湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期实验班数学周测试卷（12.9）

黄梅一中高二实验班数学周测2025.12.09 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望E(X)＝（ ） A． B． C． D． 2. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测．依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示．若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A． B． C． D． 3. 一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望E(X)＝（ ） A． B． C． D． 4. 一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 5. 已知P(M)＝，P(M|N)＝，P(M|)＝，则P(N)＝（ ） A． B． C． D． 6. 已知随机变量X，Y均服从两点分布，且P(X＝1)＝，P(Y＝1)＝，若P(XY＝1)＝，则P(Y＝1|X＝0)＝（ ） A． B． C． D． 7. 有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（k＞3）个白球和(k＋1)个黑球，现从乙盒中随机抽取i（i＝1，2）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为pi，甲盒中含有白球个数的期望为Ei，则（ ） A．p1＞p2，E1＞E2 B．p1＞p2，E1＜E2 C．p1＜p2，E1＞E2 D．p1＜p2，E1＜E2 8. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9. 设A，B为两个相互独立的随机事件，且P(A|B)＝，P(B)＝，下列命题中，正确的是（ ） A．P(A|)＝ B．P(B|)＝ C．P(AB)＝ D．P(＋B)＝ 10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件A1，A2，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A．P(A2)＝ B．P(B|A2)＝ C．P(A1B)＝ D．P(A2|B)＝ 11. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，设质点位于点n的概率为P(n)．则下列结论正确的是（ ） A．P(6)＝ B．E(n)＝0 C．若出发点改变，其余不变，则E(n)不变 D．若出发点改变，其余不变，则D(n)不变 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是 ． 13. 有3个分别标有数字1，2，3的小球，从中有放回地随机取4次，每次取1个球．记X为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝ ． 14. 某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是 ；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望E(X)＝ ． 四、解答题 15. 一个箱子中装有标号为1~6的6个小球，这些小球除了标号不同，其他特征完全相同，现从这个箱子中有放回地取球若干次，每次抽取1个小球． （1）若抽取3次，求第3次才取到3号小球的概率； （2）若抽取3次，求2号小球至少被抽取1次的概率； （3）若一旦抽到3号小球就停止取球，在停止取球时抽取的总次数不大于4的前提下，记停止取球时已取球的次数为Y，求Y的数学期望． 16. 某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500元（含500元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）． 方案1：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减100元，若3次都摸到红球，则额外再减100元（即总共减400元）； 方案2：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． （1）顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； （2）顾客小红恰好消费了500元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理． 17. 实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）．现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为．求： （1）这场比赛甲获胜的概率； （2）这场比赛乙所胜局数的数学期望； （3）这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率． 18. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k－1（k∈N*）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p（0＜p＜1），各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为Pk（例如：P2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，P3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1）若p＝，当k＝2时， ①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望； ②求P2； （2）升级后的设备控制系统原有2k－1（k∈N*）个元件，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高设备正常运行的概率Pk． 19. 某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案： 方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时； 方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时． 若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立． （1）假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率； （2）假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益X的分布列和数学期望； （3）假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记n小时后（n≥1）机器正常的概率为Pn，求Pn并计算n个小时的累计期望收益E(Y)． 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《黄梅一中高二实验班数学周测2025.12.09》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B A B A D B D BCD ACD ABD 1．B 【难度】0.65 【来源】 广东省清远市第二中学2023-2024学年高二下学期五月教学质量检测试数学试卷 【分析】设选到深度贫困村数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设选到深度贫困村数为，则随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，，，， 所以． 故选：B 2．B 【难度】0.65 【来源】广东省领航高中联盟2025-2026学年高三上学期模拟考试数学试卷 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 3．A 【难度】0.85 【来源】河北省邯郸市九校联考2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题 【分析】先确定的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算. 【详解】随机变量的可能取值为. （第一次摸到红球）； （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）； （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）； （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）. 数学期望. 故选：A 4．B 【难度】0.65 【来源】广东省湛江市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】利用条件概率公式即可解出答案. 【详解】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,，所求概率为. 故选：B． 5．A 【难度】0.65 【来源】四川省成都石室中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 【分析】应用全概率公式、对立事件的概率求法列方程求. 【详解】由全概率公式知， 所以. 故选：A 6．D 【难度】0.65 【来源】山西省大同市第二中学校2025-2026学年高三上学期第二次学情检测数学试卷 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ，因此. 由全概率公式得，即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 7．B 【难度】0.65 【来源】广东省湛江市2025-2026学年高三上学期10月高考调研测试数学试题 【分析】分别对与计算对应的概率和期望，进而比较大小可得结果. 【详解】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和， 放入后，取出白球的概率分别为1和， 故，． 当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布， 取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1； 取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为， 则， 且放入的两个球中白球数的期望， 则， 则， 所以，又，，故． 故选：B 8．D 【难度】0.4 【来源】宁夏育才中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】先设出事件，依题分别求出和，和，利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件为“丙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从箱中取出2道代数题”，则， 事件为“乙从箱中取出1道代数题和1道几何题”，则， 事件为“乙从箱中取出2道几何题”，则， 当发生时，箱中有5道代数题和3道几何题，则； 当发生时，箱中有4道代数题和4道几何题，则； 当发生时，箱中有3道代数题和5道几何题，则. 由全概率公式可得. 故选：D. 9．BCD 【难度】0.65 【来源】湖北省荆州中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试题 【分析】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得，再依次判断选项即可． 【详解】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得， 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确． 故选：BCD 10．ACD 【难度】0.4 【来源】山东省青岛第二中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷 【分析】由表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型直接计算；当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球，根据古典概率模型得到；分别计算出再根据条件概率公式即可得到的值；由，再分别计算出对应的每个概率即可. 【详解】表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型，选项A正确； 当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球， 根据古典概率模型，选项B错误； 表示和同时发生，，当发生，即从甲袋取出一个红球放入乙袋， 此时乙口袋中装有3个红球，1个白球，， 根据条件概率公式可得，选项C正确； 综合以上分析得到 ，选项D正确. 故选：ACD 11．ABD 【难度】0.4 【来源】四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 【分析】设质点向右移动的次数为，分析出服从二项分布.由二项分布的概率公式求出，即可判断A；先分析得到，求出期望，再根据期望的性质求出，即可判断B；假设出发点为，分析得到，再求出，即可判断C；先求出，再根据方差的性质求出，即可判断D. 【详解】设质点向右移动的次数为，因为质点每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位， 移动6次，所以离散型随机变量服从二项分布. 所以由二项分布的概率公式可得，故A正确； 由二项分布的期望公式可得. 因为质点移动6次位于点n，所以， 所以，故B正确； 假设出发点为，则， 所以， 所以若出发点改变，其余不变，会随着出发点的变化而变化，故C错误； 由二项分布的方差公式可得. 假设出发点为，则，所以， 所以若出发点改变，其余不变，则不变，故D正确. 故选：ABD 12．/0.3 【难度】0.65 【来源】重庆市兼善中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题 【分析】记事件甲与乙不相邻，记事件丙与丁相邻，求出、，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】依题意，6名同学排成一排，记事件甲与乙不相邻，则， 记事件丙与丁相邻，则， 由条件概率公式可得.所以在甲与乙不相邻的条件下，丙与丁相邻的概率为. 故答案为：. 13． 【难度】0.65 【来源】江苏省前黄高级中学2026届高三上学期期中适应性练习数学试题 【分析】依题意，的可能取值为，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】依题意，的可能取值为，总的选取可能数为， 其中：即４次抽取同一球，选择球的编号有3种方式，故； ：恰好两种不同球被取出； 情况一：一种球出现1次、另一种球出现３次，可能情况有种， 情况二：一种球出现2次、另一种球出现２次，可能情况有种， 故； ：三种不同球被取出，则一种球出现1次、另一种球出现1次、第三种球出现２次， 可能情况有种，故； 所以. 故答案为： 14．；. 【难度】0.65 【来源】广东省八校联盟2025-2026学年高三上学期质量检测（二）数学试题 【分析】（1）解法一，利用条件概率公式及全概率公式即可求解； （2）由题意可得，根据二项分布的特征即可求解分布列及数学期望. 【详解】（1）记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B. . 所以. 故在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率为. （2）由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则. 因为四次摸球总得分为，所以.所以. 所以，， ，，. 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以的数学期望是. 故答案为：；. 15．(1)；(2)；(3) 【难度】0.65 【来源】河南省2025-2026学年高三上学期期中联考数学试题 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式直接求解即可； （2）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式求解即可； （3）分别计算出每个取值对应的概率，根据数学期望求解公式直接求解即可. 【详解】（1）每次抽球抽到号小球的概率为，抽不到号小球的概率为， 记事件：“抽取次，第次才取到号小球”，则. （2）每次抽球抽到号小球的概率为，抽不到号小球的概率为， 记事件：“抽取次，号小球至少被抽取次”， ，. （3）由题意知：在停止取球时抽取的总次数不大于的前提下，所有可能的取值为， ；；；； 的数学期望. 16．(1)；(2)选择方案1更合理，理由见解析. 【难度】0.65 【来源】重庆市第十一中学校教育集团2025-2026学年高三上学期第四次质量检测数学试题 【分析】（1）设他第一次摸出红球为事件A，他能够享受优惠为事件B，分后两次取得1个红球或两个红球两种情况可得，然后由条件概率公式可得答案； （2）分别写出两种方案下实付金额对应期望，即可得答案. 【详解】（1）设他第一次摸出红球为事件A，则. 设他能够享受优惠为事件B，剩余球为2红2黑， 则他第一次摸出红球，剩下两球均为红色的情况有种， 他第一次摸出红球，剩下两球为1红1黑的情况有种， 则，则他第一次摸出红球，他能够享受优惠的概率为：； （2）若选方案1，设实付金额数为，则的可能值为. 注意到有放回地摸到一次红球的概率为，摸到一次黑球的概率为， 则，， ，. 则; 若选方案2，设实付金额数为，则的可能值为. 由（1）可得无放回摸出三球的情况有种， 则，，， 则. 因，则他选择方案1更合理. 17．(1)；(2)；(3) 【难度】0.65 【来源】辽宁省实验中学2025-2026学年高三上学期期中数学试卷 【分析】（1）甲胜的情况可能连赢3局、前3局中甲赢2局，第4局甲赢、前4局甲赢2局，第5局甲赢这三种情况，由此能求出甲获胜的概率； （2）乙获胜的局数为，列出的可取值，分别求出对应可取值的概率即可得到的分布列，然后由期望的公式计算出的期望； （3）设事件“甲获得比赛胜利”，事件“乙获胜一局”，然后求出，，由条件概率的公式求得. 【详解】（1）甲胜的概率为. （2）设乙获胜的局数为，， 可得；； ；. 的分布列为： 0 1 2 3 （局） （3）设事件“甲获得比赛胜利”，事件“乙获胜一局”. 得到；； . 18．(1)①分布列见解析，2；②；(2)答案见解析 【难度】0.4 【来源】广西示范性高中2025-2026学年高三上学期9月联合调研测试数学试题 【分析】（1）根据题意，可得，根据二项分布求分布列、期望和； （2）分情况讨论：原系统中至少有个元件正常工作；原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，分别计算概率并求通过差比较法，来分析能否提高. 【详解】（1）①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以． 所以，， ，. 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为： 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为. ②. （2）若控制系统增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作， 设原系统中正常工作的元件个数为， 第一类：原系统中至少有个元件正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以. 所以， 所以当时，，单调递增， 即增加2个相同元件，设备正常工作的概率变大，即能提高设备正常运行的概率； 当时，，即增加2个相同元件，设备正常工作的概率没有变大. 19．(1)；(2)分布列见解析；期望为元；(3)， 【难度】0.4 【来源】云南三校（昭通一中等）2025-2026学年高三上学期高考备考实用性联考卷（三）数学试题 【分析】（1）设出相应的事件，条件概率公式和独立事件的概率乘法公式计算即可； （2）由题意，列出的所有可能的值，并依次求出对应的概率，列出分布列，计算出均值即可； （3）经分析推得n个小时后正常的概率递推式由此式构造等比数列，求出其通项公式，再根据修复与收益标准依次计算各小时的期望收益，最后利用等比数列的求和公式计算累计期望收益即可. 【详解】（1）设“小时后机器正常”为事件，设“加急检修，1小时修复”为事件，设“常规检修，1小时修复”为事件． 由题意，， 从而2小时后机器正常的概率为 （2）依题意， 的所有可能的值为 的情况为第1个小时没有修复，第2个小时没有修复，第3个小时继续修，修了3个小时花费27元， 从而 的情况为第1个小时检修好，花费9元，第2个小时正常工作，收益10元，第3个小时也正常工作，收益10元，共收益11元， 从而 的情况为有1个小时收益10元，另外2个小时检修花费18元，则 于是X的分布列为 X 11 P 0.01 0.27 0.72 数学期望为元． （3）初始状态正常，即；1个小时后正常的概率为；2个小时后正常的概率为； 同理，n个小时后正常的概率为即，故 从而数列是首项，公比为的等比数列，于是， 因此．               初始状态正常，第1个小时期望收益为元；第2个小时期望收益为； 同理，第k个小时期望收益为． 因此n个小时累计期望收益为 答案第6页，共6页 答案第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $