2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3节 二次函数与一元二次方程、不等式 【考点归纳】 【考点1】解一元二次不等式 1、解不含参的一元二次不等式 【例题】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）解下列二次不等式 (1) (2) (3) 【举一反三】（2025高一·山东德州·阶段练习）不等式的解集是 . 【专题作业】 1、（25-26高一下·河南开封·期中）不等式的解集为 2、（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 2、解含参的一元二次不等式 【例题】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 【举一反三】已知，求关于x的不等式的解集. 【专题作业】（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【考点2】解分式不等式 【例题】（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1) (2) (3) 【举一反三】（25-26高一·全国·课堂例题）不等式的解集是 ． 【专题作业】 1、（2025高一·贵州遵义·期末）不等式的解集为 ． 2、（25-26高一·安徽蚌埠·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【考点3】解绝对值不等式 【例题】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【举一反三】全集，集合，，则______，______. 【专题作业】（25-26高一上·山东德州·开学考试）解不等式： 【考点4】已知一元二次不等式的解为R恒成立（或空集），求参 【例题】 1、（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 2、（2025高一·山东淄博·阶段）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1、（2025高一·上海）若关于x的不等式的解集为R，求实数取值范围． 2、（2025高一·江西）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是 【考点5】 已知一元二次不等式的解为区域集恒成立，求参 【例题】 1、（2026高一·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 2、（2025高一·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 3、（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1、（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知关于的不等式． 若该不等式的解集为或，求实数的值； 2、【多选】（2025高一·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【专题作业】 1、（25-26高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 2、【多选】（25-26高一·全国）已知关于的不等式的解集为或，则（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【考点6】已知一元二次不等式在R上有解，求参 【例题】 （2025高一·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【举一反三】（2025高一·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【专题作业】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为 【考点7】已知一元二次不等式在区域集上有解，求参 【例题】 1、（25-26高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 2、（2025高一·湖北荆州·阶段）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】（2024高一·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为 【专题作业】（25-26高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节 二次函数与一元二次方程、不等式 【考点归纳】 【考点1】解一元二次不等式 1、解不含参的一元二次不等式 【例题】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）解下列二次不等式 (1) (2) (3) 【答案】（1）由，得，解得，所以原不等式的解集为； （2）由，得，解得或，所以原不等式的解集为：； （3）由，得，即，解得，所以原不等式的解集为. 【举一反三】（2025高一·山东德州·阶段练习）不等式的解集是 . 【答案】 【解析】由得到， 令，因为， 又图象开口向上，所以图象恒在轴上方， 则的解集为， 故答案为：. 【专题作业】 1、（25-26高一下·河南开封·期中）不等式的解集为 【答案】. 【解析】，即，解得，解集为. 2、（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】原不等式可化为，解得或， 所以不等式的解集为或. 2、解含参的一元二次不等式 【例题】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 【答案】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 【举一反三】已知，求关于x的不等式的解集. 【答案】， 当时，，则， 当时，令，则，或，此时，∴或， 当时， ①当时，即时， ②当，即时， ③当时，即时， 综上所述:当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为；当时，；当时，解集为. 【专题作业】（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【答案】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【考点2】解分式不等式 【例题】（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】（1）因为等价于，得到或，所以的解集为或. （2）由，得到，即，等价于，且，解得或， 所以的解集为或. （3）由，得到，又恒成立， 所以原不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为 【举一反三】（25-26高一·全国·课堂例题）不等式的解集是 ． 【答案】或 【解析】由等价于，解得或，故解集为或. 【专题作业】 1、（2025高一·贵州遵义·期末）不等式的解集为 ． 【答案】或 【解析】，即，解得：或，故不等式的解集为：或． 2、（25-26高一·安徽蚌埠·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式可化为，等价于，解得或， 所以原不等式的解集为. 【考点3】解绝对值不等式 【例题】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】，， 等价于，解得， 其中为的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 【举一反三】全集，集合，，则______，______. 【答案】 或 或 【详解】由 得 ,整理得 ,解得 或 , 即 或 因为或 或所以或; 或. 【专题作业】（25-26高一上·山东德州·开学考试）解不等式： 【答案】 【详解】，解得. 【考点4】已知一元二次不等式的解为R恒成立（或空集），求参 【例题】 1、（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：；综上所述：的取值范围为. 2、（2025高一·山东淄博·阶段）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为，所以. 综上可得：. 【举一反三】 1、（2025高一·上海）若关于x的不等式的解集为R，求实数取值范围． 【答案】不等式的解集为R，则，即，解得. 2、（2025高一·江西）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】由一元二次不等式，可得，从而，解得：. 【考点5】 已知一元二次不等式的解为区域集恒成立，求参 【例题】 1、（2026高一·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【解析】，是方程的两个根，即，解得，所以. 2、（2025高一·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【解析】不等式的解集为，则，即， 由得，即，解得或. 3、（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的解集为，所以且，故. 【举一反三】 1、（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知关于的不等式． 若该不等式的解集为或，求实数的值； 【答案】2是方程的一个根，所以，解得， 所以，解得或，所以； 2、【多选】（2025高一·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】ACD 【解析】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 【专题作业】 1、（25-26高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为关于的不等式的解集为， 可知，且和是关于的方程的两个实数根，则，解得. （2）因为关于的不等式恒成立， 当时，成立， 当时，满足，解得， 综上：实数的取值范围. 2、【多选】（25-26高一·全国）已知关于的不等式的解集为或，则（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 【考点6】已知一元二次不等式在R上有解，求参 【例题】 （2025高一·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 【举一反三】（2025高一·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”.所以. 【专题作业】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为 【答案】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 【考点7】已知一元二次不等式在区域集上有解，求参 【例题】 1、（25-26高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 【解析】（1）原不等式等价于， 当时，，即，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则且，无解； 综上，不存在实数，使不等式恒成立. （2）设，当时，恒成立， 当且仅当，即，解得即， 所以的取值范围是. （3）若不等式对有解，等价于时，有解. 令， 当时，即，此时显然在有解； 当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解； 当时，对称轴为，， 时，有解， 结合一元二次函数图象，易得：或，解得或（无解）， 又∵， ; 综上所述，的取值范围为. 2、（2025高一·湖北荆州·阶段）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】存在，使的否定为，使， 若，使为真，则，所以， 故若存在，使则，所以的取值集合是. 【举一反三】（2024高一·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为 【答案】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解，所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 【专题作业】（25-26高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是 【解析】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $