3.2.1 双曲线及其标准方程（思维导图+3大知识点+7大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

本讲义聚焦双曲线及其标准方程核心知识点，系统梳理从双曲线定义（含常数约束条件）到标准方程推导的完整脉络，通过与椭圆对比明晰参数关系，延伸至焦点三角形、轨迹方程等七大题型，辅以思维导图搭建知识支架。 资料以思维导图助力学生用数学眼光构建知识框架，题型分类（如定义应用、焦点三角形问题）结合例题变式，培养数学思维中的推理能力，求轨迹方程方法（直译法等）强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后学生可借变式题查漏补缺，提升学习效果。

3．2．1 双曲线及其标准方程 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、双曲线的定义 4 知识点二、双曲线的标准方程 4 知识点三、求双曲线的标准方程 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：双曲线的定义 8 题型二：双曲线的标准方程 9 题型三：双曲线方程的充要条件 11 题型四：焦点三角形问题 13 题型五：两点的最值问题 14 题型六：线段的和差最值问题 16 题型七：求轨迹方程的三大方法：直译法、相关点法、定义法 17 知识点一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二、双曲线的标准方程 标准方程的推导： 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 （2）建立直角坐标系． 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的集合 由定义可知，双曲线就是集合： ． （3）代数方程 ∵， ∴ （4）化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得： 两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得： 即，其中 这就是双曲线的标准方程． 双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据 根据 ， ， ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当，时，双曲线的焦点在x轴上； 当，时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三、求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论． 【方法技巧与总结】 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 题型一：双曲线的定义 【例题1】（2025·高二·河北·期中）双曲线的左、右焦点分别是，焦距为10，点是双曲线上一点，且，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．1或15 【答案】B 【解析】由双曲线的性质知：，从而， 所以双曲线方程为， 故，所以或， 而，不合题意；所以. 故选：B． 【例题2】（2025·高二·河南·月考）已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（   ） A．14 B．13 C．13或1 D．14或1 【答案】B 【解析】由题意可知，，则，解得， 所以双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：B 【变式1】（2025·高二·安徽阜阳·期中）已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（   ） A．6 B．10 C．2 D．6或10 【答案】D 【解析】因为双曲线的方程为，所以，. 已知，由双曲线的定义可得，即， 所以或. 由于双曲线上的点到焦点距离的最小值为，故或. 故选：D 【变式2】（2025·高二·江西·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【解析】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A 【变式3】已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（ ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 【答案】B 【解析】因, 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支. 故选：B． 题型二：双曲线的标准方程 【例题3】（2025·高二·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点是上的一点，则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【解析】双曲线的一条渐近线方程为，即， 设双曲线的方程为， 则， 所以双曲线的方程为，标准方程为. 故答案为：. 【例题4】（2025·高二·上海·期末）以点为焦点，且渐近线为的双曲线标准方程是 ． 【答案】 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，为其焦点， 所以双曲线的焦点在上，可设双曲线的方程为， 则，因为为其焦点， 所以， 所以，故双曲线的标准方程为. 故答案为： 【变式4】已知双曲线与椭圆共焦点，且其虚轴长为2，则的标准方程为 . 【答案】 【解析】由题意可知双曲线的焦点在轴上，且半焦距. 设双曲线的标准方程为，则，所以， 所以，因此的标准方程为. 故答案为： 【变式5】（2025·高二·宁夏中卫·月考）求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 【解析】（1）设椭圆标准方程为，焦距为， 则有，解得，即该椭圆标准方程为； （2）由该双曲线焦点在轴上， 设其标准方程为， 则焦距为，即，又该双曲线经过点，则，则， 则， 故该双曲线标准方程. 【变式6】（2025·高二·新疆·月考）已知双曲线过点两点，求双曲线标准方程. 【解析】设双曲线方程为， 则由题得， 所以双曲线标准方程为. 题型三：双曲线方程的充要条件 【例题5】（2025·高二·黑龙江·期末）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当表示双曲线时，均不为0. 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 当时，若则表示焦点在轴上的双曲线， 若则表示焦点在轴上的双曲线. 所以“”是“为双曲线方程”的充要条件． 故选：C. 【例题6】（2025·高二·云南临沧·月考）当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 【答案】A 【解析】①当时，，曲线，表示圆； ②当时，，曲线表示椭圆； ③当时，，曲线即，表示两条直线； ④当时，，曲线表示双曲线. 故选：A. 【变式7】（2025·高二·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【解析】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件. 故选：C. 【变式8】（2025·高二·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式9】（2025·高二·陕西渭南·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得. 故选：C. 题型四：焦点三角形问题 【例题7】（2025·高二·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（   ） A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【解析】由条件可知，，， ，则， 则, 所以面积为. 故选：C 【例题8】（2025·高三·广西·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 因为为右支上一点，所以. 因为为坐标原点，为线段的中点，所以，， 则. 故选：C 【变式10】（2025·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由于，，且，， 设，则，故， 所以，即，则，，，， 在中由余弦定理. 故选：B 题型五：两点的最值问题 【例题9】（2025·高三·湖南长沙·月考）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（    ） A．19 B．25 C．37 D．85 【答案】B 【解析】由题意，双曲线焦点坐标为， 设，且，则， 当且仅当即时等号成立， 所以最小值为25， 故选：B. 【例题10】（2025·高二·四川成都·期中）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点， 记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上， 所以，. 故选：B. 【变式11】（2025·高二·甘肃金昌·期中）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】   则 故双曲线的两个焦点为, ,也分别是两个圆的圆心,半径分别为, 则的最大值为 故选：D 题型六：线段的和差最值问题 【例题11】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【解析】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9． 故选：B． 【例题12】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解析】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 【变式12】（2025·高二·江西南昌·期中）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解析】由得，， ， 所以下焦点，上焦点为， 由双曲线的定义得 ， 当，，三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 题型七：求轨迹方程的三大方法：直译法、相关点法、定义法 【例题13】（2025·高三·云南·月考）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则的斜率为，的斜率为， 故， 所以，故D正确. 故选：D 【例题14】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①，又∵共线，故②. 由①，② 两式相乘得（*）, 因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为. 故选：C. 【变式13】（2025·高二·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 【变式14】（2025·高三·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 【变式15】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为. 故选：B 【变式16】过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 【变式17】（2025·高二·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：，圆心，半径 ， 圆：，圆心，半径 ， 设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切， 得，则， 因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支， 即，半焦距，虚半轴长， 所以动圆圆心的轨迹方程是. 故选：B 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．2．1 双曲线及其标准方程 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、双曲线的定义 4 知识点二、双曲线的标准方程 4 知识点三、求双曲线的标准方程 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：双曲线的定义 8 题型二：双曲线的标准方程 8 题型三：双曲线方程的充要条件 9 题型四：焦点三角形问题 9 题型五：两点的最值问题 10 题型六：线段的和差最值问题 10 题型七：求轨迹方程的三大方法：直译法、相关点法、定义法 10 知识点一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二、双曲线的标准方程 标准方程的推导： 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 （2）建立直角坐标系． 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的集合 由定义可知，双曲线就是集合： ． （3）代数方程 ∵， ∴ （4）化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得： 两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得： 即，其中 这就是双曲线的标准方程． 双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据 根据 ， ， ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当，时，双曲线的焦点在x轴上； 当，时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三、求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论． 【方法技巧与总结】 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 题型一：双曲线的定义 【例题1】（2025·高二·河北·期中）双曲线的左、右焦点分别是，焦距为10，点是双曲线上一点，且，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．1或15 【例题2】（2025·高二·河南·月考）已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（   ） A．14 B．13 C．13或1 D．14或1 【变式1】（2025·高二·安徽阜阳·期中）已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（   ） A．6 B．10 C．2 D．6或10 【变式2】（2025·高二·江西·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【变式3】已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（ ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 题型二：双曲线的标准方程 【例题3】（2025·高二·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点是上的一点，则双曲线的标准方程为 . 【例题4】（2025·高二·上海·期末）以点为焦点，且渐近线为的双曲线标准方程是 ． 【变式4】已知双曲线与椭圆共焦点，且其虚轴长为2，则的标准方程为 . 【变式5】（2025·高二·宁夏中卫·月考）求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 【变式6】（2025·高二·新疆·月考）已知双曲线过点两点，求双曲线标准方程. 题型三：双曲线方程的充要条件 【例题5】（2025·高二·黑龙江·期末）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题6】（2025·高二·云南临沧·月考）当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 【变式7】（2025·高二·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式8】（2025·高二·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9】（2025·高二·陕西渭南·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：焦点三角形问题 【例题7】（2025·高二·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（   ） A．9 B．18 C．36 D．72 【例题8】（2025·高三·广西·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式10】（2025·四川·模拟预测）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型五：两点的最值问题 【例题9】（2025·高三·湖南长沙·月考）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（    ） A．19 B．25 C．37 D．85 【例题10】（2025·高二·四川成都·期中）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式11】（2025·高二·甘肃金昌·期中）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型六：线段的和差最值问题 【例题11】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【例题12】已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【变式12】（2025·高二·江西南昌·期中）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 题型七：求轨迹方程的三大方法：直译法、相关点法、定义法 【例题13】（2025·高三·云南·月考）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例题14】设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式13】（2025·高二·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式14】（2025·高三·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式15】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式16】过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式17】（2025·高二·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $