独立性检验、独立性检验的基本思想、独立性检验的应用 练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

独立性检验、独立性检验的基本思想、独立性检验的应用 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理与性别的关系，随机调查了100名高一学生，得到列联表如下： 选择物理 不选择物理 总计 男 35 20 55 女 15 30 45 总计 50 50 100 由此得出的正确结论是( ) A.有的把握认为“选择物理与性别有关” B.有的把握认为“是否选择物理与性别无关” C.有的把握认为“是否选择物理与性别有关” D.有的把握认为“选择物理与性别无关” 2.某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是( ) 男生 女生 篮球迷 90 20 非篮球迷 60 30 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.789 附： A.有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B.有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C.在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 3.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，则下列结论正确的是( ) A.变量x与y不独立 B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C.变量x与y独立 D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 4.下列命题： ①回归方程为时，变量x与y具有负的线性相关关系； ②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； ③在回归分析中，对一组给定的样本数据，，而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强. ④对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大. 其中正确的命题序号是( ) A.①② B.①②③ C.①③④ D.②③④ 5.下列关于独立性检验的说法正确的是( ) A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B.独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C.利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联性，若，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D.对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 6.第19届亚运会结束后，某网络直播平台调研“大学生是否喜欢观看体育比赛直播与性别有关”，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下数据，： 喜欢观看 不喜欢观看 男生 女生 通过计算，有以上的把握认为大学生喜欢观看体育比赛直播与性别有关，则在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为( ) 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.01 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 A.55 B.57 C.58 D.60 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.长时间玩手机可能影响视力．为研究近视与玩手机时长的关系，某市随机抽取1000名高中生进行调查，其中有的人近视．而这1000名学生中有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率达．根据以上数据得到如下列联表： 近视 不近视 合计 每天玩手机超过1小时 a b 每天玩手机不超过1小时 c d 合计 1000 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 下列说法正确的是( ) A. B.依据小概率值的独立性检验，认为玩手机时长与近视之间有关 C.用频率估计概率，若从该市高中生中随机抽取5人进行视力调查，记近视人数为X，则X的数学期望 D.若从列联表中每天玩手机超过1小时的人中随机抽取3人，记近视人数为Y，则 8.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每名学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表.经计算，则可以推断出( ) 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 A.该学校男生对食堂服务满意的概率为 B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C.有的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D.有的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 9.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”进行调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的.若根据小概率值的独立性检验，可以推断追星和性别有关，则调查样本中男生人数可以是( ) （参考公式及数据：，临界值） A.10 B.11 C.12 D.18 10.某淘宝商家想通过软件广告推荐功能吸引潜在客户.为使广告能够精准投放达到利益最大化，随机抽取了200名在本店一季度消费过的客户数据，现统计如下： 按照年龄分为年轻人（<30岁）和非年轻人(30岁及以上)，若一季度内购买超过三次及以上就记为优质客户，其中非年轻人占比，通过数据可以得到结论( ) 附：. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A.为了增加优质客户的比例，应向30岁以下人群投放广告 B.有99.9%的把握认为是否为优质客户与年龄有关 C.已知一位顾客是年轻人，则他是优质客户的概率是 D.已知一位顾客仅购买一次，则他是非年轻人的概率是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了5000人，计算发现，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是___________%. 附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 12.为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据： 单位：名 性别 疗效 合计 无效 有效 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 设：服用此药的效果与患者的性别无关，（小数点后保留3位有效数字），从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于______________. 13.为了研究高三学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了高三学生200名，得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 女 80 20 100 男 30 70 100 合计 110 90 200 根据列联表数据，计算得_________；依据小概率值_________的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”. 附：临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14.为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断________原假设.（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平，.） 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.某大学一兴趣小组为探究“是否定期锻炼”与“睡眠质量”之间的关系，随机选取了50名同学做调查问卷，得到如下数据（其中睡眠质量得分满分为100分）： 高于85分 不高于85分 合计 定期锻炼 15 5 20 不定期锻炼 5 25 30 合计 20 30 50 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”有关联？ (2)从睡眠质量得分高于85分的20人中随机抽取2人，求这2人中“定期锻炼”的人数X的分布列． 附：，其中． 独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 1.答案：A参考答案 解析：因为，所以有的把握认为“是否选择物理与性别有关”. 故选：A. 2.答案：D 解析：依题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 篮球迷 90 20 110 非篮球迷 60 30 90 合计 150 50 200 所以，所以没有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关，进而没有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关，A，B选项错误； 又，最准确的是在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关，D选项正确.故选：D. 3.答案：C 解析：按照独立性检验的知识及比对的参数值，当，我们可以下结论变量与独立.故排除选项A，B； 依据的独立性检验，，所以不能得到：变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05；故C正确，D错误.故选：C 4.答案：B 解析：对①：由，故变量x与y具有负的线性相关关系，故①正确； 对②：在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故②正确； 对③：样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强，故③正确； 对④：对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越小，故④错误.故选：B. 5.答案：D 解析：对于A，独立性检验是通过计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否具有线性相关关系，故A错误； 对于B，独立性检验并不能确定两个变量相关，故B错误； 对于C，若，则有的把握认为吸烟与患肺病有关系，并非吸烟的人中患肺病的频率为，故C错误；易知D正确. 故选：D. 6.答案：C 解析：由题意得， 所以，又，，所以，解得，故在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为58.故选C. 7.答案：ABD 解析：对于A，，，， ，因为每天玩手机超过1小时的学生近视率为，所以，所以，，，，故A正确； 对于B，通过计算得出，所以依据小概率值的独立性检验，认为玩手机时长与近视之间有关，故B正确； 对于C，根据二项分布的定义，X服从二项分布，且，故C错误； 对于D，由题知，Y服从超几何分布，所以，故D正确．故选：ABD． 8.答案：AC 解析：以频率估计概率，该学校男生对食堂服务满意的概率为，故A正确； 该学校女生对食堂服务满意的概率为，故B错误； 因为，所以有的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C正确，D错误.故选AC. 9.答案：CD 解析：设样本中男生人数为m，得列联表 追 不追 合计 男 m 女 合计 m 所以，即，又，故C、D正确.故选：CD. 10.答案：BC 解析：由题意可知抽取的年轻人为人，非年轻人为人，抽取的优质客户有人，则非优质客户为80人，其中优质客户中年轻人有60人，非年轻人有60人，则列联表如下 优质客户 非优质客户 合计 年轻人 60 60 120 非年轻人 60 20 80 合计 120 80 200 对于A，优质客户中年轻人和非年轻人的人数相同，而年轻人的优质客户有，非年轻人的优质客户有，所以非年轻人购买力强，所以为了增加优质客户的比例，应向30岁以上人群投放广告，所以A错误， 对于B，因为，所以有99.9%的把握认为是否为优质客户与年龄有关， 对于C，因为年轻人共120人，其中优质客户60人，所以已知一位顾客是年轻人，则他是优质客户的概率是，所以C正确， 对于D，因为非优质客户80人中，非年轻人20人，所以已知一位顾客仅购买一次，则他是非年轻人的概率是，所以D错误，故选：BC 11.答案：90 解析：由，知市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是. 12.答案：0.05 解析：由公式计算得，根据小概率值的独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关，判断出错的概率不大于0.05.故答案为：0.05. 13.答案：50.505；0.001 解析：，根据小概率值独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”.故答案为：50.505；0.001. 14.答案：拒绝 解析：已知显著性水平，，即临界值为2.706，因为，所以可推断拒绝原假设.故答案为：拒绝. 15.答案：(1)认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”有关联 (2)答案见解析 解析：(1)零假设：“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”没有关联， 经计算得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)依题意，X的所有可能取值为0，1，2， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 学科网（北京）股份有限公司 $