二项式定理的推导、二项式系数的性质 练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

二项式定理的推导、二项式系数的性质 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.二项式的展开式中有理项的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.的展开式中的第五项为( ) A. B. C.35 D. 3.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，，则b的值可以是( ) A.2004 B.2005 C.2025 D.2026 4.的展开式中，不含x的项是( ) A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第7项或第13项 5.的展开式中的系数为( ) A. B. C.10 D.30 6.已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.关于的展开式，下列说法正确的是( ) A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为1 C.常数项为70 D.二项式系数最大的项为第4项 8.已知，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 9.已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有( ) A. B.只有第3项的二项式系数最大 C.的系数为 D.各项系数之和为 10.已知，则( ) A. B. C. D.展开式中二项式系数最大的项为第6项 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.的展开式中的常数项为______． 12.已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系数和为_________(用数字作答). 13.若的展开式中的常数项为，则________. 14.的展开式中的常数项为________. 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中的系数； (2)求展开式中有理项 1.答案：B参考答案 解析：二项式展开式的通项为，，1，2，3，4. 其中当k的值分别为0，2，4时，为有理项，共有3项.故选：B. 2.答案：D 解析：的展开式中的第五项为.故选：D. 3.答案：D 解析：的意思是a和b被5除得的余数相同， 已知， 则由二项式定理得， 因为能被5整除，所以a除以5余，所以b除以5余1.结合选项知2026除以5余1.故选D. 4.答案：C 解析：二项式的展开式通项，， 由，得，所以展开式中不含x项是第13项.故选：C 5.答案：A 解析：的展开式通项为，当第一个括号取1，第二个括号取含项时，展开式中的系数为；当第一个括号取，第二个括号取含项时，展开式中的系数为，故展开式中的系数为.故选：A. 6.答案：A 解析：依题意，，即，而n为正整数，解得，则展开式的通项公式为，，由，解得，所以该展开式中的常数项为.故选：A. 7.答案：BD 解析：所有项的二项式系数和为，故A错误； 令，得所有项的系数和为，故B正确； 的二项式通项为，令，得，常数项为，故C错误； 展开式有7项，二项式系数最大的项为第4项，故D正确.故选BD. 8.答案：AD 解析：对于A，因为，令可得，故A正确； 对于B，令可得，所以，故B不正确； 对于C，展开式的通项为，所以，故C不正确； 对于D，由通项可知，所以，令可得，即，故D正确.故选：AD. 9.答案：AC 解析：由题设，可得，A对； 展开式共有7项，故只有第4项的二项式系数最大，B错误；展开式通项为，，令，可得，则的系数为，C对； 令，则，D错.故选：AC 10.答案：ABD 解析：对A：令，则有，故A正确； 对B：令，则有，故B正确； 对C：令，则有， 又，则，故C错误； 对D：展开式中共有11项，故二项式系数最大的项为第6项，故D正确.故选：ABD. 11.答案：-252 解析：的通项为，，， 令，得，所以的展开式中的常数项为．故答案为：-252. 12.答案：729 解析：的展开式的通项公式为，，1，2，…，6，所以展开式中第2项的系数为，第2项的二项式系数为，所以，解得.令，二项式展开式中的所有项的系数之和为.故答案为：729. 13.答案：1 解析：法1：因为的展开式的通项，令，解得，所以常数项为，解得. 法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取，其余3个取，即常数项为，由，解得.故答案为：1. 14.答案：8 解析：展开式的通项公式为，，令，所以的展开式中的常数项为，故答案为：8. 15.答案：(1)448； (2)，，，. 解析：(1)因为各项的二项式系数之和为128，根据二项式系数之和的性质，可知，即，所以. 在中，则其展开式的通项公式为：， 令，解得. 将代入到通项公式的系数中，可得，即展开式中的系数448. (2)当为整数时，该项为有理项. 因为且，则 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 所以展开式中的有理项为，，，. 学科网（北京）股份有限公司 $