四川省成都市2025-2026学年高三一诊数学模拟试题

四川省成都市2025-2026高三一诊模拟试题 注意事项： 1.开考前，请先将自己的个人信息填写在答题卡的相应位置. 2.请使用考试规定用笔进行作答，否则后果自负. 3.不得污染，折叠答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式求解方法求出，利用指数函数的性质求出，再根据集合间的交集和补集计算即可. 【详解】由题意，即，解得， 可得，所以， 故， 故选：D. 2.若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算化简即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计算它们的数量积，最后通过化简得到与的关系式． 【详解】，即． 故选：A. 4. 函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用定义法证明为偶函数，根据，结合排除法即可求解. 【详解】的定义域为R， 则， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项； 又因为，故排除B选项. 故选：A． 5. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 6. 当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现坑的炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的，则该遗址距今约　　年．（参考数据： A．3300 B．3200 C．3100 D．3000 【解答】解：设该遗址距今约年，衰减率为， 则有，则， 故， 由题意可得，， 则， 故， 所以， 则该遗址距今约3100年． 故选：． 7. 设，，，则的大小关系为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，求导得，，， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以， 所以，设，则， 记，则，记， 则，所以在上单调递增， 故时，，即， 所以在上单调递增，故时，， 即，所以在上单调递增， 故时，，即，所以， 又，所以，即，所以． 故选：A 8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，则， 令，则， 则，令，解得， 故当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 故， 故在上单调递增，故只需，即， 令，则， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 故，则，即， 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分数，有选错得0分） 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 图像关于原点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算的值可判断B选项；由，在的单调性可判断C选项；利用奇函数的定义可判断D选项. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象 . 对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，则，，在上单调递增，C选项正确； 对于D选项，函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 【答案】ACD 【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 11. 在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C． D．平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为 【答案】AC 【详解】对于选项A：取中点，因为为侧面的中心， 所以，且，又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，即平面，即平面， 则点到平面的距离恒为直线到平面的距离， 而，则三棱锥的体积不变，正确； 对于选项B：连接，则， , 作出平面三角形可知时，取得最小值， 此时由余弦定理得， 所以， 所以，不正确； 对于选项C：由平面平面， 而平面与两个平面分别交于，则. 作，则，则，所以， 所以，正确； 对于选项D：连接延长至与交于，连接， 由选项C知，则截面为，记几何体的体积为， 则， 则另一部分的体积，则，不正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 【答案】21 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质列式求解. 【详解】依题意，成等差数列，而，， 因此，解得. 故答案为：21. 13. 在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是____ 【答案】 【解析】 【分析】灯亮即开关闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果. 【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥， 所以， 故答案为：. 14. 在锐角中，若，则的最小值是________ 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，由利用基本不等式和上述结论，可推得，从而可得的最小值. 【详解】由，可得． 因为为锐角三角形，所以均大于0． 则（*）， 当且仅当时取等号． 而 ， 则由（*）可得：， 即，当且仅当， 即时取等号. 即当或时， 的最小值是8． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，其内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，为边上的中点，求的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，结合已知条件整理化简，求得，则得解； （2）根据面积公式，求得，再由余弦定理求得，利用余弦定理求得，再在△中，由余弦定理求得. 【详解】（1）因为，即， 且， 即， 得，且，则， 可得，且，所以． （2）如图： 因为，， 由，所以，解得， 在中，由余弦定理得，则， 又D为BC边上的中点，所以， 在中，由余弦定理得，则， 在中，由余弦定理得， 所以． 16. 如图，在三棱台中，平面，且，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2). 【解析】（1）证明：连接，则四边形为矩形. 因为， 所以， 又，所以， 所以，故. 因为是的中点，所以. 因为平面平面，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. （2）因为平面平面， 所以， 因为，所以， 又平面，所以平面. 由（1）知，故以为坐标原点， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 因为，所以由棱台的性质得， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取， 则，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为. (1)假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； (2)假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为. （ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）求数列的最值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）最小值为，最大值为. 【分析】 【详解】（1）记选择A套餐的事件为，顾客领取优惠券的事件为， 则， 因此. （2）（ⅰ）商场恰好发出了n张话费优惠券的事件，是发放张后选择A套餐的事件， 与发放张后选择B套餐的事件的和， 则，， ，而， 因此（）是以为首项，为公比的等比数列， 当2时，， ，而满足上式， 所以. （ⅱ）当（ⅰ）知，， 当为偶数时，，数列是递减数列，， 当为奇数时，，数列是递增数列，， 所以数列的最小值为，最大值为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为； (2)直线l的方程为； (3)点N不在定直线上 【分析】 【详解】（1）根据椭圆的性质，椭圆，离心率（c为半焦距）， 且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为． 由离心率，可得， 因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即， 将代入，可得，解得，那么， 根据，可得． 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，，，因为直线l过， 当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足， 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为． 联立直线与椭圆方程，消去y可得： ， 由韦达定理得，． 因为，所以， 即，也就是． 将代入，可得，即，． 再代入，可得， 解得， 所以直线l的方程为． （3）由（2）知直线AB过，由题意其斜率存在， 设直线AB方程，令，得，所以． 由过点，且，则是PQ中点； 当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点， 此时不妨取， 则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有， 由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意， 故， 结合椭圆对称性可知，设，， 则，． 由，两式相减得： 将，代入上式，可得， 因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为． 联立，可得，，， 不妨设，,其中， 由（2）知，设，，不妨设， 由，． 故当时，则，又由， 可解得， 则，且， 此时交点； 故当时，则，又由， 可解得， ， 且， 此时交点； 当时，，则，， ，， 此时交点； ，， 因为， 所以不共线，故动点不在定直线上； 同理由对称性可知，当时，也不在定直线上， 综上可得，动点不在定直线上. 19. 已知函数的定义域为，导函数为，满足，. (1)讨论函数()在上的单调性，并证明：； (2)求函数的图象与函数的图象的交点个数. 【答案】(1)单调性见解析，证明见解析 (2)2 【详解】（1）令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递减； ③当时，，所以对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递增； ④当时，令得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增,在上单调递减； 因此， 取得，，即； 取得，，即; 故. （2）法一：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则. 令，则. 因此在上单调递增，由于为增函数，， 故， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，， 故在，分别存在唯一零点 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 法二：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则， 令，则，， 故在上单调递增，且，， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在递减，在递增， 而，，， 故在，分别存在唯一零点， 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $四川省成都市2025-2026高三一诊模拟试题 注意事项： 1.开考前，请先将自己的个人信息填写在答题卡的相应位置 2.请使用考试规定用笔进行作答，否则后果自负 3.不得污染，折叠答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合A= 号0a=2叫，则dn=《) A.(-00,-2)U(2,+0) B.[-2,2) C.(-2,2] D.(-00,-2)U[2,+0) 2.若复数z满足z3+4i)=1-i,则z=() A名3B日 c3* 3.已知平面向量a=(-1,1),b=(0,1),若（ā+bu+)=1(2,4eR,u≠0），则() 4.函数f(x)=cosx+2cos2x+3cos3x的大致图象可能是() 5已知稍圆二+若=a>b>0的两个焦点为5，万，过作直线交椭题于M,N,若M1M5,直 MF=2FN,则椭圆的离心率为() A.2 B.3 D.5 3 3 3 6.当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半， 这个时间称为“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的 炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的68.73%，则该遗址距今约() 年.（参考数据：1og20.6873=-0.541) A.3300B.3200C.3100 D.3000 7设a=sn号b号c=h+1,则a、人c的大小关系为：《) 3 3 7 A.c<b<a B.c<a<b C.a<c<b D.a<b<c 8.若关于x的不等式ae+(lnx)≥x2+(2lna+1x+(lna在(0，+o）上恒成立，则实数a的取值范围为() A.e,+oo) B.(0,e C. n 二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选 对得6分，选对但不全得部分分数，有选错得0分) 9将函数f(x)=sin2x+ 的图象向右平移亚个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论中正确 3 6 的是( A.g(x)的最小正周期为π B.直线x=乃是gx)图象的一条对称轴 6 C.gx在 3 ， -元 上单调递增 4 4 D.8(x)图像关于原点对称 10.已知点A(3,0),B(0,3),点P在圆C:(x-3)2+(y-4)2=4上运动，则() A.直线AB与圆C相离 B,△PAB的面积的最小值为6-2√2 C.IPA的最大值为6 D.当∠PBA最小时，|PB=√6 11.在棱长为4的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M为棱AD中点，N为侧面BCCB的中心，P为线段MN(含 端点)上一动点，平面DMN交BC于Q,则() D A B C M A.三棱锥A,-ABP的体积为定值 B.PB的最小值为2 5 C.BO=1 D.平面DMN将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为3：2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=7,Sm=42(m∈N),则S2m= 13.在如图所示的电路图中，开关a,b,c正常工作的概率分别为 132 3’4’3 ,且是相互独立的，则灯亮 的概率是 14在锐角BC,若agdC-2,则a4+en9+C的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 2cosB 15.已知△ABC,其内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且立=mC+3丽： (1)求A: ②若C=3,SA4Bc=9,D为BC边上的中点，求AD的长 16.如图，在三棱台DEF-ABC中，CF⊥平面ABC,AB⊥BC,且BA=BC,AC=2DF=2V2, CF=2,M,P分别为AC,CF的中点. D (I)求证：CD⊥平面PBM; (2)求直线BE与平面EFM所成角的正弦值 5 17.某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的 概率为了选择B套餐的餐率为号 (1)假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； (②)假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n 张话费优惠券的概率为P (i)证明{Pn-P.-}(n≥2)为等比数列，并求Pn的通项公式： (i)求数列{P}的最值 6 &已知椭假℃名+a>h>0的左、石焦夏分别为，乃，离心幸为，且椭凰上一点M到F的励 离的最大值为3，己知直线1过F且与椭圆交于A,B两点， (1)求椭圆C的标准方程； (2)若AF,=2F,B,求直线1的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D,过D作直线I与椭圆C交于P,Q两点，且DP=DQ,直线AP与BO交 于点N,探究：点W是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由. > 1 19已知函数f)的定义域为R,导函数为/)，满足()+文，f0)=0. 0)讨论函数)=f)-a(aeR)在(0，)上的单调性，并证明：<10<1， (2)求函数y=f(x)-1的图象与函数y=lnx的图象的交点个数