正确的是（　　） A．挡板的弹力初始值为20N，过程中一直增大 B．挡板的弹力先减小后增大，过程中最小值为 C．斜面对球的支持力初始值为，过程中先增大后减小 D．小球受到的合力逐渐减小 【对点12】三段轻绳、、绳悬挂在天花板上的点，绳下面悬挂一个小球，第一次，保持结点位置不变如图甲所示，某同学拉着轻绳从水平位置缓慢转动到竖直位置；第二次，保持轻绳垂直于，缓慢移动轻绳，使轻绳从竖直位置缓慢转动到如图乙所示位置，则下列说法正确的是（　　） A．第一次轻绳的拉力先减小后增大 B．第一次轻绳的拉力先增大再减小 C．第二次轻绳的拉力逐渐减小 D．第二次轻绳的拉力逐渐增大 【对点13】如图所示，三根不可伸长的轻绳结点为，轻绳1水平，轻绳2与竖直方向夹角为并保持不变，轻绳3下端悬挂一小球并处于静止。现对小球施加外力，在的方向与轻绳3的夹角为钝角且保持不变的情况下，使小球缓慢向右升高，直到轻绳3达到水平。则该过程中（　　） A．外力先变大后变小 B．轻绳3的拉力先变小后变大 C．轻绳2的拉力一直变小 D．轻绳1的拉力先变大后变小 【思维建模】 一、平衡状态中的临界和极值问题： 1、临界问题 当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的临界状态有： （1）两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0（主要体现为两物体间的弹力为0）。 （2）绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值，绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0。 （3）存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。 2、极值问题 平衡状态中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。一般用解析法或图解法进行分析。 3、临界和极值问题求解方法 （1）解析法：根据物体的平衡条件列出方程，求解方程时，采用数学知识求极值或根据物理的临界条件求极值。 （2）图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如物体只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据力的矢量图进行动态分析。尤其注意分析大小和方向变化的力，确定其最大值知最小值。此法简便、直观。 （3）极限分析法：要对研究对象正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界条件；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 二、空间力的平衡问题的求解方法： 空间力是指物体所受的力不在同一平面内，物体受空间力平衡时，在任一平面内、任一直线上受力都是平衡的。处理此类问题常见方法如下： 1、对称法 当研究对象所受的力具有对称性时，可利用物体的受力具有对称性的特点，如某些力大小相等、方向相反，把复杂的运算（或图形）转化为简单的运算（或图形）来处理。 2、转化法 空间力作用下物体处于平衡状态，要利用平衡条件将物体受到的力分解转化为同一平面上的力来分析处理问题。 例如，物体静止在倾角为30°的斜面上，当用一与斜面平行也与水平面平行的力F匀速拉动物体时。分析物体受力时，可以将其转化为物体沿斜面方向受到的力和垂直于斜面的力，根据物体在平行和垂直斜面方向受力平衡进行求解。物体受到3个与斜面平行的力，拉力F、重力沿斜面向下的分力和滑动摩擦力f。因为物体在斜面做匀速运动，所以可得 。 1、 单选题 1．如图所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向角且不变．当F与竖直方向的夹角为时，有F最小，则、F的值分别为（    ） A．，G B．， C．，G D．， 2．如图，半圆柱体放在水平而上，一光滑小球从靠近半圆底端的点在推力的作用下缓慢地沿着半圆柱的上表面移动到靠近最高点的过程中，推力的方向与水平方向始终成，小球在同一竖直而内运动，半圆柱体始终静止。关于此过程，下列说法正确的是（   ） A．推力的大小一直增大 B．小球对半圆柱体的压力先减小后增大 C．地面对半圆柱体的支持力大小始终不变 D．半圆柱体对地百的摩擦力先增大后减小 3．如图所示，一木块放在水平桌面上，在水平方向受到向左的力和向右的力作用，而处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．若撤去，物体所受合力不为零 B．若撤去，物体所受摩擦力一定为 C．若撤去，物体一定会相对地面滑动 D．若保持、大小不变，而方向相反，则物体将向右运动 4．为了方便阅读，某同学制作了如图所示的书架，书架放在水平桌面上，质量为m的书放在书架的斜面上，书架斜面与水平面的夹角为。已知角从缓慢增大到的过程中，书与书架始终保持相对静止。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．书架对书的作用力大小为mg B．书对书架的压力大小为 C．桌面对书架的摩擦力逐渐增大 D．书架对书的摩擦力一直不变 5．如图所示，在班级科技节的“悬停纸飞机”展示中，小明用三段细线连接两个模型飞机A和B（均可视为质点），并将上端固定在天花板的O点。他通过侧向施加一个拉力F来控制系统的平衡，使三段轻绳都伸直且O、A间轻绳处于竖直状态。开始时，拉力F的方向与竖直方向成倾角θ（小于90⁰）。为了模拟飞机缓慢转向的过程，他让拉力F的方向从图示位置缓慢逆时针旋转至竖直向上。在此过程中，两飞机始终保持静止，则下列说法正确的是 （    ） A．轻绳OA的弹力一直减小 B．拉力F先减小再增大 C．轻绳AB的弹力可能一直减小 D．轻绳OB的弹力不可能为零 6．在离地高度相同处，质量分别为和的球1与球2同时由静止开始下落，由于空气阻力的作用，两球在抵达地面前均已达到匀速直线运动状态。已知空气阻力与球的下落速度成正比，即，且两球的比例常数完全相同，两球下落的图像如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．，两球同时抵达地面 B．，球2先抵达地面 C．，球2先抵达地面 D．，球1先抵达地面 7．如图所示，物块放置在粗糙的水平地面上，受到斜向右下方的力，缓慢增大力，物块始终处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．物块可能只受到三个力的作用 B．物块受到的摩擦力先增大后不变 C．物块受到的合力逐渐变大 D．物块对水平地面的压力逐渐增大 8．如图所示，A、B两物体叠放在一起，在水平向左的恒力作用下处于静止状态，则关于两物体受力情况的说法正确的是（　　） A．物体A一定受到5个力 B．物体B一定受到4个力 C．物体A、B间可能有摩擦力 D．若增大F，A、B仍处于静止状态，则A受到墙壁给的摩擦力变大 9．如图所示，三个完全相同的光滑球a、b、c叠放在水平地面上的竖直圆筒内，圆筒内壁光滑，a、b、c三个球对筒的侧壁的压力大小分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，倾角为的斜面上，有一质量为的物块受到平行于斜面的水平力的作用，恰好处于静止状态，若大小逐渐减小，已知物体与斜面的动摩擦因数为，则下列说法正确的是（　　） A． B．物块将保持静止状态 C．物块所受到的摩擦力大小有可能不变 D．斜面对地面的作用力保持不变 2、 多选题 11．一次“夹鹅卵石”的趣味游戏中，如图是筷子夹鹅卵石时的三个动作示意图，筷子均在同一竖直平面内：图甲中的筷子处于竖直方向，图乙中的筷子处于水平方向，图丙中的筷子处于倾斜方向，与水平面成一定夹角。三个图中的鹅卵石均处于静止状态，则（　　） A．图甲中的鹅卵石受到筷子的弹力是由筷子的形变引起的 B．图乙中下方筷子对鹅卵石的弹力大于鹅卵石对其的弹力 C．若图甲中筷子夹着鹅卵石一起向上匀速运动，鹅卵石受到摩擦力方向为竖直向上 D．当缓慢增大图丙中筷子与水平方向的夹角，鹅卵石受到筷子对它的作用力增大 12．如图所示，长方体形的物块a静止在水平地面上，长方体形的物块b叠放在物体a上。现对物体a施加一个水平向左的恒定拉力F，结果a、b仍然都处于静止状态。以下说法正确的是（　　） A．a与b之间不存在摩擦力 B．a与地之间的摩擦力大小为F C．若仅减小a、b接触面间的动摩擦因数，则a与b不可能发生相对滑动 D．若仅将作用在a上的恒力F撤去，并对物体b施加同样大小的水平向左的恒定拉力F，则a不可能相对地面滑动 13．如图所示，质量为的物块置于粗糙水平地面上，质量为的小球用细线拴接在物块的顶端，对小球施加水平外力，平衡时细线与竖直方向间的夹角。现保持外力与细线间的夹角不变，缓慢改变外力的大小，使细线沿逆时针方向缓慢转动，直到细线到达水平位置，整个过程中物块始终静止不动。重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．外力先增大后减小 B．细线上的拉力一直减小 C．物块受到的摩擦力最大值为 D．外力的最大值与细线拉力的最大值之比为 14．水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为，如图，在从0逐渐增大到的过程中，木箱的速度保持不变，则（　　） A．当，F有最小值 B．物体所受摩擦力保持不变 C．先减小后增大 D．F与G的合力方向保持不变 15．如图所示，表面粗糙的斜面静置于水平地面上，斜面顶端安有滑轮（不计滑轮的质量和摩擦），m悬于空中，M放在斜面上，均处于静止状态。当用沿斜面向上的恒力F推M时，在F缓慢增大时，M、m和斜面仍静止不动，则（　　） A．M受到的摩擦力可能变大 B．轻绳上的拉力一定不变 C．物体M所受斜面体的作用力一定不变 D．斜面体所受地面的支持力一定不变 3、 实验题 16．某学习小组在做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验。 (1)如甲图和乙图所示为某实验小组利用橡皮条、弹簧测力计、轻质小圆环、细绳套等器材完成“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验装置，橡皮条的原长为GE。请补全下列步骤： ①用图钉将白纸固定在水平木板上； ②橡皮条一端连接轻质小圆环，另一端固定在G点； ③如图乙所示，用两个弹簧测力计共同拉动小圆环到某位置，并标记圆环的圆心位置O点，此时记下O点位置以及、的大小和方向； ④如图丙所示，撤去、，改用一个弹簧测力计，把小圆环拉到与前一次实验 的位置（填“相同”或“不相同”），并记下弹簧测力计的示数和拉力的方向； ⑤如图丁所示，利用记录的数据，画出各力，其中由一个弹簧测力计拉橡皮条得到的力是 （填“F”或“F´”）；经多次探究、猜想、推理、验证，归纳得出两个互成角度力的合成遵循平行四边形定则。 (2)若在图乙中，、的夹角θ为钝角，现保持O点位置不变和方向不变，顺时针缓慢转动弹簧测力计b，使角α稍微增大，则、的大小变化情况为（　　） A．减小 B．减小 C．增大 D．增大 17．某同学用如图甲所示的实验装置验证“力的平行四边形定则”。弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M，弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持测力计B的另一端向左拉，使结点O静止在某位置。分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和细线的方向。 (1)若弹簧测力计B的示数如图乙所示，则其读数为 N； (2)该同学根据记录的两个弹簧测力计的示数及细线的方向，作出两个弹簧测力计上拉力F1、F2的图示并作平行四边形定则，得到这两个拉力合力的 （填“理论值”或“实验值”）F，如果在误差允许的范围内。F和重物对O点的拉力 ，则力的平行四边形定则得到验证； (3)若发现弹簧测力计A的指针稍微超出量程，请写出一条可行解决该问题的办法 ； (4)若保证O点位置不动，顺时针转动弹簧测力计B至90°，则弹簧测力计B的示数 （填“变大”“变小”或“先变小后变大”），弹簧测力计A的示数 （填“变大”“变小”或“先变小后变大”）。 4、 计算题 18．如图，轻绳CO与水平方向成60°角，O端悬挂一定滑轮，物体A、B用跨过定滑轮的轻绳相连，物体B置于水平地面上，且受到一水平向右的力F作用，整个装置保持静止。已知绳CO对滑轮的拉力大小为4N，B的质量为1kg，B与地面之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计滑轮的重力及摩擦，g取10m/s2。求：（画出每问必要的受力分析，计算结果可以用根号表示） (1)物体A的质量； (2)地面对物体B的支持力的大小； (3)力F大小的取值范围。 19．如图所示，放在粗糙斜面上的物块和小球均处于静止状态，轻绳绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端连接在小球上，轻弹簧中轴线沿水平方向，轻绳的段与竖直方向的夹角，斜面倾角，物块和小球的质量分别为，，物块与斜面之间的动摩擦因数为，弹簧的劲度系数，（，，重力加速度）求： (1)弹簧的伸长量； (2)物块受到的摩擦力大小和方向。 20．如图所示，质量的木块在沿斜面向上的恒力作用下，沿倾角的斜面体匀速上滑，质量的斜面体始终静止在水平面上。已知重力加速度为，，。求： (1)木块受到的摩擦力大小； (2)斜面体对桌面的压力。 21．如图所示，6本质量相同的厚书被两块相同的竖直木板夹在中间，书静止不动，此时两侧对木板施加的水平压力为，每本书的质量为，重力加速度g取，木板和书之间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则 (1)左侧木板对书的静摩擦力？ (2)书和书之间的动摩擦因数至少为多大？ (3)如果把左侧第三本书向上抽出至少需要多大的竖直拉力？ 22．如图（a）所示，在竖直墙面上有两根相距为a的水平木桩A和B，有一细木棒置于A之上、B之下时与竖直方向成角静止，棒与A、B的动摩擦因数都为。现由于两木桩的摩擦力恰好能使木棒不脱落，求此时棒的重心与A桩的距离。 一、单选题 1．（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　） A． B． C． D． 2．（2024·贵州·高考真题）如图（a），一质量为m的匀质球置于固定钢质支架的水平横杆和竖直墙之间，并处于静止状态，其中一个视图如图（b）所示。测得球与横杆接触点到墙面的距离为球半径的1.8倍，已知重力加速度大小为g，不计所有摩擦，则球对横杆的压力大小为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·福建·高考真题）“风动石”是福建省著名的自然景观，如图所示。无风时，“风动石”在重力和底部巨石作用力F1的作用下静止不动。若“风动石”受到一水平方向的风力作用时仍保持静止，此时底部巨石对其作用力为F2，则（　　） A．F1的大小比F2的小 B．F1的大小比F2的大 C．F1与F2大小相等 D．F1与F2方向相同 4．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，质量为m的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态，钢管与水平地面之间的动摩擦因数为、夹角为，重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D．0 5．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 6．（2024·湖北·高考真题）如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为（　　） A． B． C．2f D．3f 7．（2024·河北·高考真题）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为，挡板与斜面夹角为．若弹簧测力计位于竖直方向，读数为取,挡板对球体支持力的大小为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京·高考真题）如图所示，长方体物块叠放在斜面上，B受到一个沿斜面方向的拉力F，两物块保持静止。B受力的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（2025·重庆·高考真题）现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为（　　）（重力加速度为g） A．2mg B．mg C． D． 10．（2025·海南·高考真题）如图所示，光滑圆弧竖直固定，用轻绳连接两个小球P、Q，两小球套在圆环上且均处于平衡状态，两小球与圆弧的圆心连线夹角分别为和，则两球质量之比为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2016·全国I卷·高考真题）如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO'悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则（   ） A．绳OO'的张力也在一定范围内变化 B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化 C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化 D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化 12．（2019·全国I卷·高考真题）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 三、实验题 13．（2017·全国III卷·高考真题）某探究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，将画有坐标轴（横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1 mm）的纸贴在水平桌面上，如图甲所示。将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点（位于图示部分之外），另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。 （1）用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O，此时拉力F的大小可由测力计读出。测力计的示数如图乙所示，F的大小为 N； （2）撤去（1）中的拉力，橡皮筋P端回到A点；现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点。此时观察到两个拉力分别沿图甲中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1=4.2 N和F2=5.6 N； ①用5mm长度的线段表示1N的力，以O为作用点，在图甲中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合 。 ②F合的大小为 N，F合与拉力F的夹角的正切值为 。 若F合与拉力F的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则该实验验证了力的平行四边形定则。 14．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）某兴趣小组设计了一个可以测量质量的装置。如图（a），细绳1、2和橡皮筋相连于一点，绳1上端固定在A点，绳2下端与水杯相连，橡皮筋的另一端与绳套相连。 为确定杯中物体质量m与橡皮筋长度x的关系，该小组逐次加入等质量的水，拉动绳套，使绳1每次与竖直方向夹角均为且橡皮筋与绳1垂直，待装置稳定后测量对应的橡皮筋长度。根据测得数据作出关系图线，如图（b）所示。 回答下列问题： (1)将一芒果放入此空杯，按上述操作测得，由图（b）可知，该芒果的质量 g（结果保留到个位）。若杯中放入芒果后，绳1与竖直方向夹角为但与橡皮筋不垂直，由图像读出的芒果质量与相比 （填“偏大”或“偏小”）。 (2)另一组同学利用同样方法得到的图像在后半部分弯曲，下列原因可能的是_________。 A．水杯质量过小 B．绳套长度过大 C．橡皮筋伸长量过大，弹力与其伸长量不成正比 (3)写出一条可以使上述装置测量质量范围增大的措施 。 四、解答题 15．（2012·新课标卷·高考真题）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）．设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ． （1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小． （2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ．已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动．求这一临界角的正切tanθ0． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 共点力的平衡 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 考点01 共点力平衡的状态 知识点1 平衡状态 1、定义：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。 2、两种表现形式： ①物体处于静止状态：其特征是物体的速度为零（v=0），加速度为零（a=0）； ②物体处于匀速直线运动状态：其特征是物体的速度为恒定值（v≠0），加速度为零（a=0）。 【易错提醒】 “保持”某状态≠“瞬时”某状态 不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个过渡状态，加速度不为零，例如竖直上抛的物体运动到最高点时，速度为零，但加速度不为零，不处于静止状态。 “静止”要满足两个条件：v=0且a=0，缺一不可。 知识点2 共点力平衡的条件 1、在共点力作用下物体平衡的条件是所受合力为0。 2、表达式：或，（和分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力）。 知识点3 共点力平衡下物体的受力特点 1、二力平衡：若物体在两个共点力同时作用下处于平衡状态，则这两个共点力大小相等、方向相反，并且作用在同一直线上，它们的合力为零，这就是初中学过的二力平衡。 2、三力平衡：若物体在三个共点力同时作用下处于平衡状态，根据力的合成法则，可以把任意两个共点力用一个合力来等效替代，这样就把三力平衡简化成了二力平衡。 3、多力平衡：物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，这些力在任何一个方向上的合力均为零，若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意（n－1）个力的合力必定与第n个力等大、反向，且作用在同一直线上，这些力的矢量可以构成一个首尾相连的封闭矢量多边形。 【易错提醒】 三力汇交原理： 物体在三个互成角度（θ≠0°或180°）的力同时作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线（或作用线的延长线）必相交于一点，且一定在同一个平面内，一定能构成一个封闭的矢量三角形。 如图所示，两细绳分别连接木板的两端，木板处于静状态，将力F1、F2反向延长，其交点一定在重力G的作用线上，三个是共点力。 考向01 分析物体受力个数 【例1】如图所示某棋类节目中，铁质的棋盘竖直放置，每个棋子都是一个小磁铁，能吸在棋盘上，不计棋子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．棋子受到三个力作用 B．只有磁力大于弹力，棋子才能被吸住 C．棋子受到的静摩擦力的大小与磁力大小成正比 D．棋子所受的磁力和棋盘对它的弹力是一对平衡力 【答案】D 【详解】A．棋子受到四个力作用，重力、棋盘的磁力、支持力和摩擦力，选项A错误； B．磁力和弹力是等大的，只有当最大静摩擦力大于或等于棋子的重力时棋子才能被吸住，选项B错误。 C．棋子受到的静摩擦力与重力等大反向，则与磁力大小无关，选项C错误； D．棋子所受的磁力和棋盘对棋子的弹力是一对平衡力，选项D正确。 故选D。 考向02 利用平衡推论求力的大小或方向 【例2】山崖上有一个风动石，无风时地面对风动石的作用力是F1，当受到一个水平风力时，风动石依然静止，地面对风动石的作用力是F2，以下正确的是（　　） A．F2大于F1 B．F1大于F2 C．F1等于F2 D．大小关系与风力大小有关 【答案】A 【详解】无风时，地面对风动石的作用力方向竖直向上，与重力平衡，大小为 当受到一个水平风力时，地面对风动石的作用力与竖直向下的重力及水平方向的风力F，三力平衡，根据平衡条件可知，地面对风动石的作用力大小为 故F2大于F1。 故选A。 考向03 直接合成法解决三力平衡问题 【例3】如图（a）、（b）、（c）所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，AB为缆绳，O处为铰链连接，杆和缆绳重力不计，当它们吊起相同重物时，三图中杆OA受力分别为Fa、Fb、Fc，下列关系正确的是（　 　） A．Fa>Fb>Fc B．Fa>Fc＝Fb C．Fa＝Fb>Fc D．Fa＝Fb＝Fc 【答案】C 【详解】（a）图中对A点受力分析可知，杆OA受力 （b）图中对A点受力分析可知，杆OA受力 （c）图中对A点受力分析可知，杆OA受力 则Fa＝Fb>Fc，故选C。 【对点1】如图所示，两个石块A、B静止在水平面上，石块C叠放在石块A、B上，也处于静止状态，石块C与石块B接触处切线水平，石块C与石块A 接触处切线倾斜且接触处光滑，下列说法正确的是（　　） A．石块C受3个力 B．石块B受4个力 C．石块 C 受到水平向左的摩擦力 D．水平面与石块A之间没有摩擦力 【答案】C 【详解】AC．对C受力分析，受竖直向下的重力，A对C斜向右上方的弹力，B对C竖直向上的弹力，C处于平衡状态，所受合力为0，根据平衡条件，可知C一定受到B对其水平向左的摩擦力，所以石块C受4个力，故A错误，C正确； B．由于B对C有水平向左的摩擦力，则C对B有水平向右的摩擦力，石块B还受到重力和地面的支持力，以及地面对B水平向左的摩擦力和C对B的压力，所以石块B受5个力，故B错误； D．对A受力分析，C对A斜向左下方的弹力，根据平衡条件，可知水平面对石块A有水平向右的摩擦力，故D错误。 故选C。 【对点2】一建筑基地上，两工人师傅用一轻质条形布带半包裹着一圆柱形石料匀速前进。如图所示，A、B为工人施力点，C为布带最低点，两侧布带与水平方向的夹角均为，若该柱料重力为G，则布带对该石料的作用力大小为（　　） A．0.5G B．G C． D．G 【答案】B 【详解】柱料匀速前进，受力平衡，只受重力和布带对它的作用力，所以布带对该石料的作用力大小为G，故选B。 【对点3】如图所示，将小球置于倾角为45°的斜面上，用竖直挡板挡住，使小球处于静止状态。若小球对斜面的压力大小为F1，对挡板的压力大小为F2，不计一切摩擦。以下说法正确的是（    ） A．F1<mg B．F2>mg C．F1<F2 D．F1>F2 【答案】D 【详解】对小球受力分析如图所示，由平行四边形的边长关系图可知 故选D。 考点02 共点力平衡问题的分析 知识点1 求解共点力平衡问题的一般步骤 1、选取研究对象：根据题目要求，恰当选取研究对象，在平衡问题中，研究对象可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统，还可以是几个物体相互连接的结点。 2、明确运动状态：判断物体是否处于平衡状态，是静止还是匀速直线运动。 3、进行受力分析：分析研究对象的受力情况，画出受力分析图。 4、列出方程求解：利用平衡条件建立方程并求解。 知识点2 解决共点力平衡问题的常用方法 1、单个物体的静态平衡 ①合成法：物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，作用在同一条直线上，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解。 如图所示，在平衡状态下，O点所受三个力的合力为0。F4为F1和F2的合力，则F4与F3平衡，即F4＝F3＝G，由图可知，，，则。 ②正交分解法：若物体受到三个以上的力，一般采用正交分解法。先把物体所受的各个力逐一地分解在两个相互垂直的坐标轴（x轴和y轴）上，再列出x轴和y轴方向上的方程并求解。 如图，①中的问题也可以用正交分解法求解。以O为原点建立直角坐标系。F2方向为x轴正方向，向上为y轴正方向。F1在两坐标轴方向的分矢量分别为F1x和F1y。因x、y两方向的合力都等于0，可列方程F2－F1x＝0，F1y－F3＝0。即F2－F1sinθ＝0，F1cosθ－G＝0。联立解得，。 ③矢量三角形法：三个共点力作用使物体处于平衡状态，则此三力首尾相接构成一个闭合的矢量三角形。把三个共点力转化为三角形的三条边，利用三角形定则，根据边角关系，求解平衡问题。（如果力的三角形并不是直角三角形，可以利用相似三角形等规律求解。） 2、多个物体的静态平衡 若系统中涉及两个或两个以上的物体，在选取研究对象时，可选用整体法和隔离法。 ①整体法：当几个物体组成的系统具有相同的运动状态，且在只涉及研究系统与外界的相互作用面不涉及系统内部物体之间的力与运动时，一般采用整体法。 ②隔离法：为了研究系统内某个物体的受力和运动情况，一般把需要研究的物体从系统中隔离出来进行研究的方法，称为隔离法。 考向01 整体法与隔离法解决共点力平衡问题 【例1】如图所示，一内表面光滑的半圆形凹槽放在粗糙的水平地面上，物块（可看做质点）静置于槽内最底部的A点处。现用一方向不变的斜向上的推力F把物块从A点沿着凹形槽缓慢推至B点，整个过程中，凹槽始终保持静止。设物块受到凹槽的支持力为FN，则在上述过程中下列说法正确的是（　　） A．F一直增大，FN先减小后增大 B．F和FN都一直增大 C．地面对凹槽的支持力一直增大 D．地面对凹槽的摩擦力保持不变 【答案】A 【详解】AB．采用图解法分析如下 由图可知F一直增大，FN先减小后增大，故A正确，B错误； C．外力F逐渐增大，竖直向上分力也逐渐增大，取整体为研究对象 可知地面对凹槽的支持力一直减小，故C错误； D．外力F逐渐增大，水平向右分力也逐渐增大，取整体为研究对象 可知地面对凹槽的有水平向左的摩擦力，且逐渐增大，故D错误。 故选A。 考向02 正交分解法解决共点力平衡问题 【例2】悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条粗细与质量分布均匀、柔软且不能伸长的链条在重力的作用下所具有的曲线形状。现搭建如图所示的一条悬链线，链的质量为m，经测量得两悬点M、N处切线与竖直方向夹角分别为37°和53°，两切线的交点为O，P是O点正上方链条上的点，Q为悬链线的最低点，，，则（　　） A．此时链条的重心在O点 B．M、N两悬点处弹力大小之比为 C．链条MQ和链条NQ质量之比为 D．整个链条最低点Q处弹力最小 【答案】BCD 【详解】A．由题意可知，整个链条重力作用线经过O点和P点，但由于链条形状不规则，重心在P点正上方，故A错误； B．如图，对整个链条受力分析 由平衡条件可得， 联立，解得，故B正确； C．设MQ悬链质量为，NQ悬链质量为，设Q点左右侧拉力大小均为T，由于Q为最低点，所以Q处拉力沿水平方向，对，由平衡条件得 对，由平衡条件得 联立，解得，故C正确； D．选取某一段链条AQ为研究对象，设该段质量为，该段左侧拉力为，由平衡条件得 可知整个链条上张力最小的点为最低点Q，故D正确。 故选BCD。 考向03 三角形法则解决共点力平衡问题 【例3】 中秋节汇演时，某同学表演了一个魔术，将一块磁铁藏在自己的袖子里，对着用细线悬挂的铁球施加“魔力”，铁球便按着他的指令运动起来。如图所示，某次表演中，他先使手与铁球在同一水平线上，然后缓慢抬升手臂，铁球跟着在手臂右下方缓慢移动，某时刻停止移动手臂，铁球随即保持静止，此时悬线紧绷且偏离竖直线的夹角为。已知小球的质量为，重力加速度为，则此时他对小球施加的“魔力”大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】以金属球为研究对象，受力分析如图所示 根据作图法可知，当“魔力”的方向与细绳方向垂直时，“魔力”最小，根据平衡关系可知此时“魔力”的大小为 手臂在球的正上方时，“魔力”最大，此时 综上所述，魔力的大小范围为。 故选BC。 考向04 用相似三角形解决平衡问题 【例4】如图所示，一定质量的物体通过轻绳悬挂，结点为。人沿水平方向拉着绳，物体和人均处于静止状态。若人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，下列说法正确的是（　　） A．绳中的拉力不变 B．绳中的拉力逐渐增大 C．地面对人的摩擦力不变 D．若绳、绳所能承受的最大拉力相同，则绳会先断 【答案】BD 【详解】AB．根据矢量三角形可知，当人的拉力方向不变，缓慢向左移动一小段距离，则OA与竖直方向夹角变大，OA的拉力由图中1位置变到2位置，可见OA绳子拉力变大，OB绳拉力逐渐变大，故A错误，B正确； C．OB拉力变大，根据平衡条件知地面给人的摩擦力逐渐增大，故C错误； D．由矢量三角形可知，OA绳的拉力大于OB绳的拉力，则OA绳会先断，故D正确。 故选BD。 【对点1】粗糙水平地面上有一质量为、倾角为的粗糙楔形物体，斜面上有一个质量为的物块，与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一个质量为的小球，右上方有一拉力，初始夹角，如图所示。现让拉力顺时针缓慢转动且保持大小不变，转动过程、始终保持静止。已知与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．、间的摩擦力一直减小 B．绳上拉力先减小再增大 C．地面对物体的支持力先减小再增大 D．物体对地面的摩擦力方向水平向右 【答案】CD 【详解】AB．对结点处受力分析，α角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，如图所示 通过分析可得FT先增大再减小，F一直减小，初始状态，对A分析可得绳子拉力为FT=mg， 对B分析，有FT=2mgsin30°=mg 即一开始B与C间的静摩擦力为零，故当绳子拉力FT从mg先增大再减小到mg，B、C间的静摩擦力方向一直沿斜面向下且先增大再减小，故AB错误； C．将B、C看成整体，竖直方向有N地+FTsin30°=（2m+M）g 由于FT先增大再减小，BC总重力不变，故N地先减小再增大，故C正确； D．由于绳的拉力，B和C有整体向右移的趋势，因此地面对物体C的摩擦力水平向左，根据牛顿第三定律，物体C对地面的摩擦力方向水平向右，故D正确。 故选CD。 【对点2】如图所示，质量均为M的a、b两滑块放在粗糙水平面上，滑块与粗糙水平面间的动摩擦因数为，两轻杆长度均为L，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，杆与水平面间的夹角为，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物c，整个装置处于静止状态。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（　　） A．轻杆上弹力大小为 B．地面对滑块a的摩擦力大小为 C．滑块a受到地面的支持力大小为 D．为保证无论m多大，a、b都不滑动，至少为 【答案】D 【详解】A．对铰链、轻绳与重物c进行分析，利用对称性，根据平衡条件有 解得，故A错误； B．对滑块a进行分析，根据平衡条件有 结合上述解得，故B错误； C．对滑块a进行分析，根据平衡条件有 结合上述解得，故C错误； D．根据对称性可知，a、b都不滑动，则有 结合上述解得 当时，解得 即为保证无论m多大，a、b都不滑动，至少为，故D正确。 故选D。 【对点3】风筝发明于中国东周春秋时期，是在世界各国广泛开展的一项群众性体育娱乐活动。一平板三角形风筝（不带鸢尾）悬停在空中，如图为风筝的侧视图，风筝平面与水平面的夹角为θ，风筝受到空气的作用力F垂直于风筝平面向上。若拉线长度一定，不计拉线的重力及拉线受到风的作用力，一段时间后，风力增大导致作用力F增大，方向始终垂直于风筝平面，夹角θ不变，再次平衡后相比于风力变化之前（　　） A．风筝距离地面的高度变大 B．风筝所受的合力变大 C．拉线对风筝的拉力变小 D．拉线对风筝的拉力与水平方向的夹角变小 【答案】A 【详解】BCD．对风筝受力分析如下图 风力变化之前，风力为F，风筝重力为G，拉线拉力为T；当风力增大，风力变为F1，风筝重力不变，拉线拉力变为T1，矢量三角形如图所示，风筝悬停在空中，可得风筝所受的合力始终为零，保持不变，由图可以看出，再次平衡后相比于风力变化之前，拉线拉力变大，拉线对风筝的拉力与水平方向的夹角α变大，故B、C、D错误； A．设拉线长为L，则风筝距地面高度h＝Lsinα，再次平衡后相比于风力变化之前，风筝距离地面的高度变大，故A正确。 故选A。 【对点4】一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力的大小变化情况是（   ） A．F先减小，后增大 B．F逐渐增大 C．先减小，后增大 D．始终不变 【答案】D 【详解】设物体的重力为G，对B点受力分析，如图做出力的矢量三角形。 力的矢量三角形与相似，列出相似比 因为，OA长度不变，得到相似比不变，运动过程中OB长度不变，所以不变；AB长度变小所以F减小，故ABC错误，D正确。 故选D。 考点03 动态平衡问题的常用解法 方法 适用范围 步骤 解析法 通常应用于物体受到四个及四个以上的力而平衡的情形 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②将物体受的力按实际作用效果分解或进行正交分解 ③列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式 ④根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况 图解法 一个力的大小、方向不变，一个力的方向不发生变化，另一个力的方向发生变化 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②根据平衡条件进行受力分析，将表示物体受到的力的矢量线段画在一个三角形或平行四边形内 ③根据已知量的变化，画出平行四边形或三角形的边角变化 ④通常以大小、方向都不变化的力作为参考标准，通过分析三角形或平行四边形边、角变化，确定未知量大小、方向的变化 辅助圆法 一个力的大小和方向不变，另外两个力的夹角不变 ①选某一状态时的物体进行受力分析（一般选初状态） ②根据平衡状态构建矢量三角形 ③画出矢量三角形的外接圆 ④根据物体位置的变化确定各量的变化 相似三角形法 一个力的大小、方 向 不变，另外两个力的方向都发生变化 ①选某一状态时的物体进行受力分析 ②根据某一个时刻的平衡状态构建矢量三角形 ③根据图中几何关系，找到一对相似三角形 ④根据相似三角形的性质建立边的比例关系，通过不变的已知量找到未知量的变化情况 考向01 动态平衡问题 【例1】宇树科技的机器人亮相2025春晚，该机器人不仅可以表演创意舞蹈，还可以精准完成前后左右劈叉动作。如图所示，机器人静止站立在水平地面上，两脚左右对称，则（    ） A．地面对机器人的弹力由机器人的形变产生 B．地面对机器人的作用力大于机器人的重力 C．若机器人两脚间的夹角变大，地面对机器人的支持力将变大 D．若机器人两脚间的夹角变大，左脚所受地面的摩擦力将变大 【答案】D 【详解】A．地面对机器人的弹力由地面的形变产生，故A错误； B．对机器人，由平衡条件可知，地面对机器人的作用力与机器人的重力等大反向，故B错误； C．对机器人，由平衡条件可知，在竖直方向上，地面对机器人的支持力大小始终等于重力大小，故两脚夹角变大，支持力不变，故C错误； D．设机器人两脚间的夹角为，单脚产生的弹力F对机器人竖直方向有 则左脚所受地面的摩擦力 联立解得 可知机器人两脚间的夹角变大，则变大，因此左脚所受地面的摩擦力将变大，故D正确。 故选D。 考向02 自锁问题 【例2】如题图所示，三个相同的小物块 、 、 （可视为质点）静止在粗糙水平面上，三根等长的轻杆一端分别通过光滑铰链连接在 上，另一端通过光滑铰链连接在 处，各杆与水平面间的夹角均为 。现在 处连接一质量为 的平台，已知三个物块与水平面间的动摩擦因数相同，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 (1)若 、 、 的质量均为 ，物块与水平面间的动摩擦因数为 ，连接平台后三个物块恰好刚要发生滑动，求平台质量 应满足什么条件？ (2)若在平台上放置一个物体，无论物体质量多大均不能使 A、 B、C 与水平面发生相对滑动， 求物块与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 以A物体为研究对象，受到重力、水平面的支持力、水平的摩擦力、轻杆的弹力，在四个力作用下处于平衡状态，如上图所示 水平方向 ，竖直方向 ，，研究平台的平衡 解得 （2）若在平台上放置一个物体，物体质量越大，轻杆对A（B、C）物体的弹力F越大，原问题相当于无论F多大，A（B、C）均不能滑动，三个小物块与水平面之间为静摩擦力 ，， 联立可得 ，当F很大时， 可得 考向03 刚体平衡条件及其应用 【例3】 直杆AB和BC按如图所示连接，A、B、C处均为铰链，杆及铰链的质量都不计．现将重力为G、可视为质点的物块放在图中P处．则（　　） A．AB杆对BC杆的作用力方向沿BC连线斜向下 B．BC杆对AB杆的作用力方向垂直于AB向上 C．若AP间距变大，BC杆对AB杆的作用力变大 D．若AP间距变大，AB杆对BC杆的作用力关于C点的力矩不变 【答案】ACD 【详解】A．以BC为研究对象，受到AB杆的作用力和墙的作用力，二力平衡，必定大小相等，方向相反，作用在同一直线上，墙的作用沿CB连线向上，则AB杆对BC杆的作用力方向沿BC连线斜向下，故A正确。 B．根据牛顿第三定律分析可知，BC杆对AB杆的作用力方向沿CB连线斜向上，故B错误。 C．若AP间距变大，其重力关于A点的力臂增大，力矩增大，而BC杆对AB杆的作用力的力臂没有变化，则由杠杆平衡条件得知BC杆对AB杆的作用力变大，故C正确。 D．AB杆对BC杆的作用力关于C点的力矩为零，保持不变。故D正确。 故选ACD。 考向04 “活结”、“死结”问题 【例4】晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根竖直杆上的两点，两点等高，无风状态下衣服保持静止。某一时刻衣服受到水平向右的恒定风力而发生滑动，并在新的位置保持静止，如图所示。两杆间的距离为，绳长为，衣服和衣架的总质量为，重力加速度为，不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，。则（　　） A．无风时，衣服只能停在绳子中点 B．无风时，轻绳的拉力大小为 C．有风时，衣服在新的平衡位置，挂钩左、右两侧绳子的拉力大小不相等 D．有风时，衣服在新的平衡位置，不变 【答案】AB 【详解】A．无风时，衣服受重力和两段绳子的拉力平衡，由于绳子两端固定点等高，且绳子是 “活结”，两段绳子的拉力大小相等，根据对称性，衣服会停在绳子的中点，故A正确； B．无风时，衣服受到重力和两边绳子的拉力处于平衡状态，同一条绳子拉力大小相等，则挂钩左右两侧绳子与竖直方向的夹角相等，设为。由几何关系可得 解得 根据平衡条件可得 解得，故B正确； C．由于不计绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦，则挂钩相当于动滑轮，两端绳子的拉力总是相等，故C错误； D．设无风时绳子夹角的一半为，绳长为L，有风时绳子夹角的一半为，有风时如图 根据几何关系，有风时可得 无风时可得 又 故，可知有风时，衣服在新的平衡位置，变小，故D错误。 故选AB。 考向05 恰好发生相对滑动的临界问题 【例5】如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量均为，与地面间的动摩擦因数均为。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面如虚线所示，整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求： (1)未拉A时，C受到B作用力的大小； (2)A向右移动时，A对C的作用力大小； (3)动摩擦因数的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）未拉A时，物体C受力平衡，如图所示 根据平衡条件可得 解得 （2）A向右移动时，设A、C球心连线与水平方向的夹角为，根据几何关系可得 解得 对C，根据平衡条件可得 解得A对C的作用力大小为 （3）当C恰好降落到地面时，B与C之间的作用力的方向与竖直方向之间的夹角最大，且为，则B对C支持力最大为，如图所示 根据平衡条件可得 解得 对B有， 又 联立解得 可知动摩擦因数的最小值为 考向06 平衡问题中的极值问题 【例6】如图所示，质量为0.4kg、倾角为53°的斜面体A静置于水平地面上，质量为0.54kg的物块C悬挂在轻绳OP、OQ的结点O处，OP水平，OQ与竖直方向的夹角为53°，且跨过轻质光滑定滑轮与斜面体上的物块B相连（BQ段绳与斜面平行）。A与B之间、A与地面之间的动摩擦因数均为。整个系统在图示位置始终保持静止，设最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度，，。求： (1)A对定滑轮的作用力； (2)物块B质量的取值范围。 【答案】(1)，斜向右上，与竖直方向夹角为 (2) 【详解】（1）对O点受力分析，受到绳子OP的拉力、绳子OQ的拉力，以及悬挂物块C的重力 根据平衡条件可得， 代入数据可得， 定滑轮受到A对定滑轮的支持力、绳子OQ的拉力和BQ段绳子的拉力，由于是同一根绳子，所以 、的合力为 方向向左下，与竖直方向夹角为， 根据平衡条件可得 方向向右上，与竖直方向夹角为； （2）将AB看作一个整体进行受力分析，AB受到重力，地面对A的支持力，绳子OQ的拉力，地面对A的摩擦力 根据平衡条件有 代入数据解得 对物块B受力分析，B受到重力、绳子的拉力、摩擦力，A对B的支持力， 当物块B的质量取最小值时，B所受的摩擦力为最大静摩擦力且方向沿斜面向下，即 根据平衡条件有沿斜面方向 垂直斜面方向有 代入数据可得（舍去） 物块B的质量取最大值时，摩擦力为最大静摩擦力且方向沿斜面向上， 根据平衡条件沿斜面方向有 垂直斜面方向有 代入数据可得 综上物块B的质量取值范围为 考向07 “定杆”、“动杆”问题 【例7】图甲中，轻杆AB一端与墙上的光滑铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为，在B点下方用另一轻绳悬挂质量为m的重物。图乙中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，用轻绳绕过滑轮悬挂质量为m的重物，倾斜部分绳、杆之间夹角也为。图甲、乙中轻杆都垂直于墙，则下列说法正确的是（　　） A．轻杆AB和轻杆CD的弹力大小相等 B．轻杆AB的弹力大于轻杆CD的弹力 C．轻杆AB和轻杆CD中弹力方向均沿轻杆方向 D．若图甲、乙中轻绳能承受的最大拉力相同，则物体加重时，图乙中倾斜部分轻绳更容易断裂 【答案】B 【详解】C．甲图中的杆为“活杆”，弹力方向沿杆方向，乙图中的杆为“死杆”，弹力方向不沿杆方向，而是沿两根绳的拉力的合力的反方向，故C错误； AB．图甲中，以B点为研究对象，受到重物的拉力、绳的拉力和AB杆的弹力，根据平衡条件得杆的弹力 图乙中，以D点为研究对象，受到上、下两段绳的拉力，其大小都等于mg和CD杆的弹力，由于两段绳的拉力的夹角为，则由几何知识可得 即轻杆受到的弹力等于mg，故A错误、B正确； D．甲图中轻绳的拉力为 乙图中轻绳的拉力 若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂，故D错误。 故选B。 考向08 平衡状态的定义及条件 【例8】有一种圆珠笔，内部有一根小弹簧。如图甲所示，笔杆竖直放置，在圆珠笔尾部的按钮上放一个砝码，砝码静止时，弹簧压缩量为0.2cm。现用这支圆珠笔水平推一本放在水平桌面上质量为400g的书，当按钮压缩量为0.4cm（未超过弹簧的弹性限度）时，书恰好做匀速直线运动，如图乙所示。已知笔内小弹簧的劲度系数为500N/m，重力加速g取10m/s2。求： (1)砝码的质量； (2)书与水平桌面间的动摩擦因数大小； (3)用水平力F=10N将该书压在竖直墙壁上处于静止状态，如图丙所示，书与墙壁间的动摩擦因数与水平桌面相同，当F减小为6N时，书受到的摩擦力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在圆珠笔尾部的按钮上放一个砝码，砝码静止时，弹簧压缩量为0.2cm，根据平衡条件有 代入数据解得砝码的质量 （2）书质量为400g，当按钮压缩量为0.4cm，书恰好做匀速直线运动，根据平衡条件有 可得书与水平桌面间的动摩擦因数大小 （3）对书，当书的静摩擦力恰好达到最大时有 解得 可知当F减小为6N时，书受到的摩擦力为滑动摩擦力，对书有 可知 考向09 三维空间的共点力平衡问题 【例9】如图所示，在水平地面上固定一粗糙斜面体，A、B两完全相同的物体分别受到平行于斜面的拉力。在拉力的作用下，A物体沿斜面向上做匀速直线运动，B物体平行于斜面底端做匀速直线运动，将A、B两物体的受力进行比较，则（　　） A．物体A受到的摩擦力更大 B．物体B受到的摩擦力更大 C．物体B受到的拉力更小 D．物体A受到的拉力更小 【答案】C 【详解】设斜面与水平面夹角为，对A，由平衡条件得， 对B，由平衡条件得， 显然 故选C。 考向10 用解析法解决平衡问题 【例10】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳左端固定在晾衣架上O点，右端系在a点，光滑小滑轮悬挂一衣服可在轻绳上滑动。先将轻绳右端沿竖直杆缓慢上移到b点，然后再沿水平杆缓慢移至c点，整个过程衣服始终没与地面和杆接触，设轻绳张力为F，滑轮左侧轻绳与竖直方向夹角为，则轻绳右端沿杆（　　） A．由的过程，F不变，不变，衣服的位置不变 B．由的过程，F不变，不变，衣服的位置升高 C．由的过程，F变大，变小，衣服的位置下降 D．由的过程，F变小，变小，衣服的位置升高 【答案】B 【详解】AB．根据几何关系可知两段绳子间的夹角为，对衣服受力分析如图所示 由平衡条件可得 解得 设绳子总长为，两杆间距为，由几何关系有 可得 由的过程，、均不变，则不变，由 可知不变，由几何关系可知衣服位置升高，故A错误，B正确； CD．由的过程，变小，则变小，变大，则变小，由几何关系可知衣服位置下降，故CD错误。 故选B。 考向11 用图解法解决平衡问题 【例11】在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中。 (1)步骤如下： a、如图甲，水平桌上放一块木板，用图钉把一张白纸钉在木板上，再用图钉把橡皮条一端固定在板上的A点。 b、在橡皮条另一端系上两条细绳形成结点，细绳的另一端系着绳套。先用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉细绳的结点到O点，记下O点位置和两测力计拉力、的大小及方向；再用一个弹簧测力计钩住绳套，拉细绳的结点到 ，记下这个测力计拉力的大小及方向。 c、如果操作正确，图乙中的F与两力中，方向一定沿橡皮条AO方向的是 。 (2)如果图甲中两弹簧测力计的夹角小于90°，保持弹簧测力计B的方向以及结点O的位置不变，将弹簧测力计C沿逆时针方向缓慢转动至水平向右的过程中，若弹簧测力计量程足够大，弹簧测力计B的读数将 （选填“一直增大”“一直减小”“先减小后增大”或“先增大后减小”）。 【答案】(1) O点 (2)一直增大 【详解】（1）[1]判断力F单独作用与力、共同作用效果是否相同的依据是使橡皮条上的结点到达同一位置，即用一个弹簧测力计钩住绳套，拉细绳的结点到O点； [2]图乙中F是根据平行四边形定则合成出来的理论值，由于实验误差的存在，方向不一定沿AO方向；是用一个弹簧测力计测量出来的实验值，根据二力平衡条件，方向一定沿AO方向； （2）作出两弹簧测力计的合力，如图所示 现在将弹簧测力计C沿逆时针方向缓慢转动，显然弹簧测力计C的读数先减小后增大，弹簧测力计B的读数一直增大。 考向12 用辅助圆解决平衡问题 【例12】如图所示，半球形容器固定在地面上，容器内壁光滑，开始时，质量分布均匀的光滑球A和同种材质构成的质量分布均匀的光滑球B放在容器内处于平衡状态，位置关系如图中所示，A球半径大于B球。一水平力F作用在A球上，且力F的延长线过A球球心，从图示位置开始缓慢推动A球，直到B的球心与容器的球心O等高，则下列判断正确的是（　　） A．B球受到A球的弹力逐渐增大 B．B球受到A球的弹力先增大后减小 C．容器对B球的支持力逐渐增大 D．容器对B球的支持力先增大后减小 【答案】AD 【详解】对B球受力分析如图1所示，缓慢推动A球直到B的球心与容器的圆心O等高的过程中，三角形OAB边长恒定，N1和N2的夹角不变，根据三力平衡作出矢量三角形如图2所示 从图2可以看出B球受到A球的弹力N1逐渐增大，容器对B球的支持力N2先增大后变小。 故选AD。 考向13 用正弦定理解决平衡问题 【例13】如图所示，两根轻绳一端系于结点，另一端分别系于竖直固定环上的两点，点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为，绳与夹角，拉力大小为。将两绳同时缓慢沿顺时针转过60°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是（　　） A．逐渐增大 B．先增大后减小 C．逐渐减小 D．先减小后增大 【答案】AC 【详解】如图所示 作出矢量三角形，由正弦定理可知 在旋转过程中，两段绳子的夹角不变，则始终为60°，而会从90°逐渐减小，会从30°逐渐增大至90°，从而根据正弦值的变化可知，逐渐增大，逐渐减小。 故选AC。 【对点1】如图所示，水平地面放置一个斜面体，斜面体上的A物体通过平行斜面的轻绳绕过光滑定滑轮与轻环B相连，环B套在竖直放置的杆上，轻绳上放置一个轻质可视作质点的动滑轮，动滑轮下悬挂一个物体，系统处于静止状态，在完成以下运动过程后，整个系统仍处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．将物体A向上移动后，A物体受到的摩擦力大小一定不变 B．竖直杆向右移动后，地面对斜面体的摩擦力大小一定增大 C．竖直杆向右移动后，竖直杆对环的摩擦力大小一定不变 D．将环向上移动后，竖直杆对环的作用力大小一定增大 【答案】BC 【详解】A．设悬挂小物体的质量为m，动滑轮两侧轻绳与竖直方向夹角为，根据平衡条件，可得绳上拉力为 将物体A向上移动后，动滑轮两侧绳子夹角减小，绳上拉力减小，因为不确定物体A与斜面间的摩擦力方向，所以A物体受到的摩擦力大小不一定增大，故A错误； B．竖直杆向右移动后，动滑轮两侧绳子夹角增大，根据 可知绳上拉力增大，对A和斜面整体分析，水平方向有 可知地面对斜面体的摩擦力大小一定增大，故B正确； C．对环受力分析可知，竖直方向受力平衡，即竖直杆对环的摩擦力等于环的重力与轻绳拉力的竖直分力之和，竖直杆向右移动后，轻绳拉力的竖直分力仍等于悬挂小物体重力的一半，并没有变化，所以竖直杆对环的摩擦力大小一定不变，故C正确； D．将环向上移动后，动滑轮两侧绳子夹角未变，则轻绳拉力未变，地面对斜面体的摩擦力未变，对斜面体、A物体、轻绳、悬挂小物体以及环组成的整体受力分析，可知竖直杆对环的弹力与地面对斜面体的摩擦力等大反向，即竖直杆对环的弹力未变，由C选项分析可知竖直杆对环的摩擦力也没变，所以竖直杆对环的作用力大小一定不变，故D错误。 故选BC。 【对点2】相同的甲乙两物体质量m=50kg，甲受到与水平方向成30°斜向上的拉力F1，乙受到与水平方向成30°斜向下的推力F2。 如图a所示。在力的作用下它们都沿着同一粗糙水平面向右做匀速直线运动，已知F1=200N。（g取10m/s2） (1)求物体与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ； (2)求物体乙受到的推力F2的大小； (3)若改变乙所受推力F与水平方向夹角α，如图b所示，使得F无论多大也不能移动物体。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则F与水平方向的夹角α应满足什么条件（用表示） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）甲物块在拉力作用下向右做匀速直线运动，根据平衡条件在竖直方向上有 在水平方向上有 又 联立并代入数据得 （2）换成推力后，物块仍向右做匀速直线运动，根据平衡条件在竖直方向上有 在水平方向上有 又 联立并代入数据得 （3）对乙进行受力分析，受到重力、支持力、推力和摩擦力，如图所示： 水平方向有 竖直方向 解得不等式 右边恒大于0，当F取无限大时，极限值为零，则恒成立。 故当时，F无论多大也推不动物块。 【对点3】如图所示，一架直梯斜靠在光滑的竖直墙壁上，下端处于粗糙的水平地面上，此时直梯和竖直墙的夹角为，直梯处于静止状态。则下列说法正确的是（　　） A．直梯受5个力作用 B．地面对直梯的支持力沿图中BA方向 C．若角增大，直梯仍能静止，则地面对梯子的支持力增大 D．若角增大，直梯仍能静止，则地面对梯子的摩擦力增大 【答案】D 【详解】AB．在竖直方向上，直梯受到重力、地面的支持力，因为竖直墙光滑，所以竖直墙对直梯没有摩擦力；在水平方向上，受到竖直墙的弹力，因为直梯处于静止状态，所以地面对梯子有向左的静摩擦力，因此直梯共受4个力的作用，地面对直梯的支持力与地面垂直，如图所示。 故AB错误； C．地面对梯子的支持力与重力平衡，即有FN1=G，与夹角无关，故C错误； D．若α角增大，直梯仍能静止，以直梯与竖直墙的接触点O为转轴，设直梯长度为L。 根据力矩平衡条件可得fLcosα+G•sinα=FN1Lsinα 则得f=Gtanα α增大，则地面对梯子的摩擦力f增大，故D正确。 故选D。 【对点4】如图所示，一光滑轻质细绳跨过固定在竖直墙壁上的定滑轮，下端连接一个物体，上端系在水平天花板上，物体静止。现将绳的上端从水平天花板的A点缓慢移到B点，物体未碰到滑轮，则此过程中（　　） A．细绳的拉力逐渐增大 B．细绳的拉力逐渐减小 C．定滑轮对细绳的作用力逐渐增大 D．定滑轮对细绳的作用力方向在纸面内沿顺时针转动 【答案】C 【详解】AB．对物体受力分析可知细绳的拉力大小始终等于物体的重力。故AB错误； CD．定滑轮对细绳的作用力和细绳对定滑轮的作用力是一对相互作用力，细绳对定滑轮的作用力是两段细绳对定滑轮拉力的合力，将绳的上端从水平天花板的A点缓慢移到B点的过程中，两段细绳的拉力大小相等且不变，两力方向夹角减小，根据平行四边形定则可得两段细绳拉力的合力大小逐渐增大，方向逆时针转动。 故C正确，D错误。 故选C。 【对点5】如图所示，质量分布均匀的直杆AB置于水平地面上，现在A端施加外力F，缓慢拾起直杆至竖直，B端始终和地面保持相对静止，F的方向始终和直杆垂直，要确保直杆B端始终和地面保持相对静止，则直杆和地面间的动摩擦因数至少为多少？ 【答案】 【详解】直杆AB被缓慢地提起且B端静止不动，显然处于动态平衡状态，对其受力分析发现受重力mg和外力F以及地面的支持力与摩擦力（可合成为一个力），且这些力的方向并不平行，因此力的延长线必然汇交于同一点，故可作受力分析图如图所示。 根据图，若B端始终与地面保持相对静止，则角不能大于B端的摩擦角，即角的正切值满足 取杆长为L，作OC平行于，显然与直杆受力平衡状态下重力mg和外力F以及支持力与摩擦力的合力所构成三角形为相似三角形，因此，可以将对共，点力平衡关系的探讨转化为对边长与角度的几何关系的探讨。 根据正弦定理，在存在① 其中边和OC边的边长满足② 联立表达式①、②，消去L可得 对该式进行整理可将之转化为关于的表达式， 由基本不等式关系即可得到，说明直杆与地面间的动摩擦因数至少为。 【对点6】如图所示，足够长的固定斜面倾角为30°，质量为m的滑块在拉力F的作用下沿斜面向下做匀速直线运动。已知滑块与斜面之间的动摩擦因数，重力加速度大小为g，为了使拉力F最小，下列说法正确的是（　　） A．拉力F应竖直向上 B．拉力F应沿着水平方向 C．拉力F应垂直于斜面向上 D．拉力F的最小值一定小于0.1mg 【答案】D 【详解】D．为了使拉力F最小，设拉力F与斜面的夹角为，对滑块受力分析，根据平衡条件有 变形得 根据数学知识可得 可知当时拉力F有最小值，即，故D正确； ABC．当时拉力F有最小值，则有 则，故ABC错误。 故选D。 【对点7】如图所示，质量分布均匀的直杆AB置于水平地面上，现在A端施加始终和直杆垂直的外力F，缓慢拾起直杆直至竖直。若B端始终和地面之间保持相对静止，问直杆和地面之间的动摩擦因数至少为多少。 【答案】 【详解】注意到B处所受的支持力N和摩擦力f作用点相同，可以直接合成为全反力R，进而摩擦角为全反力与竖直方向（即重力作用线）的夹角。 直杆可以认为是在3个力（重力G、外力F、地面的作用力R）作用下的3力平衡。画出直杆的受力（如图1所示），可以得到3力交于点P。 图中的为杆抬起的倾角，为摩擦角，由动摩擦因数的定义可知，保持静止时 通过观察图1可以发现，重力G的方向为PC，全反力R的方向为BP，所以摩擦角就是。题目要求准静态过程中的最小动摩擦因数，也就是求的最大值。注意到的外接圆，是该圆中弦BC所对的圆周角。由于BC的长度确定（为杆长的一半），所以要使它所对的圆周角最大，圆的半径就必须最小。 注意到外力F沿AP方向，而AP与杆AB始终垂直。通过动圆的分析，容易发现，当圆与F的作用线相切时，圆的半径最小，如图2（a）所示。 下面进行定量计算，画出圆心O和BC的中点M，如图2（b），并连接OB、OM、OC、OP。因为是等腰三角形，所以 从而 由于同弦所对的圆周角是圆心角的一半，所以 所以，摩擦角就等于。由于四边形OPAM是矩形，所以，圆半径 所以 此时 所有平衡状态下，摩擦角的正切值均不大于，所以动摩擦因数至少为。 【对点8】下列说法正确的是（　　） A．物体受摩擦力时必定同时受弹力，受弹力时也一定同时受摩擦力 B．一个物体同时受到、和三个共点力的作用时，该物体不可能处于平衡状态 C．两个互成一定角度的共点力，其中一个力减小，合力不一定减小 D．倾角为的固定粗糙斜面上静止一质量为的物体，重力可以分解为下滑力和压力 【答案】C 【详解】A．物体受摩擦力时必定有弹力（因摩擦力需接触面挤压），但受弹力时不一定有摩擦力（如光滑接触面），故A错误； B．2N、3N、4N三个力满足任意两力之和大于第三力，可构成合力为零的矢量三角形，物体可能平衡，故B错误； C．若两力夹角较大（如接近180°），减小其中一个力可能导致合力增大（例如：原合力为两力之差，减小时反向力后差值增大），故C正确； D．重力分解为沿斜面方向的分力和垂直斜面方向的分力，重力的分力不能说成下滑力和压力，故D错误。 故选C。 【对点9】箩筐挑东西的简化图如图所示，箩筐口是半径为R的圆。箩筐由a、b、c三根长均为2R的绳吊起，且三根绳和箩筐连接点将箩筐口均分为三等份。箩筐及筐中物品的总质量为m，绳的重力不计，若人挑着箩筐静止不动时，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．三根绳对箩筐的作用力为mg，方向竖直向下 B．每条绳的拉力大小为 C．改用更长的三根绳，每条绳上的拉力将不变 D．a、b两绳拉力的合力与c绳的拉力大小相等方向相反 【答案】B 【详解】A．箩筐及筐中物品处于静止状态，根据平衡条件，可知三根绳对箩筐的作用力与重力平衡，大小为，方向竖直向上，故A错误； B．设每根绳与竖直方向的夹角为，根据几何关系可得 解得 对箩筐及筐中物品分析，在竖直方向上根据平衡条件有 解得，故B正确； C．若改用更长的三根绳，即，根据几何关系有 可知减小，故减小，则增大，根据平衡条件有 可得 可知拉力减小，故C错误； D．根据受力分析，可知 a、b两绳的拉力在水平方向的分力的合力与c绳的拉力在水平方向的分力大小相等方向相反，故D错误。 故选B。 【对点10】如图所示，墙壁竖直，清洗楼房玻璃的工人用一根绳索将自己悬在空中。若悬绳（质量不计）的长度增大，其他情况不变，则下列说法正确的是（　　） A．悬绳对工人的拉力增大，墙壁对工人的弹力增大 B．悬绳对工人的拉力增大，墙壁对工人的弹力减小 C．悬绳对工人的拉力减小，墙壁对工人的弹力增大 D．悬绳对工人的拉力减小，墙壁对工人的弹力减小 【答案】D 【详解】设工人所受重力为G，根据物体的平衡条件可得，当悬绳与竖直方向的夹角为时，悬绳对工人的弹力大小以及墙壁对工人的弹力大小分别为、 在悬绳的长度增大的过程中减小，则、均减小。 故选D。 【对点11】将一个质量为2kg的铅球放在倾角为的斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态，不考虑铅球受到的摩擦力。某时刻起挡板绕O点逆时针缓慢旋转至水平，重力加速度，则下列分析正确的是（　　） A．挡板的弹力初始值为20N，过程中一直增大 B．挡板的弹力先减小后增大，过程中最小值为 C．斜面对球的支持力初始值为，过程中先增大后减小 D．小球受到的合力逐渐减小 【答案】B 【详解】ABC．根据题意，对球受力分析，如图所示 由平衡条件可得， 解得挡板的弹力初始值为F=20N 斜面对球的支持力初始值为 将挡板绕O点逆时针转至水平的过程中挡板对球的弹力由水平向右逆时针转至竖直向上，如图所示 由矢量三角形可知挡板对球的弹力先减小后增大，斜面对铅球的弹力一直减小，挡板与斜面垂直时，F存在最小值，为，故B正确，AC错误； D．铅球始终处于平衡状态，所以铅球受到的合外力始终为零，故D错误。 故选B。 【对点12】三段轻绳、、绳悬挂在天花板上的点，绳下面悬挂一个小球，第一次，保持结点位置不变如图甲所示，某同学拉着轻绳从水平位置缓慢转动到竖直位置；第二次，保持轻绳垂直于，缓慢移动轻绳，使轻绳从竖直位置缓慢转动到如图乙所示位置，则下列说法正确的是（　　） A．第一次轻绳的拉力先减小后增大 B．第一次轻绳的拉力先增大再减小 C．第二次轻绳的拉力逐渐减小 D．第二次轻绳的拉力逐渐增大 【答案】AC 【详解】AB．对甲图中的O点受力分析，两绳的合力等于小球的重力，其大小和方向不变，利用图解法画出受力分析图，如图所示 由图可知OC绳拉力先减小后增大、OA绳拉力逐渐减小；故A正确，B错误； CD．对乙图中的O点受力分析，两绳的合力等于小球的重力，其大小和方向不变，利用图解法画出受力分析图，如图所示 则图中OC绳拉力逐渐增大、OA绳拉力逐渐减小，故C正确，D错误。 故选AC。 【对点13】如图所示，三根不可伸长的轻绳结点为，轻绳1水平，轻绳2与竖直方向夹角为并保持不变，轻绳3下端悬挂一小球并处于静止。现对小球施加外力，在的方向与轻绳3的夹角为钝角且保持不变的情况下，使小球缓慢向右升高，直到轻绳3达到水平。则该过程中（　　） A．外力先变大后变小 B．轻绳3的拉力先变小后变大 C．轻绳2的拉力一直变小 D．轻绳1的拉力先变大后变小 【答案】D 【详解】AB．对小球进行受力分析。设轻绳3与竖直方向的夹角为θ，β是外力F与轻绳3的拉力T3的夹角（钝角）保持不变。  小球受到重力、轻绳3的拉力T3和外力F三个力的作用，处于平衡状态。这三个力构成一个封闭的矢量三角形。 根据正弦定理，有。小球缓慢移动过程中，θ从0°增加到90°过程中，F一直增大，T3先增大后减小，A错误，B错误； C．对结点O进行受力分析 结点O受到轻绳1的拉力T1、轻绳2的拉力T2和轻绳3的拉力T3的作用，处于平衡状态。建立水平和竖直坐标系，进行正交分解： 水平方向：， 竖直方向： 解得： ， 当θ从0°增加到90°时，从β减小到β-180°，的值先增大后减小。因此，T2先变大后变小，C错误； D． 公式变形 。只需要考虑的变化情况即可，当θ从0°增加到90°时，从减小到。这个角度区间包含0°（当时），此时有极大值，所以先变大后变小。故D正确。 故选 D。 【思维建模】 一、平衡状态中的临界和极值问题： 1、临界问题 当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的临界状态有： （1）两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0（主要体现为两物体间的弹力为0）。 （2）绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值，绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0。 （3）存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。 2、极值问题 平衡状态中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。一般用解析法或图解法进行分析。 3、临界和极值问题求解方法 （1）解析法：根据物体的平衡条件列出方程，求解方程时，采用数学知识求极值或根据物理的临界条件求极值。 （2）图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如物体只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据力的矢量图进行动态分析。尤其注意分析大小和方向变化的力，确定其最大值知最小值。此法简便、直观。 （3）极限分析法：要对研究对象正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界条件；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 二、空间力的平衡问题的求解方法： 空间力是指物体所受的力不在同一平面内，物体受空间力平衡时，在任一平面内、任一直线上受力都是平衡的。处理此类问题常见方法如下： 1、对称法 当研究对象所受的力具有对称性时，可利用物体的受力具有对称性的特点，如某些力大小相等、方向相反，把复杂的运算（或图形）转化为简单的运算（或图形）来处理。 2、转化法 空间力作用下物体处于平衡状态，要利用平衡条件将物体受到的力分解转化为同一平面上的力来分析处理问题。 例如，物体静止在倾角为30°的斜面上，当用一与斜面平行也与水平面平行的力F匀速拉动物体时。分析物体受力时，可以将其转化为物体沿斜面方向受到的力和垂直于斜面的力，根据物体在平行和垂直斜面方向受力平衡进行求解。物体受到3个与斜面平行的力，拉力F、重力沿斜面向下的分力和滑动摩擦力f。因为物体在斜面做匀速运动，所以可得 。 1、 单选题 1．如图所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向角且不变．当F与竖直方向的夹角为时，有F最小，则、F的值分别为（    ） A．，G B．， C．，G D．， 【答案】B 【详解】如图所示，小球受三个力而处于平衡状态，重力mg的大小和方向都不变，绳子拉力T方向不变，因为绳子拉力T和外力F的合力等于重力，通过作图法知，当F的方向与绳子方向垂直时，由于垂线段最短，所以F最小，则由几何知识得。。 故选B。 2．如图，半圆柱体放在水平而上，一光滑小球从靠近半圆底端的点在推力的作用下缓慢地沿着半圆柱的上表面移动到靠近最高点的过程中，推力的方向与水平方向始终成，小球在同一竖直而内运动，半圆柱体始终静止。关于此过程，下列说法正确的是（   ） A．推力的大小一直增大 B．小球对半圆柱体的压力先减小后增大 C．地面对半圆柱体的支持力大小始终不变 D．半圆柱体对地百的摩擦力先增大后减小 【答案】B 【详解】A．对小球受力分析，小球受到的推力与支持力的合力的大小始终等于小球的重力大小，方向始终竖直向上，如图三力构成一封闭的三角形，在小球从靠近底端的点缓慢运动到靠近最高点的过程中，可知推力的大小一直减小，故A错误； B．小球受到的支持力先减小后增大，根据牛顿第三定律，小球对半圆柱的压力先减小后增大，故B正确； C．对小球和半圆柱组成的整体，由于的竖直分力一直减小，根据平衡条件，地面对半圆柱的支持力的大小不断增大，故C错误： D．半圆柱对地面的摩擦力大小等于地面对半圆柱的摩擦力大小，等于拉力的水平分力，由于拉力不断减小，所以摩擦力的大小不断减小，故D错误。 故选B。 3．如图所示，一木块放在水平桌面上，在水平方向受到向左的力和向右的力作用，而处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．若撤去，物体所受合力不为零 B．若撤去，物体所受摩擦力一定为 C．若撤去，物体一定会相对地面滑动 D．若保持、大小不变，而方向相反，则物体将向右运动 【答案】B 【详解】AB．由题意可知开始时物体受到向右的静摩擦力，大小为可知物体与地面间的最大静摩擦力 若撤去，因，可知物体仍能静止，即物体所受合力为零，此时物体所受摩擦力一定为，A错误，B正确； C．若撤去，因F1=9N，则无法确定与最大静摩擦力的关系，则不能确定物体的运动情况，C错误； D．若保持、大小不变，而方向相反，则物体仍能受力平衡，物体仍静止不动，D错误。 故选B。 4．为了方便阅读，某同学制作了如图所示的书架，书架放在水平桌面上，质量为m的书放在书架的斜面上，书架斜面与水平面的夹角为。已知角从缓慢增大到的过程中，书与书架始终保持相对静止。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．书架对书的作用力大小为mg B．书对书架的压力大小为 C．桌面对书架的摩擦力逐渐增大 D．书架对书的摩擦力一直不变 【答案】A 【详解】A．书架对书的作用力与书的重力平衡，大小为mg，故A正确； B．以书为对象，根据平衡条件可得 可知书对书架的压力大小为，故B错误； C．以书架和书为整体，根据平衡条件可知，桌面对书架的摩擦力一直为0，故C错误； D．以书为对象，根据平衡条件可得 由于角从缓慢增大到，所以书架对书的摩擦力逐渐增大，故D错误。 故选A。 5．如图所示，在班级科技节的“悬停纸飞机”展示中，小明用三段细线连接两个模型飞机A和B（均可视为质点），并将上端固定在天花板的O点。他通过侧向施加一个拉力F来控制系统的平衡，使三段轻绳都伸直且O、A间轻绳处于竖直状态。开始时，拉力F的方向与竖直方向成倾角θ（小于90⁰）。为了模拟飞机缓慢转向的过程，他让拉力F的方向从图示位置缓慢逆时针旋转至竖直向上。在此过程中，两飞机始终保持静止，则下列说法正确的是 （    ） A．轻绳OA的弹力一直减小 B．拉力F先减小再增大 C．轻绳AB的弹力可能一直减小 D．轻绳OB的弹力不可能为零 【答案】B 【详解】AC．因两飞机始终保持静止，故轻绳AB的弹力始终为零，飞机A只受重力与轻绳OA的弹力，根据二力平衡可知，轻绳OA的弹力始终等于飞机A的重力，故AC错误； BD．对飞机B受力分析，如图所示 其中重力的大小方向都不变，轻绳OB的弹力方向不变，这三个力经过适当平移可构成一个首尾相接的矢量三角形，画出各力动态变化的矢量三角形，如图所示 故拉力F先减小后增大，当拉力F旋转至竖直向上时，轻绳OB的弹力为零，故B正确，D错误。 故选B。 6．在离地高度相同处，质量分别为和的球1与球2同时由静止开始下落，由于空气阻力的作用，两球在抵达地面前均已达到匀速直线运动状态。已知空气阻力与球的下落速度成正比，即，且两球的比例常数完全相同，两球下落的图像如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．，两球同时抵达地面 B．，球2先抵达地面 C．，球2先抵达地面 D．，球1先抵达地面 【答案】B 【详解】两球在抵达地面前均已达到匀速直线运动状态，根据平衡条件知 故 结合两球下落的图匀速时 推断出 根据图线与坐标轴围成的面积等于位移，知下落高度相同时，球2先抵达地面。 故选B。 7．如图所示，物块放置在粗糙的水平地面上，受到斜向右下方的力，缓慢增大力，物块始终处于静止状态，下列说法正确的是（　　） A．物块可能只受到三个力的作用 B．物块受到的摩擦力先增大后不变 C．物块受到的合力逐渐变大 D．物块对水平地面的压力逐渐增大 【答案】D 【详解】A．对物块A受力分析，物块A受到竖直向下的重力，竖直向上的支持力，向下偏右的力，水平向左的摩擦力，故A错误； B．增大力，物块A受到的摩擦力，逐渐增大，故B错误； C．增大力，物块A始终处于静止状态，受到的合力始终为零，故C错误； D．增大力，物块A对水平地面的压力，逐渐增大，故D正确。 故选D。 8．如图所示，A、B两物体叠放在一起，在水平向左的恒力作用下处于静止状态，则关于两物体受力情况的说法正确的是（　　） A．物体A一定受到5个力 B．物体B一定受到4个力 C．物体A、B间可能有摩擦力 D．若增大F，A、B仍处于静止状态，则A受到墙壁给的摩擦力变大 【答案】C 【详解】ABC．对AB整体，水平方向，水平恒力向左，由平衡条件可知墙壁对A一定有弹力，竖直方向，整体受重力，可知墙壁对A有向上的摩擦力。对物体B受力分析，B可能只受到重力、A给B的支持力及恒力F，也可能AB间还有摩擦力；对物体A受力分析，A受到重力、墙壁的弹力、墙壁的摩擦力、B对A的压力，若A、B间有摩擦力，则A受到5个力；若A、B间没有摩擦力，则A受到4个力；物体B可能受到4个力，也可能受到3个力，故AB错误，C正确； D．对AB整体，竖直方向有 可知若增大F，A、B仍处于静止状态，A受到墙壁给的摩擦力不变，故D错误。 故选C。 9．如图所示，三个完全相同的光滑球a、b、c叠放在水平地面上的竖直圆筒内，圆筒内壁光滑，a、b、c三个球对筒的侧壁的压力大小分别为、、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设每个球的质量为，由几何关系可知：ab、bc连线与水平方向夹角均为 对a球研究，根据平衡条件有 对a、b整体研究有 解得 对三球整体研究有 联立得，故B正确，ACD错误。 故选B。 10．如图所示，倾角为的斜面上，有一质量为的物块受到平行于斜面的水平力的作用，恰好处于静止状态，若大小逐渐减小，已知物体与斜面的动摩擦因数为，则下列说法正确的是（　　） A． B．物块将保持静止状态 C．物块所受到的摩擦力大小有可能不变 D．斜面对地面的作用力保持不变 【答案】B 【详解】A．对物体进行受力分析，将重力分解为沿着斜面和垂直斜面两个分量，在沿着斜面的分量上，有 可知动摩擦因数，故A错误； BC．当外力F减小时，根据公式可知静摩擦力也减小，故物体将保持静止状态，故B正确，C错误； D．对整体进行受力分析可知，斜面对地面的作用力大小为物体与斜面的总重力和外力F的矢量和，当外力F减小时，斜面对地面的作用力也减小，故D错误。 故选B。 2、 多选题 11．一次“夹鹅卵石”的趣味游戏中，如图是筷子夹鹅卵石时的三个动作示意图，筷子均在同一竖直平面内：图甲中的筷子处于竖直方向，图乙中的筷子处于水平方向，图丙中的筷子处于倾斜方向，与水平面成一定夹角。三个图中的鹅卵石均处于静止状态，则（　　） A．图甲中的鹅卵石受到筷子的弹力是由筷子的形变引起的 B．图乙中下方筷子对鹅卵石的弹力大于鹅卵石对其的弹力 C．若图甲中筷子夹着鹅卵石一起向上匀速运动，鹅卵石受到摩擦力方向为竖直向上 D．当缓慢增大图丙中筷子与水平方向的夹角，鹅卵石受到筷子对它的作用力增大 【答案】AC 【详解】A．弹力是由施力物体的形变引起的，图甲中鹅卵石受到的筷子弹力，施力物体是筷子，因此由筷子的形变引起，A 正确； B．筷子对鹅卵石的弹力和鹅卵石对筷子的弹力是相互作用力，大小相等、方向相反，因此下方筷子对鹅卵石的弹力与鹅卵石对它的弹力大小相等，B 错误； C．图甲中筷子竖直向上匀速运动，鹅卵石受到的合力为零，竖直方向上重力与摩擦力平衡，所以摩擦力的方向竖直向上，C 正确； D．图丙中鹅卵石静止，筷子对它的作用力的合力与重力等大反向（始终等于重力），因此增大筷子与水平方向的夹角，合力不变，D 错误。 故选AC。 12．如图所示，长方体形的物块a静止在水平地面上，长方体形的物块b叠放在物体a上。现对物体a施加一个水平向左的恒定拉力F，结果a、b仍然都处于静止状态。以下说法正确的是（　　） A．a与b之间不存在摩擦力 B．a与地之间的摩擦力大小为F C．若仅减小a、b接触面间的动摩擦因数，则a与b不可能发生相对滑动 D．若仅将作用在a上的恒力F撤去，并对物体b施加同样大小的水平向左的恒定拉力F，则a不可能相对地面滑动 【答案】ABCD 【详解】AC．以b为对象，根据受力平衡可知，a、b间的摩擦力为0；由于a、b之间无摩擦力，所以仅减小a、b接触面间的动摩擦因数，a与b不会发生相对滑动，故AC正确； B．以a、b整体为对象，根据受力平衡可知，a与地面之间的摩擦力大小为F，故B正确； D．若仅将作用在a上的恒力F撤去，并对物块b施加同样大小的水平向左的恒定拉力F，无论b相对a是否发生相对滑动，b对a的摩擦力不可能大于F，即b对a的摩擦力不可能大于地面对a的最大静摩擦力，则a不可能相对地面滑动，故D正确。 故选ABCD。 13．如图所示，质量为的物块置于粗糙水平地面上，质量为的小球用细线拴接在物块的顶端，对小球施加水平外力，平衡时细线与竖直方向间的夹角。现保持外力与细线间的夹角不变，缓慢改变外力的大小，使细线沿逆时针方向缓慢转动，直到细线到达水平位置，整个过程中物块始终静止不动。重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．外力先增大后减小 B．细线上的拉力一直减小 C．物块受到的摩擦力最大值为 D．外力的最大值与细线拉力的最大值之比为 【答案】BC 【详解】AB．保持外力F与细线间的夹角不变，缓慢改变外力F的大小，使细线沿逆时针方向缓慢转动，直到细线到达水平位置；以小球为对象，根据三角形定则，其受力如图所示 由图可知，外力F一直增大，细线上的拉力FT一直减小，故A错误，B正确； C．根据平衡条件，以物块和小球为整体，物块受到的摩擦力大小等于外力F的水平分力；由小球的受力矢量图可知，在2位置，外力F的水平分力最大，根据图中几何关系可知，物块受到的摩擦力最大值为f=Fxmax=Fsin60°=mgsin60°=mg，故C正确； D．由小球的受力矢量图可知，在3位置，外力F的最大值为 在1位置，细线拉力FT的最大值 则外力F的最大值与细线拉力FT的最大值之比为1：1，故D错误。 故选BC。 14．水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为，如图，在从0逐渐增大到的过程中，木箱的速度保持不变，则（　　） A．当，F有最小值 B．物体所受摩擦力保持不变 C．先减小后增大 D．F与G的合力方向保持不变 【答案】AD 【详解】A．对物体受力分析如下图所示。因为物体匀速运动，水平竖直方向均受力平衡，则水平方向有 竖直方向有 解得 令， 即 故 则 当，即当，F有最小值，故A正确； BC．物体所受摩擦力为 θ增大，则增大，摩擦力和变小，故BC错误； D．木箱的合力一直为零，则F与重力的合力方向与支持力和摩擦力的合力方向相反，由于 可知摩擦力和支持力的合力方向不变，则F与重力的合力方向也不变，故D正确。 故选AD。 15．如图所示，表面粗糙的斜面静置于水平地面上，斜面顶端安有滑轮（不计滑轮的质量和摩擦），m悬于空中，M放在斜面上，均处于静止状态。当用沿斜面向上的恒力F推M时，在F缓慢增大时，M、m和斜面仍静止不动，则（　　） A．M受到的摩擦力可能变大 B．轻绳上的拉力一定不变 C．物体M所受斜面体的作用力一定不变 D．斜面体所受地面的支持力一定不变 【答案】AB 【详解】AB．设M、m的质量分别为、，对m，根据平衡有，可知轻绳上的拉力一定不变。当时，物块M受到的摩擦力方向向上，当沿斜面向上的恒力F推M，有 在F缓慢增大时，静摩擦力会减小。 当时，物块M受到的摩擦力方向向下，当沿斜面向上的恒力F推M，有 在F缓慢增大时，静摩擦力会增大，故AB正确； C．物体M受斜面体的作用力、重力、轻绳上的拉力和外力F，合力为零。轻绳上的拉力大小方向都不变，物体M的重力不变，可知轻绳上的拉力和物体M的重力的合力为恒力，又F缓慢增大，根据平衡条件可知物体M所受斜面体的作用力不是恒力，故C错误； D．对整体进行受力分析，竖直方向有 其中是斜面倾角，可知 F缓慢增大，可知斜面体所受地面的支持力减小，故D错误。 故选AB。 3、 实验题 16．某学习小组在做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验。 (1)如甲图和乙图所示为某实验小组利用橡皮条、弹簧测力计、轻质小圆环、细绳套等器材完成“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验装置，橡皮条的原长为GE。请补全下列步骤： ①用图钉将白纸固定在水平木板上； ②橡皮条一端连接轻质小圆环，另一端固定在G点； ③如图乙所示，用两个弹簧测力计共同拉动小圆环到某位置，并标记圆环的圆心位置O点，此时记下O点位置以及、的大小和方向； ④如图丙所示，撤去、，改用一个弹簧测力计，把小圆环拉到与前一次实验 的位置（填“相同”或“不相同”），并记下弹簧测力计的示数和拉力的方向； ⑤如图丁所示，利用记录的数据，画出各力，其中由一个弹簧测力计拉橡皮条得到的力是 （填“F”或“F´”）；经多次探究、猜想、推理、验证，归纳得出两个互成角度力的合成遵循平行四边形定则。 (2)若在图乙中，、的夹角θ为钝角，现保持O点位置不变和方向不变，顺时针缓慢转动弹簧测力计b，使角α稍微增大，则、的大小变化情况为（　　） A．减小 B．减小 C．增大 D．增大 【答案】(1) 相同 F (2)AB 【详解】（1）④[1]撤去、，改用一个弹簧测力计，把小圆环拉到与前一次实验相同的位置，保证作用效果相同，记下弹簧测力计的示数和拉力的方向。 ⑤[2]由图可知，是通过平行四边形定则做出的、合力理论值；由一个弹簧测力计拉橡皮条得到的力与橡皮条的弹力为平衡力，等大反向，则两力共线，所以由一个弹簧测力计拉橡皮条得到的力是F。 （2）如图所示 保持O点位置不变和方向不变，顺时针缓慢转动弹簧测力计b，则、都减小。 故选AB。 17．某同学用如图甲所示的实验装置验证“力的平行四边形定则”。弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M，弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持测力计B的另一端向左拉，使结点O静止在某位置。分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和细线的方向。 (1)若弹簧测力计B的示数如图乙所示，则其读数为 N； (2)该同学根据记录的两个弹簧测力计的示数及细线的方向，作出两个弹簧测力计上拉力F1、F2的图示并作平行四边形定则，得到这两个拉力合力的 （填“理论值”或“实验值”）F，如果在误差允许的范围内。F和重物对O点的拉力 ，则力的平行四边形定则得到验证； (3)若发现弹簧测力计A的指针稍微超出量程，请写出一条可行解决该问题的办法 ； (4)若保证O点位置不动，顺时针转动弹簧测力计B至90°，则弹簧测力计B的示数 （填“变大”“变小”或“先变小后变大”），弹簧测力计A的示数 （填“变大”“变小”或“先变小后变大”）。 【答案】(1)3.80 (2) 理论值 等大反向 (3)见解析 (4) 先变小后变大 变小 【详解】（1）由图乙可知，弹簧测力计B的示数为3.80N。 （2）[1][2]根据力的平行四边形定则，得到这两个拉力合力是理论值，如果在误差允许的范围内，和重物对点的拉力等大反向，则力的平行四边形定则得到验证。 （3）若发现弹簧测力计A的指针稍微超出量程，则：换用轻一点的重物；将A换用量程更大的弹簧测力计；将弹簧测力计B绕点沿顺时针转动一个角度；改变点的位置，使弹簧测力计A的拉力与竖直方向夹角变小些。 （4）[1][2]对结点受力分析，两个弹簧测力计通过绳子对节点拉力的合力竖直向上，与重物通过绳子对节点的拉力平衡，其力的矢量三角形如图 由图可知与垂直时，最小，所以弹簧测力计B的示数先变小后变大，弹簧测力计A的示数变小。 4、 计算题 18．如图，轻绳CO与水平方向成60°角，O端悬挂一定滑轮，物体A、B用跨过定滑轮的轻绳相连，物体B置于水平地面上，且受到一水平向右的力F作用，整个装置保持静止。已知绳CO对滑轮的拉力大小为4N，B的质量为1kg，B与地面之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计滑轮的重力及摩擦，g取10m/s2。求：（画出每问必要的受力分析，计算结果可以用根号表示） (1)物体A的质量； (2)地面对物体B的支持力的大小； (3)力F大小的取值范围。 【答案】(1)0.4kg (2)8N (3)1.73N≤F≤5.20N 【详解】（1）用FT表示连接A和B的细绳的拉力大小，滑轮受力如图所示， 由平衡条件得FCO=2FTcos30° 解得FT=4N 物体A处于静止状态，有FT=mAg 解得mA=0.4kg （2）物体B受力如图所示（摩擦力未画出）， 由平衡条件得FN+FTsin30 ° −mBg=0 代入数据解得FN=8N （3）物体B与地面间的最大静摩擦力大小为fm=μFN=N 因为FTcos30 °＞fm，所以 ①当B受到最大静摩擦力且方向向右时F最小（设为F1）， 由平衡条件可得F1+fm−FTcos30 ° =0 代入数据解得F1=N=1.73N ②当B受到最大静摩擦力且方向向左时F最大（设为F2）， 由平衡条件可得F2−fm−FTcos30 ° =0 代入数据解得F2=3N=5.20N 综上可知力F大小的取值范围是1.73N≤F≤5.20N。 19．如图所示，放在粗糙斜面上的物块和小球均处于静止状态，轻绳绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端连接在小球上，轻弹簧中轴线沿水平方向，轻绳的段与竖直方向的夹角，斜面倾角，物块和小球的质量分别为，，物块与斜面之间的动摩擦因数为，弹簧的劲度系数，（，，重力加速度）求： (1)弹簧的伸长量； (2)物块受到的摩擦力大小和方向。 【答案】(1)0.04m (2)5N；方向沿斜面向上 【详解】（1）对B受力分析如图所示： 根据平衡条件有， 其中 联立解得， （2）分析A的受力如图所示，假设f的方向沿斜面向下。 由平衡条件得 又由牛顿第三定律有 联立解得，负号表示与假设方向相反，即f的方向为沿斜面向上，大小为。 20．如图所示，质量的木块在沿斜面向上的恒力作用下，沿倾角的斜面体匀速上滑，质量的斜面体始终静止在水平面上。已知重力加速度为，，。求： (1)木块受到的摩擦力大小； (2)斜面体对桌面的压力。 【答案】(1)6N (2)，方向垂直水平面向下。 【详解】（1）根据木块受力平衡有， 求得 （2）根据斜面体与木块组成的整体竖直方向受力平衡有 解得 根据牛顿第三定律，可知压力 该力方向垂直水平面向下。 21．如图所示，6本质量相同的厚书被两块相同的竖直木板夹在中间，书静止不动，此时两侧对木板施加的水平压力为，每本书的质量为，重力加速度g取，木板和书之间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则 (1)左侧木板对书的静摩擦力？ (2)书和书之间的动摩擦因数至少为多大？ (3)如果把左侧第三本书向上抽出至少需要多大的竖直拉力？ 【答案】(1)12N，方向竖直向上 (2)0.1 (3)20N 【详解】（1）左右两侧的木板对书的静摩擦力大小相等，设为，对于6本书组成的整体有 解得 方向竖直向上。 （2）将左侧三本书看成整体，可知左侧第4本书对第3本书的摩擦力为零，据分析可知，左侧第1、2本书之间（或第5、6本书之间）的摩擦力最大，设为，将左侧第2、3本书看成整体有 则书和书之间的最小动摩擦因数满足 求得 （3）如果把左侧第三本书向上抽出，则左侧第2本书和第4本书对第3本书的摩擦力大小均为，方向竖直向下，则所需要的竖直拉力的最小值满足 求得 22．如图（a）所示，在竖直墙面上有两根相距为a的水平木桩A和B，有一细木棒置于A之上、B之下时与竖直方向成角静止，棒与A、B的动摩擦因数都为。现由于两木桩的摩擦力恰好能使木棒不脱落，求此时棒的重心与A桩的距离。 【答案】 【详解】木棒的受力如图2（b）所示，由于A桩和B桩对棒的全反力相交于O点，那么根据三力汇交原理可知，木棒的重力作用线一定也会通过O点，重力作用线与棒的交点C即为重心的位置。为等腰三角形，底角为，设腰长为l，C点到A的距离为x，则有 在中由正弦定理得 由此解得重心C点距A桩的距离 一、单选题 1．（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知机器人“天工”它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有 可得 故选B。 2．（2024·贵州·高考真题）如图（a），一质量为m的匀质球置于固定钢质支架的水平横杆和竖直墙之间，并处于静止状态，其中一个视图如图（b）所示。测得球与横杆接触点到墙面的距离为球半径的1.8倍，已知重力加速度大小为g，不计所有摩擦，则球对横杆的压力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对球进行受力分析如图，设球的半径为R，根据几何知识可得 根据平衡条件得 解得 根据牛顿第三定律得球对横杆的压力大小为 故选D。 3．（2025·福建·高考真题）“风动石”是福建省著名的自然景观，如图所示。无风时，“风动石”在重力和底部巨石作用力F1的作用下静止不动。若“风动石”受到一水平方向的风力作用时仍保持静止，此时底部巨石对其作用力为F2，则（　　） A．F1的大小比F2的小 B．F1的大小比F2的大 C．F1与F2大小相等 D．F1与F2方向相同 【答案】A 【详解】无风时，底面巨石对“风动石”的作用力方向竖直向上，与重力平衡，大小为 当受到一个水平风力时，底面巨石对“风动石”的作用力与竖直向下的重力及水平方向的风力F，三力平衡。根据平衡条件可知，底面巨石对“风动石”的作用力大小为，故F2大于F1。 故选A。 4．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）如图，质量为m的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态，钢管与水平地面之间的动摩擦因数为、夹角为，重力加速度大小为g。则地面对钢管左端的摩擦力大小为（　　） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】对钢管受力分析，如图所示 若钢管受到地面的摩擦力，则钢管水平方向受力不平衡，钢管不可能处于静止状态，故地面对钢管左端的摩擦力大小为零。ABC错误，D正确。 故选D。 5．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 【答案】B 【详解】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有 解得 故选B。 6．（2024·湖北·高考真题）如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为（　　） A． B． C．2f D．3f 【答案】B 【详解】根据题意对S受力分析如图 正交分解可知 所以有 对P受力分析如图 则有 解得 故选B。 7．（2024·河北·高考真题）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为，挡板与斜面夹角为．若弹簧测力计位于竖直方向，读数为取,挡板对球体支持力的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对小球受力分析如图所示 由几何关系易得力与力与竖直方向的夹角均为，因此由正交分解方程可得 ， 解得 故选A。 8．（2025·北京·高考真题）如图所示，长方体物块叠放在斜面上，B受到一个沿斜面方向的拉力F，两物块保持静止。B受力的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】根据题意，对A受力分析可知，受重力、B的支持力，由于A静止，则A还受B沿斜面向上的静摩擦力，对B受力分析可知，受重力、斜面的支持力、A的压力、拉力、B还受A沿斜面向下的摩擦力，由于B静止，则受沿斜面向上的摩擦力，即B受6个力作用。 故选C。 9．（2025·重庆·高考真题）现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为（　　）（重力加速度为g） A．2mg B．mg C． D． 【答案】B 【详解】以钢管为研究对象，设轻绳的拉力为，根据对称性可知两边绳子拉力相等，根据平衡条件 可得 故选B。 10．（2025·海南·高考真题）如图所示，光滑圆弧竖直固定，用轻绳连接两个小球P、Q，两小球套在圆环上且均处于平衡状态，两小球与圆弧的圆心连线夹角分别为和，则两球质量之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：以小球P和Q为系统，根据力矩平衡有 可得 方法二：对P受力分析，受重力、圆弧轨道的支持力和轻绳的拉力，将重力和绳子拉力沿着垂直半径方向分解，根据平衡条件可得 可得 同理可得 则 故选B。 二、多选题 11．（2016·全国I卷·高考真题）如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO'悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则（   ） A．绳OO'的张力也在一定范围内变化 B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化 C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化 D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化 【答案】BD 【详解】AC．物块b仍始终保持静止，可知物块a也始终保持静止，滑轮两侧绳子的夹角也不变，可知连接a和b的绳的张力等于物块a的重力，所以连接a和b的绳的张力保持不变，夹角不变，所以绳OO'的张力也不变，故AC错误； BD．对b进行受力分析可知，当若F方向不变，大小在一定范围内变化时，而重力mg和绳子的拉力FT保持不变，所以物块b所受到的支持力也在一定范围内变化，物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化，故BD正确。 故选BD。 12．（2019·全国I卷·高考真题）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加 C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 【答案】BD 【详解】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大； 对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加．故本题选BD． 三、实验题 13．（2017·全国III卷·高考真题）某探究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，将画有坐标轴（横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1 mm）的纸贴在水平桌面上，如图甲所示。将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点（位于图示部分之外），另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。 （1）用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O，此时拉力F的大小可由测力计读出。测力计的示数如图乙所示，F的大小为 N； （2）撤去（1）中的拉力，橡皮筋P端回到A点；现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点。此时观察到两个拉力分别沿图甲中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1=4.2 N和F2=5.6 N； ①用5mm长度的线段表示1N的力，以O为作用点，在图甲中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合 。 ②F合的大小为 N，F合与拉力F的夹角的正切值为 。 若F合与拉力F的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则该实验验证了力的平行四边形定则。 【答案】 4.0 4.0 0.05 【详解】（1）[1]由图乙可知，该测力计的精度为0.2N，则该读数为4.0N。 （2）①[2]用5mm长度的线段表示1N的力，以O为作用点，在图甲中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合，如图所示 ②[3]用刻度尺量出F合的线段长为20.0 mm，所以F合大小为 [4]F合与拉力F的夹角的正切值为 14．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）某兴趣小组设计了一个可以测量质量的装置。如图（a），细绳1、2和橡皮筋相连于一点，绳1上端固定在A点，绳2下端与水杯相连，橡皮筋的另一端与绳套相连。 为确定杯中物体质量m与橡皮筋长度x的关系，该小组逐次加入等质量的水，拉动绳套，使绳1每次与竖直方向夹角均为且橡皮筋与绳1垂直，待装置稳定后测量对应的橡皮筋长度。根据测得数据作出关系图线，如图（b）所示。 回答下列问题： (1)将一芒果放入此空杯，按上述操作测得，由图（b）可知，该芒果的质量 g（结果保留到个位）。若杯中放入芒果后，绳1与竖直方向夹角为但与橡皮筋不垂直，由图像读出的芒果质量与相比 （填“偏大”或“偏小”）。 (2)另一组同学利用同样方法得到的图像在后半部分弯曲，下列原因可能的是_________。 A．水杯质量过小 B．绳套长度过大 C．橡皮筋伸长量过大，弹力与其伸长量不成正比 (3)写出一条可以使上述装置测量质量范围增大的措施 。 【答案】(1) 106 偏大 (2)C (3)减小细线与竖直方向的夹角 【详解】（1）[1]操作测得，由图（b）的图像坐标可知，该芒果的质量为106g； [2]若杯中放入芒果后，绳1与竖直方向夹角为但与橡皮筋不垂直，根据共点力平衡可知橡皮条的拉力变大，导致橡皮筋的长度偏大，若仍然根据图像读出芒果的质量与相比偏大。 （2）另一组同学利用同样方法得到的图像在后半部分弯曲，可能是所测物体的质量过大，导致橡皮筋所受的弹力过大超过了弹簧的弹性限度，从而使橡皮筋弹力与其伸长量不成正比。 故选C。 （3）根据共点力平衡条件可知，当减小绳子与竖直方向的夹角时，相同的物体质量对应橡皮筋的拉力较小，故相同的橡皮筋，可减小细线与竖直方向的夹角可增大质量测量范围。 四、解答题 15．（2012·新课标卷·高考真题）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）．设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ． （1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小． （2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ．已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动．求这一临界角的正切tanθ0． 【答案】（1）（2）λ 【详解】（1）设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把．将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有 ① ② 式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力．按摩擦定律有 ③ 联立①②③式得 ④ （2）若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有 ⑤ 这时①式仍满足．联立①⑤式得 ⑥ 现考查使上式成立的θ角的取值范围．注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有 ⑦ 使上式成立的θ角满足，这里θ0是题中所定义的临界角，即当时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把．临界角的正切为 ⑧ 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $