期末巩固卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

期末巩固卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．在矩形中，交于O，的值可以是（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，则配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，，，则的长为（    ） A．4 B．3 C． D．2 5．反比例函数的图象与直线有个交点，且两交点横坐标的积为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，下列不是该几何体的三视图的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别落在轴、轴上，点坐标为，反比例函数与分别交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，，是的对角线上两点，，连接、并延长分别交、于点，点，连接，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．方程的根是： ． 11．从数，，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n．若，则函数的图像经过第一、三象限的概率是 ． 12．若函数是反比例函数，则 ． 13．如图，直线，如果，，那么线段的长是 ． 14．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 15．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 16．如图，已知正方形和等腰直角，点均在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点B和点D，则D的坐标为 ． 三、解答题 17．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 18．如图，在中，，，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．2024年11月19日，中国载人航天工程办公室发布2024年度天舟七号飞行任务、天舟八号飞行任务、神舟十八号载人飞行任务、神舟十九号载人飞行任务4次飞行任务标识，共同体现了我们航天事业的繁荣昌盛．小明对航空航天非常感兴趣，他收集到了天舟七号、天舟八号、神舟十八号、神舟十九号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片是“天舟七号”的概率为 ； (2)小明从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（天舟七号）和D（神舟十九号）的概率． 20．如图，平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于y轴对称的（点，，分别与点A，B，C对应）； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个（点，，分别与点A，B，C对应），使它与的位似比为，并写出点的坐标． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 ，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 22．2024年11月28日，随着最后一棵玫瑰花苗在于田县植入沙土，环绕塔克拉玛干沙漠边缘全长3046公里的绿色阻沙防护带，终于完成了它的最后一块拼图，形成了世界上最长的环沙漠绿色生态屏障．建设阻沙防护带的方法之一是在如图2所示的矩形沙地中，通过在阴影部分种植红柳等固沙植物，把一块块沙地分割包围，以此阻止沙粒流动．若图2所示的矩形沙地长为30米，宽为24米．横向、纵向种植红柳部分的宽度比为，且红柳种植面积是矩形沙地总面积的三分之一，求横向、纵向种植红柳的宽度各是多少米? 23．如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． (1)求的值． (2)在第一象限内，根据图象直接写出不等式的解集 (3)若点在反比例函数的图象上，的面积为14，求此时点的坐标． 24．综合运用  如图，中，，点在的下方，，平分，在线段上取点，使，设． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，判断、、之间的数量关系并说明理由． (3)如图3，现以所在的直线为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系，、两点的坐标分别为，（实数）．若（为常数且），求面积关于的函数表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末巩固卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D D B B B D B D 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）依次进行判断即可． 【详解】解：A、含有2个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； C、方程含有未知数的项的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； D、不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形的三边关系，由矩形的性质得是解题的关键．根据矩形的性质可得，结合三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，， ∴， ∵， ∴的值可以是， 故选：． 3．D 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质可求出的长． 【详解】解：， ，即， ． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，将两个解析式联立，得出整式方程，由图象有两个交点，可得有两个不相等的实数根，由两交点横坐标的积为负数，可得，求不等式组的解集即可． 【详解】解：将与联立，得：， 化为整式方程，得：， 反比例函数的图象与直线有个交点，且两交点横坐标的积为负数， 有两个不相等的实数根，且， ， 解得， 故选：B． 6．B 【分析】根据该几何体的三视图逐一判断即可． 此题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是能正确区分几何体的三视图． 【详解】解：A、该图是左视图，故此选项不合题意； B、该图不是几何体的三视图，故此选项符合题意； C、该图是主视图，故此选项不合题意； D、该图是俯视图，故此选项不合题意； 故选：B． 7．D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了坐标与图形，求反比例函数图象的解析式，根据矩形的性质和点坐标求出点的坐标，进而即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，点坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：． 9．D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底的比的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用平行四边形的性质得到，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质得到，，等高的三角形的面积比等于底的比的性质得到，代入计算结论可求． 【详解】解：∵， ∴，． ∵四边形为平行四边形， ∴，，． 设， ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积之比为． 故选：D． 10． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．先移项，然后直接开平方即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：． 11． 【分析】本题主要考查了树状图法求解概率，正比例函数图像的性质，当函数的图像经过第一、三象限时，，据此画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到k为正数的结果数即可得到答案． 【详解】解：当函数的图像经过第一、三象限时，， 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中k的值为正数的结果数有2种， ∴函数的图像经过第一、三象限的概率是， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．3 【分析】连接交于点G，证明，解答即可． 本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：连接交于点G， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴即， ∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：3． 14．16 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为， ∴，即， 解得：． 故答案为：16． 15．20 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点G． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：20． 16． 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，解一元二次方程等知识点． 先根据正方形性质设，将其代入，求出，则，过点作轴于点，则均是等腰直角三角形，设，则，将其代入，，再解一元二次方程即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 设 ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 解得：（舍负）， ∴ 过点作轴于点， ∵等腰直角， ∴， ∵轴 ∴均是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）配方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ， 移项，得， 两边同时加上4，得 即 开平方，得 解得：； （2）， 方程左边分解因式，得 即， 所以或， 解得：． 18．(1)详见解析 (2)8 【分析】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，则，再结合，故，最后结合两组角对应相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据相似三角形的性质列式，再代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 19．(1) (2) 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，从而可得小明从四张卡片中抽到的两张卡片的所有等可能的结果，再找出抽到的两张卡片恰好是编号为和的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：因为小明从中随机抽取一张卡片共有4种等可能的结果， 所以小明从中随机抽取一张卡片是“天舟七号”的概率为， 故答案为：． （2）解：由题意，画出树状图如下：    由图可知，小明从四张卡片中抽到的两张卡片共有12种等可能的结果，其中，抽到的两张卡片恰好是编号为和的结果有2种， 所以抽到的两张卡片恰好是编号为和的概率为， 答：抽到的两张卡片恰好是编号为（天舟七号）和（神舟十九号）的概率为． 20．(1)图见详解 (2)图见详解， 【分析】本题考查了轴对称作图、位似图形作图等，会作轴对称和位似图形是解题的关键． （1）按要求作出轴对称图形，即可求解； （2）按位似图形的定义作图，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作， ． 21．(1)一次函数和反比例函数的解析式分别是， (2)的面积是 (3)当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【分析】（1）利用待定系数法计算解析式即可． （2）设直线与y轴的交点为C，利用直线解析式计算，结合计算即可． （3）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，反比例函数解析式为， ∵设一次函数与反比例函数的图像相交于 ，两点， ∴， 解得， 故；． （2）解：设直线与y轴的交点为C， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：∵，，且， 故或． 22．横向种植红柳的宽度为2米，纵向种植红柳的宽度为3米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设横向种植红柳的宽度为米，纵向种植红柳的宽度为米，由红柳种植面积是矩形沙地总面积的三分之一，得未种植部分的面积占矩形沙地总面积的三分之二，再根据（矩形沙地长纵向种植红柳的总宽度）（矩形沙地宽横向种植红柳的总宽度）未种植部分的面积，列出二元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设横向种植红柳的宽度为米，纵向种植红柳的宽度为米， 根据题意，得， 解方程，得，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，，， 答：横向种植红柳的宽度为2米，纵向种植红柳的宽度为3米． 23．(1)6； (2)； (3)． 【分析】（1）将点代入直线，确定点坐标，然后利用待定系数法求的值即可； （2）结合图像，即可获得答案； （3）首先确定点的坐标，求出，根据求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， ∵可得，解得； （2）解：∵直线与双曲线交于点， 结合图像可知，不等式的解集为； （3）解：对于直线， 令，可有，解得， ∴， 将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线解析式为， 令，可得，解得， ∴， ∴． ∵的面积为14，， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、数形结合确定解析式构成不等式的解集、三角形面积之比等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． 24．(1)见解析； (2)，见解析； (3) 【分析】（1）证明是等边三角形，得出，，证明，则可得出结论； （2）过点C作于M，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （3）与（2）同理可得：，得出，由题意可知：，，则，过点C作于H，证明，得出，求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 理由：过点C作于M， ∵，， ∴、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴等腰与等腰的底角相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：依题意得：，， ∴， ∴， 与（2）同理可得：， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， 过点C作于H， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 即S关于n的函数表达式为． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握以上知识． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $