期末巩固卷-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

期末巩固卷-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．16的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 4．方程和的公共解是（   ） A． B． C． D． 5．关于一次函数，下列结论中正确的是（　　） A．图象必经过 B．图象经过第一、二、三象限 C．若，在图象上，则 D．图象向上平移1个单位长度得解析式为 6．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2015年5月份用电量的调查结果： 居民（户） 1 3 2 4 月用电量（度/户） 40 50 55 60 那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（   ） A．中位数是55 B．众数是60 C．方差是29 D．平均数是54 7．如图，一个圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（   ） A． B． C． D． 8．若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．如图，从一个大正方形中裁去面积为和48 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 10．据新闻报道，为鼓励居民节约用水，北京市将出台新的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过，则按2元/计算； ②若每月每户居民用水超过，则超过部分按元计算（不超过部分仍按2元/收费）．现假设该市某户居民某月用水，水费为元．则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．的立方根是 ，的算术平方根是 ． 12．一个介于与之间的无理数为 （写出一个即可）． 13．与点关于x轴对称的点的坐标为： ； 14．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 15．若是正比例函数，则的值是 ． 16．如图，在中，，，，平分交于点，则的长是 ． 17．如图，直线和直线交于点A，则方程组的解是 三、解答题 18．解方程组：． 19．计算： (1) (2)． 20．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标； (2)在坐标平面上找到一点，使与全等，写出点的坐标． 21．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 22．某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于的函数解析式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 23．已知一次函数（为常数，且）． (1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； (2)若时，有最小值，求的值； (3)已知，，若该函数的图象与线段没有公共点，求的取值范围． 24．为贯彻落实垃圾分类工作，某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩进行了数据处理，根据图表，解答问题： 七、八年级测试成绩统计表： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 7.5 7 7 2.8 八年级 a b c 2.35 (1)填空：表中的 ， ， ； (2)你认为______年级的成绩更整齐，理由是______； (3)若规定6分及以上为合格，该校八年级共1500名学生参加了此次测试活动，估计此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ 25．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末巩固卷-2025-2026学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C D C C D D C 1．C 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义计算即可得解，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：， ∴16的平方根是， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标特征作答即可． 【详解】∵点关于轴对称， ∴横坐标不变，为，纵坐标变为相反数，为． ∴对称点的坐标为． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：联立方程得：， 得：， 将代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查一次函数的性质，包括点是否在图象上、图象所经过的象限、函数的单调性以及图象的平移，根据一次函数的定义和性质逐一判断各选项． 【详解】A．当时，， ∴点不在图象上，A错误； B．∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误； C．∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴，故不成立，C错误； D．图象向上平移1个单位，解析式为，即，D正确． 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查了平均数，众数，中位数和方差， 根据定义逐个解答即可. 【详解】解：这组数据重新排列为：40,50,50,50,55,55,60,60,60,60， ∴众数为60，中位数为； 平均数为：； 方差为：. 故选：C. 7．C 【分析】本题考查圆柱体的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理． 圆柱体的侧面展开图为长方形，长为底面周长的一半，由两点之间线段最短，可得最短路程为线段的长，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，长方形为圆柱体的侧面展开图， 由两点之间线段最短，可得最短路程为线段的长， ∵圆柱的底面周长为， ∴， ∵是圆柱体的底面直径， ∴点为的中点， ∴， 又∵圆柱体的高为， ∴， ∴蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了正比例函数的增减性．根据正比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵、、三点都在函数的图象上，且， ∴． 故选：D 9．D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴余下部分的面积为， 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了函数的图像，根据数量关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．根据收费标准求出关于的函数关系式，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵每月每户居民用水不超过，按2元/计算， ∴当时，； ∵若每月每户居民用水超过，则超过部分按元计算（不超过部分仍按2元/收费） ∴当时，， 由解析式得与的函数关系用图像表示正确的是C选项． 故选：C． 11． / 3 【分析】本题考查了立方根的求解，算术平方根的求解，根据立方根，算术平方根的定义进行求解即可 【详解】解：， ， 则的算术平方根是， 故答案为：，3 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，以及无理数的大小比较，掌握相关知识点是解题关键．利用“夹逼法”确定无理数的范围，即可求解． 【详解】解：因为，， 所以介于与之间的无理数为， 故答案为：（答案不唯一） 13． 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：与点关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质易得，，进而可得，即可确定点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∵，轴，轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，得，据此解答即可． 【详解】解：是正比例函数， 得， 解得， 故， 故 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 由勾股定理得，再由角平分线的性质得，设，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 如图，过作于点， 平分， ， 设， ， ， 即， 解得：， 即的长为， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，即两个一次函数图像的交点坐标就是其对应的二元一次方程组的解，这是解决此类问题的关键知识点．本题可根据一次函数与二元一次方程组的关系来求解方程组的解． 【详解】解：直线和直线交于点， 方程组的解就是点的坐标． 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，采用加减消元法或代入消元法求解即可． 【详解】将原方程组整理，得 ，得 将代入，得 解得 所以原方程组的解为． 19．(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）直接使用二次根式运算性质计算，化简结果即可； （2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解：原式 =． （2）解：原式 ． 20．(1)画图见解析，，， (2)画图见解析，的坐标为或或 【分析】本题考查了画轴对称图形，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形，再根据图形写出各点坐标即可； （2）根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可得，，，； （2）解：如图所示，点均符合题意，即为所求， ∴点的坐标为或或． 21． 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握利用整体思想求解方程是解题的关键；根据题意可把整体代入求解z，然后再求解方程组即可． 【详解】解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 22．(1) (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ②先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ； （2）解：①当时，，． ， 该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 23．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由，则一次函数为，故该函数随的增大而增大，又，两点均在该函数的图象上，且，进而可以判断得解； （2）依据题意，由当时，有最小值，从而可分①当时和②当时，分别进行分析计算可以得解； （3）依据题意，由，可得一次函数必过，然后作出图象进行分析即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， 一次函数为，, 该函数随的增大而增大． 又，两点均在该函数的图象上，且， ． （2）解：由题意，当时，有最小值， ①当时，当时，取最小值，即． ，符合题意． ②当时，当时，取最小值，即． ，符合题意． 综上，或． （3）解：由题意，， ． 当时，． 一次函数必过． 作图如下． 由题意，当一次函数过时， 则， 可得； 当一次函数过时， 则， 可得， 该函数的图象与线段没有公共点， 结合图象可得，或． 24．(1)7.5；8；7.5 (2)八；八年级成绩的方差小于七年级 (3)1350人 【分析】（1）根据平均数，众数和中位数的定义求解即可； （2）根据方差的意义求解即可； （3）用总人数40乘以样本八年级成绩在6分及6分以上人数所占比例即可． 【详解】（1）解∶由表可知， 八年级成绩的平均数， 八年级的成绩中，8分的人数最多，即众数， ∵， ∴八年级成绩最中间的2个数据分别为7、8， ∴中位数， 故答案为：7.5；8；7.5． （2）解∶八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级． 故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级； （3）解∶ （人）． 答：估计参如此次测试活动成绩合格的学生有1350人． 【点睛】本题考查条形统计图，平均，中位数，众数，方差的意义，用样本估计总体，读懂条形统计图，掌握各个统计量是解题的关键． 25．（1）见解析；（2）千米；（3）8 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $