第15章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元测试·提升卷）数学沪科版2024八年级上册

第15章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，在中，是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．是直角三角形 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的三线合一性质是解本题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质解答． 【详解】解：∵中，，D是中点， ∴（故B正确，不符合题意）， 平分（故C正确，不符合题意）， ，则是直角三角形（故D正确，不符合题意）， 无法得到（故A不正确，符合题意）， 故选：A． 2．如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，进而得到，求出、的值，即可求解． 【详解】解：是的中垂线， ， 的周长为， ， ， ，， ， 的周长为， 故选：D． 3．已知点，关于轴对称，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，代数求值，解题的关键是掌握轴对称的性质． 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解，最后代数求值即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，且， 解得， ∴， 故选：A． 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式沿折叠，若，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B． C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、三角形的面积公式等知识点，由折叠得到相等的边和角是解题的关键． 如图：根据折叠的性质得到，由平行线的性质，易得，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片按图中那样折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故选C． 5．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 6．如图，是的角平分线，，若，，，则的长是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，三角形的高；根据角平分线的性质定理得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：过点D作于点F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 7．给出下列四个命题： ①如果是等边三角形，那么； ②如果是等腰三角形，那么； ③若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线垂直； ④若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行． 其中是真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题真假判断、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、平行公理等知识点，理解相关性质定理是解题的关键． 根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质、平行公理逐个判断即可解答． 【详解】解：①由等边三角形的三边都相等，即，故命题①正确； ②等腰三角形只需有两边相等，但不一定，也可能是或，故，命题②错误； ③两条直线都垂直于第三条直线时，这两条直线平行（而非垂直），故命题③错误； ④两条直线都平行于第三条直线时，这两条直线平行（平行公理推论），故命题④正确． 综上，真命题为①和④，共2个． 故选C． 8．如图，在中，直线垂直平分，是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质、求最短距离问题等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由垂直平分线的性质可得，进而得到周长的最小值是，最后代入数据求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵直线m是中边的垂直平分线，是直线上的一个动点． ∴， ∴， ∴最小为， ∵，， ∴周长的最小值是． 故选：B． 9．如图，和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，交于点，交于点，交于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，三角形内角和定理．根据题意证明，继而得到，后得到． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， 故选：D． 10．如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形轴对称找规律．熟练掌握等腰直角三角形的性质，轴对称性质，归纳点坐标性质规律，是解题的关键． 是等腰直角三角形，顶点为，根据等腰直角三角形的性质和轴对称性质，可得点A经过n次轴对称的点横坐标规律，纵坐标为2.5． 【详解】解：∵中，，，顶点为， 将关于y轴轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； 将关于直线轴对称变换得到， ∴； …， 按此规律继续变换下去， 再将关于直线轴对称变换得到， ∴（n偶数）或（n奇数）． ∴当时，点的坐标为． 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使．得到第3个…按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的内角度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，图形规律探究；先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的内角的度数． 【详解】解：在中，，， ， ，是的外角， ； 同理可得，，…， 第个三角形中以为顶点的内角度数是． 故答案为：． 12．如图，中，，，的面积14．点、、分别是三边，，上的动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短距离、等腰三角形的性质，熟练掌握利用轴对称的性质解决最短距离问题是解题的关键． 过点作于点，作点关于的对称点，关于的对称点， 连接，交于点，交于点，证得是等边三角形，则，进而证得周长的最小值为的长，根据的面积，求得，进而得到周长的最小值即可． 【详解】解：过点作于点，作点关于的对称点，关于的对称点， 连接，交于点，交于点，如图： 、， 、， ， ， ， 是等边三角形， ， 、， 周长的最小值为的长， ，即， 解得， ， 因此周长的最小值为， 故答案为：． 13．如图，与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当的值最小时，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像性质与最短路径问题（轴对称法求线段和的最小值），解题的关键是通过作对称点将转化为线段长度，再结合一次函数解析式求解点坐标． 先求出、坐标，进而得、坐标；作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为；求出直线的解析式，令得的坐标． 【详解】解：对于， 令，则， 解得， 故； 令，则， 故； 是中点，故； 是中点，故 作关于轴的对称点，设直线的解析式为， 代入、，得，， 解得， 故直线的解析式为． 令，则，解得，故． 故答案为：． 14．如图，已知线段，，线段，．点在线段上，以的速度由点向点运动;同时，点在线段上，以的速度由点向点运动，设它们的运动时间为． （1）若，则当 时，是等边三角形； （2）当 时，与全等． 【答案】 1或 【分析】本题考查等边三角形的判定，全等三角形的性质，一元一次方程的应用，求出符合题意的所有情况是解题的关键， （1）根据等边三角形的判定分别计算出和的长度，即可得到答案； （2）由题知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，则点的速度为，点的速度为，运动时间为，， ∴，，， 要使是等边三角形，需满足， ∴， 解得：， 故答案为：． （2）∵点的速度为，点的速度为，运动时间为，，， ∴，，， ， 当与全等时，分两种情况： ①时， ，， ∴，， 解得：，， ②时， ，， ∴，， 解：，， 综上所述：的值为1或． 三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)6 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）借助网格求面积即可． 【详解】（1）解如图，即为所求，由图可知：点的坐标为 （2）的面积． 16．如图，在中，点在边上，，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)若点是的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理等． （1）根据题意可得，继而得到，再利用等腰三角形性质即可得到，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）连接，利用等腰三角形性质得到，然后得到，然后得到，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：证明：如图，连接． ，点是的中点， ，， ． ， ， ， ， ． 17．我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）运用证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）运用证明可得，再根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：， 是的平分线， ． 又， ， ． （2）解：由（1）得． ， ． ， ． 又， ， ， ． 18．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足．在线段上取一点，连接交于点，且． (1)如图1，若的坐标为，则点的坐标为__________； (2)如图2，连接，求的度数，并说明理由； 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了坐标与平面，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先根据绝对值和平方式的非负性求出，，然后证明，则，即可求出点的坐标； （2）过分别作于点，作于点，证明  ，则，然后根据角平分线的判定证明平分，即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过分别作于点，作于点，如图： 由（1）知，， ，， ， ， ， 在与中， ，    ， ，， 平分， ． 19．问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）由得出，从而得出，进而得出，从而得出，从而是等边三角形； （2）可证得，，从而得出； （3）分三种情形：当时，；当时，；当时，． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（1）知：， 同理可得，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图， 当时，； 如图， 当时，， ∴； 如图， 当时，， ∴， 综上所述：或． 20．是等边三角形，点在的内部，是顶角为的等腰三角形，． (1)如图（1），连接，求证：； (2)如图（2），过点作，分别交，于点，，连接，延长和交和于点和，在上取一点，使得． ①求证：； ②若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）证明，，由三线合一即得． （2）①．得，，得．得，得，可得．②根据 ，．得的周长，即得． 【详解】（1）证明：延长交于点， 是等边三角形， ． 又，， ． ． 平分． （等腰三角形三线合一）； （2）证明：①是顶角为的等腰三角形，， ． 是等边三角形， ． ． ，， ． 在和中， ． ． ，，， ； ②由①知， ，． ， ． ， ． ． ． ，， ． ． 的周长 ． 由①得：，． ， ． ． 的周长． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定，三角形全等的判定性质是解题的关键． 21．依据情境，解决问题． 【情景一】 小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个，分别作边的垂直平分线相交于点，如图1所示，经过测量后，得到，根据上述条件，能不能得到的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证． 证明：是边的垂直平分线， ． 可得．同理可得， 则 解得． 【情景二】 小明继续对上述问题进行探究发现：若改变形状，边的垂直平分线，相交于内部一点，如图2，则与之间也存在一定的数量关系． 【解决问题】 (1)【情景一】中得到“”的理由是___________； (2)在图1的情况下，若的度数为，求（用含的代数式表示）； (3)写出【情景二】中与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)线段垂直平分线的性质 (2)； (3)；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角． （1）利用线段垂直平分线的性质可得到； （2）利用，，可得答案； （3）证得，，结合，，，可得答案； 【详解】（1）解：是边的垂直平分线， （线段垂直平分线的性质）． 故答案为：线段垂直平分线的性质； （2）解：由（1）知，， 同理可得，， ，， ； （3）解：； 理由：是的垂直平分线， ， ， ， 同理可得，， ，， ，， ， ， ． 22．问题探究：如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小明证明的判定理由是_____：（填写“”或“”） (2)的取值范围是_____； (3)方法运用：如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据全等的性质及三角形的三边关系计算； （3）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； 【详解】（1）解：是中线， ， 又，， ， 故答案为：； （2）， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）证明：延长到，使，连接．    ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．两个智能机器人在如图所示的等边三角形区域附近工作，，射线为生产流水线，点在的延长线上．机器人甲从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点表示，机器人乙从点出发，沿的方向以相同的速度匀速运动，其所在位置用点表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为（单位：），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m）．连接交于点．当机器人甲到达终点时，两个机器人停止运动． (1)机器人甲运动的路程是_____m，机器人乙运动的路程是_____m．（用含t的代数式表示） (2)若，求的值． (3)求证：． (4)在运动过程中，线段的长会发生变化吗？如果不会，求出的长；如果会，请说明理由． 【答案】(1)； (2)． (3)见解析 (4)不会， 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）由等边三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质可得，进而得到，即．再说明是直角三角形，结合可得，最后根据列出关于t 的方程求解即可； （3）先证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （4）先证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：机器人甲运动的路程是，机器人乙运动的路程是． 故答案为：；． （2）解：∵等边三角形， ∴， ， ， ∴ ． 在中，， ， 是直角三角形， ． ， ∴，解得：． （3）证明：， ． ∵点到的距离（垂线段的长）为（单位：m），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m）． ∴． 在和中， ， ， ，即． （4）解：的长不会发生变化． 由（3）可知， ． 在和中， ， ， ， ． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 轴对称图形与等腰三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，在中，是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．是直角三角形 2．如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，关于轴对称，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式沿折叠，若，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B． C．10 D．12 5．如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，是的角平分线，，若，，，则的长是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 7．给出下列四个命题： ①如果是等边三角形，那么； ②如果是等腰三角形，那么； ③若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线垂直； ④若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行． 其中是真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，在中，直线垂直平分，是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 9．如图，和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，交于点，交于点，交于点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，顶点为，顶点为，顶点为，将关于轴轴对称变换得到，再将关于直线（即过垂直于轴的直线）轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，再将关于直线轴对称变换得到，……，按此规律继续变换下去，则点的坐标为（） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使．得到第3个…按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的内角度数是 ． 12．如图，中，，，的面积14．点、、分别是三边，，上的动点，则周长的最小值为 ． 13．如图，与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为线段上一动点，当的值最小时，则点的坐标为 ． 14．如图，已知线段，，线段，．点在线段上，以的速度由点向点运动;同时，点在线段上，以的速度由点向点运动，设它们的运动时间为． （1）若，则当 时，是等边三角形； （2）当 时，与全等． 三、解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 16．如图，在中，点在边上，，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)若点是的中点，求证：． 17．我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 18．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足．在线段上取一点，连接交于点，且． (1)如图1，若的坐标为，则点的坐标为__________； (2)如图2，连接，求的度数，并说明理由； 19．问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． 20．是等边三角形，点在的内部，是顶角为的等腰三角形，． (1)如图（1），连接，求证：； (2)如图（2），过点作，分别交，于点，，连接，延长和交和于点和，在上取一点，使得． ①求证：； ②若，求的周长． 21．依据情境，解决问题． 【情景一】 小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个，分别作边的垂直平分线相交于点，如图1所示，经过测量后，得到，根据上述条件，能不能得到的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证． 证明：是边的垂直平分线， ． 可得．同理可得， 则 解得． 【情景二】 小明继续对上述问题进行探究发现：若改变形状，边的垂直平分线，相交于内部一点，如图2，则与之间也存在一定的数量关系． 【解决问题】 (1)【情景一】中得到“”的理由是___________； (2)在图1的情况下，若的度数为，求（用含的代数式表示）； (3)写出【情景二】中与之间的数量关系，并说明理由． 22．问题探究：如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小明证明的判定理由是_____：（填写“”或“”） (2)的取值范围是_____； (3)方法运用：如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； 23．两个智能机器人在如图所示的等边三角形区域附近工作，，射线为生产流水线，点在的延长线上．机器人甲从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点表示，机器人乙从点出发，沿的方向以相同的速度匀速运动，其所在位置用点表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为（单位：），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m）．连接交于点．当机器人甲到达终点时，两个机器人停止运动． (1)机器人甲运动的路程是_____m，机器人乙运动的路程是_____m．（用含t的代数式表示） (2)若，求的值． (3)求证：． (4)在运动过程中，线段的长会发生变化吗？如果不会，求出的长；如果会，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $