3.2.1 双曲线及其标准方程（7大题型）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程 目录 01基础题型归纳. .2 题型一：双曲线的定义 2 题型二：双曲线的标准方程2 题型：双曲线方程的充要条件.3 题型四：焦点三角形问题.4 题型五：两点的最值问题.5 题型六：线段的和差最值问题… 7 题型七：求轨迹方程的三大方法：直译法、相关点法、定义法9 02重雅点拓展.14 1/7 01 基础题型归纳 题型一：双曲线的定义 1.(2025高二吉林期中)与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在() A.双曲线的一支上 B.一个椭圆上 C.一条抛物线上D.一个圆上 2.(2025高二广东广州期中)双曲线-上 a216 =1(a>0)的两个焦点分别是F,E,焦距为10；M是双曲 线上的一点，且ME=7,则MF的值为() A.1 B.13 C.1或13 D.3 3.(2025高二·重庆大足·期中)已知点P(x,)的坐标满足Vx-)2+y2-Vx+12+y2=√2，则动点P的轨 迹是() A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 题型二：双曲线的标准方程 4.(2025·高三浙江·开学考试)己知等轴双曲线「经过点43,2)，则Γ的标准方程为() A.￡-上=1B.上=1 C.y2-x2=1 D.x2-y2=1 55 55 5.(2025高二北京·月考)己知双曲线的一个焦点为5,0)，一个顶点为3,0)，则双曲线方程的标准方程为 () A. =1 B.上-1 169 259 C.=1 2516 n.号6 6.(2025高二·甘肃武威期中)已知双曲线C的左、右焦点分别为F(-4,0),F,(4,0),M是双曲线上一点 且ME-MF=2N5,则双曲线C的标准方程为() A.y =1 B.少-1 115 511 C.=1 D.x2y2 115 571 题型三：双曲线方程的充要条件 7.(2025高三江苏南通期中)m>-1是方程，+. 一=1表示焦点在y轴上的双曲线”的() 2m-31+ 2/7 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2025高二吉林长春·期中)若方程mx2+1-m)y2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范 围为() A.（0,+0） B.（-0,0j C.（-0,-l D.-1,+0 9.(2025高二河南郑州期中)已知方程，？- =1表示双曲线，则m的取值范围是() 2+mm+1 A.（-60,-2 B.-0,-2)U(-l,+0】 C.-1,+0j D.（-2,-1 题型四：焦点三角形问题 10.（2025·贵州黔南模拟预测)已知F,F是双曲线x2-y2=1的左，右焦点，点P在双曲线上， PF=2PF引，则cos∠FPF,=() A. B. c3 D. 4 5 4 5 1.（②025河南安陆一模)已知双商线C:号是-川a>0b>0的左、右我点分别为5，B,过点5的直 线与C的右支交于A,B两点，且AF,:BF,:AF=1:2:3,若△ABE的周长为20，则C的实轴长为() A.1 B.2 C.4 D.6 12.《225商三天律北辰期末)双南线号若-16>0的左、右焦点分别为F,5,点P在双曲线上，过 F作∠FPF角平分线的垂线，垂足为Q,O为坐标原点，则OQ=() A.9 B.6 C.3 D.1 题型五：两点的最值问题 13.(2025高二福建宁德开学考试)已知双曲线-上=1的左焦点为F,M为双曲线右支上任意一点，N 97 为圆C:x2+(y-32=1上任意一点，则MF+MW的最小值是 14.(2025高二上海月考)设双曲线C:r-二=1的左焦点和右焦点分别是F,5,点A是C右支上的一点， 24 则4的最小值为— 15.(2025高二山东潍坊月考)已知双曲线C: :女-二=1的左焦点为F,且P是双曲线上的一点，则 916 PF的最小值为 题型六：线段的和差最值问题 3/7 16.(2025高二重庆月考)点5是双曲线C:- -=1的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线 93 :x-y+t-2=0与直线：x+y+2t-1=0的交点为B,则AB+AF的最小值为一 17,(2025山东济南三模)双曲线C:二-上=1的左焦点为F,点40,4)，若P为C右支上的一个动点， 45 则川PA+|PF的最小值为一 18.(2025贵州安顺模拟预测)已知F是双曲线C:x-上=1的右焦点，P是C左支上一点，M是圆 24 D:x2+(y-2V3)2=2上一点，则MP|+|PF1的最小值为 题型七：求轨迹方程的三大方法：直译法、相关点法、定义法 19.在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(2,0),动点C和D分别位于y正半轴和负半轴上，若 OC·OD=1,则AC和BD的交点M的轨迹方程为 20.（2025广东广州模拟预测)已知点M是平面内的一个动点，MA与直线y=x垂直，垂足A位于第一象 限，MB与直线y=-x垂直，垂足B位于第二象限.若四边形OAMB(其中O为原点)的面积为2，则动点 M的轨迹方程是 21.双曲线-y=1的动弦AB所在直线过定点P(4,0)，则AB中点M的轨迹方程是一 3 22.已知圆(x-2)+y2=9的圆心为C,直线1过点M(-2,0),且与x轴不重合，直线1交圆C于AB两点， 点A在点M与点B之间.过点M作直线AC的平行线，交直线BC于点P,则点P的轨迹方程为一， 4/7 02 重难点拓展 1.(2025高二浙江舟山月考)若椭圆或双曲线上存在点P,使得点P到两个焦点，F的距离之比为2：1， 且存在△PF,则称此椭圆或双曲线存在“2点”，下列曲线中存在“2点”的是() B.y 1 C. D.x2_2 1 1615 54 15 2.(2025高二全国专题练习)已知双曲线女-上=1的两焦点分别为、R,P为双曲线上一动点，过点 916 F作∠FPF,平分线所在直线的垂线，则垂足M的轨迹方程为() A.x2+y2=9B.x2+y2=16 C.x2-y2=9 D.x2-y2=16 3.(2025·高二黑龙江大庆期中)若经过点(2,1的直线与双曲线x2-y2=1相交于A,B两点，且弦AB被 点(2，)平分，则此直线方程为() A.3x-4y-2=0 B.x+2y-4=0 C.3x+2y-8=0 D.2x-y-3=0 4.(2025高二河南南阳期中)已知双曲线×-y =1的左、右焦点分别为F,F,点P在双曲线的右支 97 上且位于第一象限，若直线PF,的斜率为，则△PFF的内切圆面积为() A.刀 B.2π C.3π D.4π 5.(2025高二浙江期中)设0为坐标原点，F、F,是双曲线C:x2-y=1的两个焦点，点A在双曲线C的 右支上，且AF L AF,则AF,=() A.2 B.3 C.4 D.6 6.(2025高二黑龙江牡丹江·期中)如图F,E是椭圆G与双曲线G: 3少=1的公共焦点，A,B分 别是C,G在第二、四象限的公共点，若四边形AFBF为矩形，则C的长轴长是() A A.5 B.5 C.25 D.25 5/7 7.(2025商二安微导阳月考)若点0和点下分别为双曲线号-户=1的中心和右焦点，点P为双简线上 的任意一点，则OP·FP的最小值为() A.23 B.3 C.3-2V5 D.3+2V5 8.(2025高三·全国专题练习)已知正方体ABCD-A,B,CD的棱长为1，点P为平面ABCD内一点，若点 P到棱AB和AD的距离相等，则点P的轨迹是() A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 9.（多选题)(2025高二·吉林·期中)已知点A-1,0)和B(1,0),直线AM,BM相交于点M,则() A.若直线AM,BM的斜率之积是2，则点M的轨迹是双曲线（除A,B两点） B.若直线AM,BM的斜率之商是2，则点M的轨迹是椭圆（除A,B两点） C.若直线AM,BM的斜率之和是2，则点M的轨迹方程是x2-y-1=0（x≠±1) D.若直线AM,BM的斜率之差是2，则点M的轨迹方程是y=-x2+1 10.(多选题)(2025·高二·辽宁大连·期中)下列命题中正确的是() A.双曲线x2-y2=1与直线x+y-2=0有且只有一个公共点 B.平面内两个不同定点A和B,则满足PA-PB=2a(a>0)的动点P的轨迹为双曲线 。若方程4，+1表示焦点在y销上的双面线，则1>4 D.若方程，片1衣示的曲线为树圆，则1<1<4 11.(多选题)(2025·高二·江苏泰州期中)下列说法正确的是() A.过(，，（两点的直线方程为）上=- V2-V X-X B.经过点L,2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0或2x-y=0 C.圆C,x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y2-4x-8y+4=0恰有3条公切线 D.已知双曲线C:父-二-1的两个焦点分别为R,R,双曲线C上有一点P,若PF=5,则PF,=9 412 12.(多选题)(2025·高二·吉林长春·月考)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O 的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q,则点Q的轨迹可能是() A.一个点 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 13.(2025高二广东·期中)已知F-3,0),F(3,0),动点P满足PF-PF=4,点P的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)若点M在C上，且ME⊥MF,,求△MEE的面积 6/7 14.(2025·高二江西景德镇·期中)求适合下列条件的曲线方程： (1)经过直线x+3y-9=0与3x-2y+6=0的交点，圆心为C(-1,1的圆的标准方程： 2焦点在x轴上，短轴长等于4，离心率等于5的椭圆标准方程， (3)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点(0,4)的双曲线标准方程 15.(2025·高二上海·期中)某经济开发区规划要修建一地下停车场，停车场横截面是如图所示半椭圆形 AMB,其中AP为2百米，BP为4百米，∠APB=90°，M为半椭圆上异于A、B的一动点，且△MAB面 积最大值为√5平方百米，如图建系 M D W B P (1)求出半椭圆弧的方程： (②)若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置P处，N为运土点，以A、B为出口，要使运土最省工， 工程部需要制定一条分界线，请求出分界线所在的曲线方程 7/7 3．2．1 双曲线及其标准方程 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：双曲线的定义 2 题型二：双曲线的标准方程 2 题型三：双曲线方程的充要条件 3 题型四：焦点三角形问题 4 题型五：两点的最值问题 5 题型六：线段的和差最值问题 7 题型七：求轨迹方程的三大方法：直译法、相关点法、定义法 9 02 重难点拓展 14 题型一：双曲线的定义 1．（2025·高二·吉林·期中）与圆及圆都外切的圆的圆心在（   ） A．双曲线的一支上 B．一个椭圆上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 【答案】A 【解析】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆，即的圆心为，半径为2； 依题意得，，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：A. 2．（2025·高二·广东广州·期中）双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10；是双曲线上的一点，且，则的值为（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 【答案】B 【解析】焦距为10，，，，， ，是双曲线上的一点，， ，，或， ，舍去，. 故选：B. 3．（2025·高二·重庆大足·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【解析】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 题型二：双曲线的标准方程 4．（2025·高三·浙江·开学考试）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设双曲线的方程为（）， 代入点，得， 故所求双曲线的方程为， 其标准方程为． 故选：A． 5．（2025·高二·北京·月考）已知双曲线的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线方程的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，双曲线的焦点在轴上，所以可设方程为， 且，所以， 所以双曲线方程为， 故选:D. 6．（2025·高二·甘肃武威·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的方程为，半焦距为，则，， 故，.所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 题型三：双曲线方程的充要条件 7．（2025·高三·江苏南通·期中）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若方程表示焦点在轴上的双曲线， 则,，解得, 得到“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要不充分条件； 故选：B 8．（2025·高二·吉林长春·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 9．（2025·高二·河南郑州·期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程表示双曲线，，解得：或， 即的取值范围为. 故选：B. 题型四：焦点三角形问题 10．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，双曲线的实半轴长，且， 因为，故在右支上且， 而，故， 由余弦定理可得：， 故选：C. 11．（2025·河南安阳·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解析】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长，而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故选：C 12．（2025·高三·天津北辰·期末）双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，过作角平分线的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】C 【解析】若在双曲线的右支（如图①），由双曲线的定义可知， 延长交于，因为为的平分线，且， 则，则为的中点，而为的中点， 所以为的中位线， 所以， 若在双曲线的左支（如图②），由双曲线的定义可知， 延长交于，因为为的平分线，且， 则，则为的中点，而为的中点， 所以为的中位线， 所以， 又因为双曲线的方程为，所以，即， 所以. 故选：C. 题型五：两点的最值问题 13．（2025·高二·福建宁德·开学考试）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】10 【解析】如图所示： 记双曲线的右焦点为，则，得， 圆的圆心，半径为1， 则，等号成立时，四点共线． 故的最小值是：10． 故答案为：10 14．（2025·高二·上海·月考）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4. 15．（2025·高二·山东潍坊·月考）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值. 故答案为：. 题型六：线段的和差最值问题 16．（2025·高二·重庆·月考）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为 B ，则的最小值为 . 【答案】9 【解析】由双曲线的方程可得，焦点，右焦点， 可得，所以， 当A，，B三点共线时，最小， 联立直线的方程，可得， 消参数t可得，可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆（除去点）， 所以， 当过与圆心M的直线与圆的交点B且在和圆心M之间时最小. 所以的最小值为9. 故答案为：9 17．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【解析】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 18．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故答案为： 题型七：求轨迹方程的三大方法：直译法、相关点法、定义法 19．在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，，． 因为，所以． 已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程为． 已知，，则直线的方程为． 因为是和的交点， 所以的坐标满足和的方程． 对于直线的方程， 用表示出,得． 对于直线的方程， 用表示出,得． 因为，所以，即． 当时的情况不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上， 因此所求轨迹方程为． 故答案为： 20．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设点， 易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直， 所以四边形为矩形，如下图所示： 依题意可知点在轴上方，即，且； 因此， 所以四边形的面积为， 即可得; 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 21．双曲线的动弦所在直线过定点，则中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设， 由，则， 两式相减得， 故， 即，即． 故答案为：. 22．已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 1．（2025·高二·浙江舟山·月考）若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点，的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在椭圆中，，当时，， 在椭圆中，，则， 则，此时不存在，所以A错误； 在椭圆中，，则， 则，此时不存在，所以B错误； 在双曲线中，，当时，， 在双曲线中，，则， 则，此时存在，所以C正确； 在双曲线中，，则， 则，此时不存在，所以D错误； 故选：C. 2．（2025·高二·全国·专题练习）已知双曲线的两焦点分别为，为双曲线上一动点，过点作平分线所在直线的垂线，则垂足的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨假设在双曲线左侧， 延长交于点Q，因为,, 由双曲线定义可知：,可知, 又因为为的中点，为的中点，所以为中位线， 所以，的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆， 所以的轨迹方程为： 故选：A 3．（2025·高二·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设端点，，作图如下： 由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 4．（2025·高二·河南南阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 5．（2025·高二·浙江·期中）设为坐标原点，是双曲线的两个焦点，点在双曲线的右支上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为，所以有，，， 所以， 根据双曲线的定义，， 设，则，又因为， 所以，即， ，解得或（舍去） 所以． 故选：A 6．（2025·高二·黑龙江牡丹江·期中）如图，是椭圆与双曲线：的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的长轴长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆：，且，， 所以，解得， 若四边形为矩形，则， 所以，则. 故选：D 7．（2025·高二·安徽阜阳·月考）若点O和点F分别为双曲线的中心和右焦点，点P为双曲线上的任意一点，则·的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】设，点为双曲线上的一点，所以满足，即. 由题知，则，， 所以， ， 所以当时，最小. 故选：C. 8．（2025·高三·全国·专题练习）已知正方体的棱长为1，点为平面内一点，若点到棱和的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】D 【解析】如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作交于点，连接， 由题意可知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 设点，则 由得， 化简得， 即点的轨迹是双曲线． 故选：D． 9．（多选题）（2025·高二·吉林·期中）已知点和，直线，相交于点，则（   ） A．若直线，的斜率之积是2，则点的轨迹是双曲线（除，两点） B．若直线，的斜率之商是2，则点的轨迹是椭圆（除，两点） C．若直线，的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（） D．若直线，的斜率之差是2，则点的轨迹方程是 【答案】AC 【解析】设，由题意可得直线，的斜率都存在，故， 有，； 对A：，化简得， 故点的轨迹是双曲线（除，两点），故A正确； 对B：，化简得，且有， 故点的轨迹是（），故B错误； 对C：，化简得， 又，故点的轨迹方程是（），故C正确； 对D：，化简得（）， 又，故点的轨迹方程是（），故D错误. 故选：AC. 10．（多选题）（2025·高二·辽宁大连·期中）下列命题中正确的是（   ） A．双曲线与直线有且只有一个公共点 B．平面内两个不同定点和，则满足的动点的轨迹为双曲线 C．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D．若方程表示的曲线为椭圆，则 【答案】AC 【解析】对于A，解方程组，得唯一解，所以曲线与直线有且只有一个公共点，所以A对； 对于，当时，满足的动点的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以错； 对于C，若方程表示焦点在轴上的双曲线，解得，所以C对； 对于D，若方程表示的曲线为椭圆则有，故且 所以D错． 故选：． 11．（多选题）（2025·高二·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线方程为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或 C．圆与圆恰有3条公切线 D．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线C上有一点，若，则 【答案】BCD 【解析】对于选项A，当或时，无法用两点式表示该直线，所以A错误； 对于选项B，当直线经过点时，直线方程为，即， 当直线不经过点时，设在轴和轴上截距都为a，则，解得， 则直线方程为，即，所以B正确； 对于选项C，圆 标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 可知，且， 所以圆与圆外切，所以有3条公切线，所以C正确； 对于选项D，根据双曲线定义可得，又， 所以或，又，， 而或，所以，所以D正确. 故选：BCD. 12．（多选题）（2025·高二·吉林长春·月考）已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．一个点 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ACD 【解析】分以下几种情况讨论：设定圆的半径为， ①当点在圆上，连接，则，所以点在线段的中垂线上， 由中垂线的性质可知．又因为点是线段的中垂线与的公共点， 此时点与点重合，此时，点的轨迹为圆心；故A正确； ②当点在圆内，且点不与圆心重合，连接， 由中垂线的性质可得，所以， 此时，点的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为的椭圆，故C正确； ③当点在圆外：连接， 由中垂线的性质可得，所以，此时，点的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为的双曲线．故D正确． 故选：ACD． 13．（2025·高二·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【解析】（1）由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则，解得，， 所以的方程为； （2）设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 14．（2025·高二·江西景德镇·期中）求适合下列条件的曲线方程： (1)经过直线与的交点，圆心为的圆的标准方程； (2)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (3)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程. 【解析】（1），解得，则该圆经过点， 则半径， 则该圆的标准方程为； （2）由该椭圆焦点在轴上，设其标准方程为，焦距为， 则有，解得， 即该椭圆标准方程为； （3）由该双曲线焦点在轴上，设其标准方程为， 则焦距为，即， 又该双曲线经过点，则，则， 则， 故该双曲线标准方程. 15．（2025·高二·上海·期中）某经济开发区规划要修建一地下停车场，停车场横截面是如图所示半椭圆形，其中为2百米，为4百米，，为半椭圆上异于、的一动点，且面积最大值为平方百米，如图建系. (1)求出半椭圆弧的方程； (2)若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置处，为运土点，以、为出口，要使运土最省工，工程部需要制定一条分界线，请求出分界线所在的曲线方程. 【解析】（1）在直角三角形PAB中，，， 由勾股定理得：． 设椭圆方程为． 由题意得，解得，． 故半椭圆弧的方程为； （2）依题意，由为运土点，以、为出口，且挖出的土都运到指定位置处， 故点N到P的距离相等，即，即． 得，在以A，B为焦点的双曲线的右支上， 设双曲线方程为， 则，解得，． 则分界线所在的曲线方程为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $