4.5.2 用二分法求方程的近似解（培优教学课件）数学人教A版2019必修第一册

4.5.2 用二分法求方程的近似解 第四章 指数函数与对数函数 人教A版2019必修第一册·高一 前情回顾 1. 函数的零点与方程的解： 对于一般函数，我们把使的实数 叫做函数 的零点. 2. 函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 且有， 那么，函数在区间内有零点，即存在, 使得，这个也就是方程的根. 章节导读 4.1 ＋4.2函数的概念 4.3＋4.4 函数的性质 4.5函数的应用 指数 函数的零点和方程的解 二分法求方程的近似解 指数函数 对数 对数函数 学 习 目 标 1 2 3 理解应用二分法求方程近似解的原理与步骤. 会用二分法求方程在给定区间的近似解. 能够结合已知表格判断出方程的近似解. 读教材 阅读课本P144-P146，4分钟后完成下列问题： 1. 所有方程的根都可以用二分法求近似解吗？ 我们一起来探究“用二分法求方程的近似解”吧！ 2. 二分法求方程的近似解的步骤是什么？ 新课引入 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了 一处故障，若沿着线路一小段一小段查找，每查一个点要爬一次电线杆， 长的线路大约有200根电线杆。事实上，维修线路的工人师傅只要 至多爬7次电线杆就能把故障排除了，你知道他是如何做到的吗？ 看看今天的探究能不能解决这个问题？ 学习过程 01 03 02 目录 1 二分法求方程的近似解 2 题型训练 新知探究1 情景1 在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的 价格，若猜中了，就把物品奖励给选手。某次竞猜的物品为价格在 1 000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人 说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”. 思考1 如果是你，你接下来会猜哪个价格？ 答：接下来应猜“600”，即区间 的中点值. 思考2 通过这种方法能猜到具体价格吗？ 答：可以，通过不断地缩小价格所在的区间，能猜到手机的价格. 新知探究1 探究1 我们已经知道，函数在区间（２，３）内 存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ 在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值，实际上就是如何 缩小零点所在的范围，或是如何得到一个更小的区间，使得零点还 在里面，从而得到零点的近似值。 思考： 如何缩小零点所在的区间？ 答：将区间对半分 新知探究1 探究1 求函数在区间(2，3)的零点，精确度为0.01？ ∵f(2)<0， f(3)>0，∴x0∈(2，3) ∵f(2.5)<0， f(3)>0，∴x0∈(2.5，3) ∵f(2.5)<0， f(2.75)>0，∴x0∈(2.5，2.75) ∵f(2.5)<0， f(2.625)>0，∴x0∈(2.5，2.625) ∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0，∴x0∈(2.5，2.5625) ∵f(2.53125)<0， f(2.5625)>0， 由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，∴x0∈(2.53125，2.5625) 新知1 用二分法求方程的近似解 1. 用二分法求方程的近似解： 对于在区间上连续不断且的函数 ，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注：只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时， 才能应用“二分法”求函数零点． 中点1 中点2 中点3 概念辨析 用二分法求方程的近似解的步骤： 1. 确定区间， 验证，给定精确度； 2. 求区间的中点； 3. 计算 ； 若，则就是函数的零点 ； 若，则令；(做为新的右端点). 若，则令；(做为新的左端点). 4. 判断是否达到精度，若，则得到零点近似值(或)， 否则重复步骤； 结论：由可知，区间中任意一个值都是零点的满足 精确度的近似值，为了方便，我们统一取区间端点值(或)． 典例分析 例1(多选)下列函数图象与 轴均有交点，其中能用二分法求函数 零点近似值的有( ) 解：选.根据二分法的定义，图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间 一分为二，逐步得到零点的近似值. 对于A，因为零点左右两侧的函数值不变号，不能用二分法求函数零点的近似值. 对于B，C，D，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件， A. B. C. D. BCD 典例分析 例2 用二分法求方程 的近似解时，所取的 第一个区间可以是( ) 解：选B.令，易得函数在 上是增函数，, ，所以函数在区间 上有唯一零点，所以用二分法求方程的近似解时，所取的第一个区间可以是 . B A. B. C. D. 典例分析 例3 一块电路板的 线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测___次. 解：第1次，可排除30个焊接点，从剩余的30个中继续二分法；第2次，可排除15个焊接点，从剩余的15个中继续二分法；第3次，可排除7个或8个焊接点，考虑至多的情况，所以排除7个焊接点，从剩余的8个中继续二分法；第4次，可排除4个焊接点，从剩余的4个中继续二分法；第5次，可排除2个焊接点，剩余2个；第6次，可排除1个焊接点，得到最终脱落的焊接点，所以至多需要检测6次. 2 典例分析 例4 已知函数的零点，对区间 利用一次“二分法”，可确定 所在的区间为______. 解：设，则 , ，取区间的中点为 ， ，所以可确定所在的区间为, . , 学习过程 01 03 02 目录 1 二分法求方程的近似解 2 题型训练 用二分法求函数零点的近似值 题型1 题型探究 例1 判断函数在区间 内有无零点，如果有， 求出一个近似零点（精确度为0.1）. 解：因为， ，且函数 的 图象是连续不断的曲线，由函数零点存在定理可知它在区间 内有零点，用二分法逐步计算，列表如下： 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 1.25 1.375 0.22 0.08 ， 所以函数 的一个近似零点为. 题型探究 例2 某同学利用二分法求函数 的零点时， 用计算器算得部分函数值如表所示： 解：选.结合题中表格可知，函数零点在内，,所以函数 的零点可取为， . 则函数 的零点的近似值可取为（精确度为0.1）( ) A.2.49 B.2.52 C.2.55 D.2.58 BCD 用二分法求函数零点的近似值 题型1 题型探究 例3 用二分法求方程的近似解，求得 的部分 函数值数据如表所示： 解：根据题表中数据可知 ， ， 由，达到了精确度为 ， 故方程的一个近似解为1.8.（答案不唯一） 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 3 则当精确度为0.1时，方程 的近似解可取为_________. 1.8 用二分法求函数零点的近似值 题型1 用二分法求方程的近似解 题型2 题型探究 例4 用二分法求方程在 内的近似解（精确度为0.1）.参考数据： 解：令 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36 零点所在区间 中点的值 中点 近似值 1.5 0.33 1.25 1.375 0.15 , 所以在内的近似解 可取为 （答案不唯一）. 用二分法求方程的近似解 题型2 题型探究 例5 在用二分法求方程的正实数根的近似解（精确度为 ） 时，若选取的区间是 ，为达到精确度要求至少需要计算的 次数是___． 解：设至少需要计算次，则满足，即 ，由于, ，故要达到精确度要求至少需要计算7次. 7 用二分法求方程的近似解 题型2 题型探究 例6 （多选）用二分法求方程 的近似解时，设函数 ，通过计算列出了它的对应值如表所示， 1.25 1.375 1.422 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是( ) A. B.方程 有实数解 C.若精确度为 ，则近似解可取为1.375 D.若精确度为，则近似解可取为 BC 用二分法求方程的近似解 题型2 题型探究 解：选.因为与都是 上的增函数，所以是上的增函数，所以在 上至多有一个零点，由题中表格的数据可知，，所以在 上有唯一零点，零点所在的区间为，所以 ，A错误； 方程有实数解，B正确； ， ，，即精确度为 ， 则近似解可取为，C正确； ， ， ，达不到精确度 为，则近似解不可取为 ，D错误. 课堂小结 1. 用二分法求方程的近似解： 对于在区间上连续不断且的函数 ，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注：只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时， 才能应用“二分法”求函数零点． 中点1 中点2 中点3 课堂小结 1. 确定区间， 验证，给定精确度； 2. 求区间的中点； 3. 计算 ； 若，则就是函数的零点 ； 若，则令；(做为新的右端点). 若，则令；(做为新的左端点). 4. 判断是否达到精度，若，则得到零点近似值(或)， 否则重复步骤； 结论：由可知，区间中任意一个值都是零点的满足 精确度的近似值，为了方便，我们统一取区间端点值(或)． 用二分法求方程的近似解的步骤： 感谢聆听! $