重庆市九龙坡区育才中学2025-2026学年上学期九年级第三次自主作业数学试卷（12月份）

2025-2026学年重庆市九龙坡区育才中学九年级（上）第三次自主作业数学试卷（12月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个数中，最小的数是(    ) A. B. C. D. 2.如图所示，用KT板制作的“中”字的俯视图是(    ) A. B. C. D. 3.已知正比例函数与反比例函数的图象交于点和点B，则点B的坐标为(    ) A. B. C. D. 4.已知，则实数m的范围是(    ) A. B. C. D. 5.如图，与位似，位似中心是点O，且OA：：3，若的面积为5，则的面积为(    ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 6.下列说法中正确的是(    ) A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 同弦或等弦所对的圆周角相等 C. 平分弦的直径一定垂直于弦 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7.肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程(    ) A. B. C. D. 8.如图是二次函数的图象一部分，对称轴是直线，且过点，以下几种说法：①；②；③；④多项式可因式分解为；⑤若、是抛物线上两点，则；其中正确的是(    ) A. ①②④ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ①③④ 9.如图，正方形ABCD中，点E、F分别是AB和BC边的点，满足，连接DE、DF，过点F作，连接CG，H是DF上一点，且，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.设整式Q：，其中m，n，p为整数且下列说法： ①Q可以表示为关于x的二次多项式； ②若且，则； ③满足且的正整数解有7组. 其中正确的个数是(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.计算：        . 12.若一个正多边形的内角和比另一个多边形的外角和多，则这个正多边形的边数为      ， 13.在一个不透明的袋子里装有3个分别标有数字2，3，4的小球，这些球除标号外完全相同.从袋中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋中小球摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，两次记下的数字之和是奇数的概率为      . 14.如图，点A，B分别在反比例函数的图象上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB的面积是4，则k的值为      . 15.如图，在中，以AB为直径的分别交BC、AC于点D、与AD交于点F，G为射线CA上的一点，连接GF，且，若，，则      ，      . 16.若一个三位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“拉手数”.若一个“拉手数”，将M的百位数字与个位数字对调得到一个新的三位数N，则N一定能被        整除.若将“拉手数”M与N相加再减去3c能被7整除，则所有满足条件的M的最大值与最小值的差为        . 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解不等式组：，并指出它的所有的非负整数解. 18.本小题8分 如图，在中，点D为线段AB上一点. 用尺规完成以下基本作图：在AD上方作交AC于点E，在BC延长线取一点F，使，连接DF； 在所作的图形中，若，，，求的周长. 解：，， ， ， ①______， 在和中， ≌， ，③______， ，， 的周长④______ 19.本小题10分 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩成绩为百分制且为整数进行整理、描述和分析成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：，，，，得分在90分及以上为优秀，下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90、93，93，95，96，98，99，100， 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，87，86，89，85， 八九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 九年级 88 94 b 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中的______，______，______； 根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生知识竞赛的成绩较好？请说明理由写出一条理由即可； 若该校八年级有900名，九年级有800名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20.本小题10分 先化简，再求值：，其中 21.本小题10分 某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元. 求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； 今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？ 22.本小题10分 如图1，在中，，，，D为边AC上的中点，连接动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着的路线运动，到达点B停止.同时动点M以相同的速度从点A出发，沿AC运动，到达点C停止，连接BM，过点P作交AB于点运动的时间为x秒.点P，Q的距离为，的面积与的面积之比为 请直接写出，分别关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； 在如图2所示的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； 结合函数图象，请直接写出时x的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过 23.本小题10分 如图，A处位于B处正北方向7千米处，C处位于B处的正东方向，D处位于A处南偏东方向6千米处，D处在C处的东北方向参考数据：， 求B与C之间的距离结果保留小数点后一位； 甲，乙两人相约跑步，甲从D处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从A处出发，沿正南方向匀速直线运动.甲的速度是乙的速度的倍，两人同时出发，在AB上某处相遇.当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？结果保留小数点后一位 24.本小题10分 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点在C的左侧，连接AB，BC， 求抛物线的解析式； 点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； 如图2，点Q是抛物线的对称轴与AB的交点，将该抛物线沿射线BA方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程. 25.本小题10分 如图，在三角形ABC中，，，D为AB上一点，将线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CF，连接 如图1，若点D在边AB上，延长BA交CF于点E，，，求AE的长； 如图2，若点D在AB延长线上，延长CA交DF于点E，BF交CE于点G，求证：； 若点D在边AB上，P为边BC上一点，，N为DP上方一点，，，连接BN，H为BN上一点，，当BN取得最大值时，将线段DN绕点D旋转得到线段DQ，连接BQ，线段BQ绕点B逆时针方向旋转得到线段BK，直接写出KH的最大值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：， 最小的数是： 故选： 利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2.【答案】B  【解析】【分析】 找到从几何体的上面看所得到的图形即可． 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 【解答】 解：这个几何体的俯视图为： 故选： 3.【答案】D  【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象交于点和点B， 点A、点B关于原点对称， ， 故选： 根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求得点B的坐标． 本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键． 4.【答案】B  【解析】解： ， ， ， ， ， 故选： 先根据乘法分配律和二次根式的乘法法则进行计算，再估算的大小，从而估算的近似值，最后进行判断即可． 本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则． 5.【答案】C  【解析】解：：：3， ：：2， 与位似，位似中心是点O， ∽，， ， 的面积为5， 的面积为20； 故选： 由题意易得OA：：2，∽，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：A、矩形的对角线相等且互相平分，故此选项正确，符合题意； B、同弦所对的圆周角可能相等也可能互补，故此选项错误，不符合题意； C、当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，故此选项错误，不符合题意； D、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故此选项错误，不符合题意． 故选： 根据矩形的性质、圆周角定理、垂径定理和平行四边形的判定，逐一判断选项的正误． 本题考查矩形的性质、圆周角定理、垂径定理和平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染人，第二轮共感染人，根据题意列方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【解答】 解：设1人平均感染x人， 依题意可列方程：， 即 故选： 8.【答案】B  【解析】解：二次函数的图象一部分，对称轴是直线，且过点， 由图可得，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ，， 对称轴是直线， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ，即 ，故②正确； 抛物线过点，对称轴是直线， 抛物线也过点， 当时，， ，故③错误； ，， ， 多项式可因式分解为，故④错误； 在抛物线上， 关于对称轴对称点为也在抛物线上， ， ，故⑤正确． 故选： 由图可得，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，得到，，根据对称轴为得到，可判断①；代入到，可判断②；当时，，可判断③；用a表示出b和c，再利用因式分解的知识可判断④；根据二次函数的增减性可判断⑤，即可得出结论． 本题考查了二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象正确判断式子的符号是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 点D、C、F、G四点共圆，且DF为直径，由可知点H为圆心，如图所示， ， ， ，， ， ， ， ； 故选： 由题意得≌，则有，然后根据题意可知点D、C、F、G四点共圆，且DF为直径，由可知点H为圆心，进而根据圆的基本性质可进行求解． 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及圆的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及圆的基本性质是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：①，n，p为整数且， 无法通过系数为0降为二次，Q不可以表示为关于x的二次多项式， 故①错误； ②由题意得，， ，而不是10， 故②错误； ③若，则， 若，则， 若，则， 若，则， 若，则； 若，则， 若，则， 若，则； 若，则， 若，则， 综上所述，满足且的正整数解有7组， 故③正确， 其中正确的个数是 故选： ①根据多项式的定义判断即可； ②利用且得到等式，求的值即可； ③通过约束条件，枚举满足的正整数解． 本题考查了解三元一次方程，三元一次方程的整数解，多项式，根据题意得到等式是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值化简运算即可． 本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12.【答案】8  【解析】解：正多边形的内角和比另一个多边形的外角和多， 设这个正多边形的边数为n， ， 解得： 故答案为： 设这个正多边形的边数为n，由题意易得，然后进行求解即可． 本题主要考查了多边形的内角与和外角，掌握正多边形的性质及多边形内角和是关键． 13.【答案】  【解析】解：列表如下： 2 3 4 2 3 4 共有9种等可能的结果，其中两次记下的数字之和是奇数的结果有：，，，，共4种， 两次记下的数字之和是奇数的概率为 故答案为： 列表可得出所有等可能的结果数以及两次记下的数字之和是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 14.【答案】6  【解析】解：如图，延长BA交y轴于点D，连接OA， 平行四边形ACOB的面积是4， ， 在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为： 延长BA交y轴于点D，连接OA，根据题意可知，，据此可计算出，继而可得k值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键． 15.【答案】5   【解析】解：如图所示，连接DE，CF，      ， ，即， 又，， ≌， ，， ，， ， 又， ∽， ， ， ， 解得， ， ， ，， ∽， ，即， ， ， ，，， ≌， ， ，即， ， ， 故答案为：5； 连接DE，CF，证明≌得出，，，进而证明∽，根据相似三角形的性质得出，代入数据求得AE和AC的长，通过证明∽得到，求出EF的长，利用勾股定理求出FC的长，再证明即可求解． 本题考查了直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16.【答案】11 451   【解析】解：由“拉手数”的定义可得， ， 一定能被11整除； ， 与N相加再减去3c能被7整除， 是7的整数倍，即是7的整数倍， ，且三位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0， ，，； 若，或舍去，这时； 若，，这时； 若，，这时； 若，或舍去，这时； 若，，这时； 若，，，舍去； 若，，舍去； 若，，，舍去； 则最大的数为583，最小的数为132， 差为， 故答案为：11， 利用“拉手数”的定义可得，求出即可得出这个数；根据题意表示出，根据整除可得是7的整数倍，再利用数位上的数字的特征和整除的特性解答即可． 本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 17.【答案】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式的解集为， 非负整数解为：0，  【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，找出它的所有的非负整数解即可． 本题考查的是一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 18.【答案】见解答．   ①；②；③；④  【解析】解：如图所示． ，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 的周长 故答案为：①；②；③；④ 根据作一个角等于已知角的方法作出即可；延长BC，以点B为圆心，AD的长为半径画弧，交BC的延长线于点F，连接DF即可． 根据全等三角形的判定与性质填空即可． 本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19.【答案】85，90，93，  九年级学生的知识竞赛成绩更好，因为均值相同，九年级的方差小于八年级的方差，方差越小成绩越稳定  人  【解析】解：八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，95，96，98，99，100， 八年级20名学生的竞赛成绩中，85，90，93，100出现次数最多， 所以众数a的值为85，90，93，100， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共5名学生， 又20名学生竞赛成绩得中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：85，90，93，100；；30； 九年级学生的知识竞赛成绩更好， 因为均值相同，九年级的方差小于八年级的方差，方差越小成绩越稳定． 根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有人； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有900名，所以知识竞赛成绩达到优秀有人； 人 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有845人． 根据众数、中位数的定义求解即可； 根据中位数、方差的意义求解即可； 总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． 20.【答案】；  【解析】解：原式 ， ， 原式 先进行整式的混合运算，再进行分式的混合运算，然后计算出a，再代入求值即可． 本题考查了分式和整式的混合运算，涉及负整数指数幂和零指数幂、立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 21.【答案】去年A品牌足球的单价是48元，B品牌足球的单价是60元；   学校至少要购买50个A品牌足球．  【解析】设去年A品牌足球的单价是x元，则B品牌足球的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元 答：去年A品牌足球的单价是48元，B品牌足球的单价是60元； 设学校购买y个A品牌足球，则购买个B品牌足球， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：学校至少要购买50个A品牌足球． 设去年A品牌足球的单价是x元，则B品牌足球的单价是元，利用数量=总价单价，结合购买A品牌足球数量是B品牌数量的倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即去年A品牌足球的单价，再将其代入中，即可求出去年B品牌足球的单价； 设学校购买y个A品牌足球，则购买个B品牌足球，利用总价=单价数量，结合总价不超过去年总费用的一半，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22.【答案】，，x的取值范围是   见解析；     【解析】在直角三角形ABC中，由勾股定理， 是AC中点，， 当时， ， ∽， ，即， 解得 在直角三角形AQP中，根据勾股定理 当时， ，D为边AC上的中点， ， ， ，如图1，过D作于H， ， ，， ∽， ，即， 解得， 综上， ， 设，则 ，x的取值范围是 在平面直角坐标系中，画出函数，的图象，如图2即为所求； 当时，，是过原点和点的线段； 当时，，过点和 的性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小． 当时，找到图象在图象上方对应的x取值范围，可得 需要根据动点P的位置分情况，利用相似三角形的性质求出关于x的函数解析式；根据三角形面积公式求出关于x的函数解析式． 根据中所求函数解析式，通过确定关键点坐标来画出函数图象，再观察图象得出的性质． 通过观察画出的与的函数图象，找出图象在图象上方时x的取值范围． 本题/属于一次函数综合题，主要考查了勾股定理用于计算直角三角形边长、相似三角形的判定与性质确定线段比例关系、三角形面积公式计算三角形面积、一次函数和反比例函数的图象与性质绘制图象、分析增减性等 解题关键是分情况讨论动点位置，利用相似关系建立函数． 23.【答案】千米；   千米  【解析】如图所示，过点C作于点F，过点D作于点E， ， ，， ， ，，， 四边形BCFE是矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 千米； 如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇， 甲的速度是乙的速度的倍，两人同时出发， 甲的路程是乙的路程的倍， ， 设，则， 由得，，， ， ， ， ， 解得负值舍去 当两人相遇时，乙一共跑了千米． 如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F，解直角三角形求出AE，DE，然后求出，证明出四边形BCFE是矩形，得到，证明出是等腰直角三角形，得到，进而求解即可； 如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，根据题意得到，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 24.【答案】解：由题意得， ，， ， ， ， ， ； 如图1， 作于Q，作轴于H，交AB于G， 由题意得， 当PQ越大时，越大， 在中，，， ， ， ， ， ， 当PG最大时，PQ最大， ，， 直线AB的解析式为：， 设，， ， 当时，PG最大， ， ， ， ， 当A、P、F共线时， ； 如图2， ， ， ， ， 抛物线y平移后的的解析式为：， 设直线交x轴于W，连接BW，作，交于点K，则K满足，理由如下： 由得， 或， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即K点满足条件， 直线BW的解析式为：， 直线QK的解析式为：， 由得， 或， ， ， 作，交于，直线交BW于T，设， ， ， ， ， ， 当时，， ， 直线QT的解析式为：， 由得， 或， 当时，， ， 综上所述：或  【解析】先求出OA的长，从而确定点A坐标，进而将点A和两点坐标代入，进一步得出结果； 作于Q，作轴于H没交AB于G，可推出当PQ越大时，越大，可表示出，从而当PG最大时，PQ最大，求出直线AB的解析式，进而设P和点G坐标，进而表示出PG表达式，进一步得出点P坐标；可得出，当A、P、F共线时，等号成立，进一步得出结果； 先求出点Q坐标，进而求出平移后的的解析式，设直线交x轴于W，连接BW，作，交于点K，则K满足条件，求得QV的解析式，求出其与的交点，进而得出结果；作，交于，直线交BW于T，设，可推出，进而根据此列出方程，求得T的坐标，进而求得QT的解析式，求其与的交点即可． 本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 25.【答案】解：作于G，设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CF， ， ， ， ， ， ， ； 证明：如图2， 以BC为边作等边三角形BCH，连接FH，BH交CE于M， ，， 线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CF， ，， ， ， ≌， ，， ， ， ，，， ， ∽， ， ， ， ； 解：如图3， 以DP为边作等边三角形DOP，以O为圆心，DP为半径作圆O， ， 点B在上运动，故当点B在NO的延长线上时图中，BN最大， 设BN交DP于G，此时，，，， ， ， 将绕点B逆时针旋转至， ，， 点在以为圆心，2为半径的圆上，连接并延长，交与K，则KH最大， ， ，   【解析】作于G，设，在直角三角形ACG中，可表示出CG和AC，在等腰直角三角形CDG中，根据列出方程，从而得出a的值，进而得出CG，AB，AC，BC的值，可推出，进一步得出结果； 以BC为边作等边三角形BCH，连接FH，BH交CE于M，可证得≌，从而得出，，进而得出，根据，可推出，，，根据，从而得出∽，从而得出，进一步得出结果； 以DP为边作等边三角形DOP，以O为圆心，DP为半径作圆O，可推出点B在上运动，故当点B在NO的延长线上时，BN最大，进而得出BD的长，将绕点B逆时针旋转至，从而得出点在以为圆心，2为半径的圆上，连接并延长，交与K，则KH最大，进一步得出结果． 本题考查了全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形，等边三角形的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和辅助圆． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $