17.2用公式法分解因式 课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

用公式法分解因式 人教版八年级上册 1 复习回顾 例、把下列各式分解因式： （2） （3） （1）3a3b2－12ab3 （4）a(x－y)2－b(y－x)2 一 看系数　 二 看字母　 三 看指数 关键确定公因式 最大公约数 相同字母 相同字母最低次幂 2 导入新课 a米 b米 b米 a米 (a-b) 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？ a2- b2=(a+b)(a-b) 平方差公式： 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会逆向思维在数学中的作用. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解. 灵活应用各种方法分解因式，培养学生灵活运用公式，勇于探索科学规律的意识. 学 习 目 标 重点 难点 素养 课标要求 知识点 1 用平方差公式因式分解 计算下列各式： ; ; . 思考：观察这些式子有什么共同特征？ 结果都是二项式，其中每一项都是某数或式的平方，且两项符号相反（一正一负）. 探究新知 对下列各式进行因式分解： ; ; . 思考：观察这些式子有什么共同特征？ 左边：是两数的平方差的形式： □－△ 2 2 右边：是两数之和与两数之差的积： （□－△）（□+△） 结论 文字语言： 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这个公式就是平方差公式. 平方差公式： □2－△2＝(□＋△)(□－△) ☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○) 平方差公式的特点 两数的和与差的积 两个数的平方差；只有两项 形象地表示为： ①左边 ②右边 相同项 相反项 整式乘法 因式分解 下列多项式可以用平方差公式因式分解吗？ (1); (2); (3); (4) √ × √ × 注意：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 探究新知 做一做: 解：(1) 把下列各式因式分解： 例 (1); (2) (2) 用平方差公式因式分解 素养考点 把下列各式因式分解： 变式训练 解：(1) (1); (2) (2) . 素养考点 整体思想：整体用平方差公式 把下列各式因式分解： 例 (1) 解：(1) 多项式 分解要彻底 注意1：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. (2) 解：(2) 当多项式的各项含有公因式时，先提出公因式. 注意2：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止. 分解因式： 变式训练 (1); 解：(1)原式 ＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2) ＝(x2+y2)(x+y)(x-y); (2)原式 ＝ab(a2-1) ＝ab(a+1)(a-1). 解： . (2) 素养考点 化简求值 例 已知，求的值． ∴②. 解：∵ 联立①②组成二元一次方程组 解得 注意3：在与，有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值. 变式训练 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4. 解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4 ×(53.52－46.52) ＝ 4 ×(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800. 做一做：你能把右面4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b ab a² b² ab 18 思考：这个大正方形的面积可以怎么求？ a b a b a² ab ab b² 将上面的等式倒过来看，能得到： 完全平方公式 判断下列各式从左到右的变形，是不是因式分解？ 如果是，运用了哪种方法？ 知识点 2 完全平方公式与完全平方式 不是，是整式乘法. 是，运用提公因式法. 是，运用平方差公式. 是 完全平方公式 整式乘法 因式分解 (a±b)2 完全平方公式与因式分解关系： 形如2的式子称为完全平方式. 完全平方式： 完全平方式的特点： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同. 是第一项和第三项底数的积的±2倍. 观察这两个式子： ， 结论 完全平方式的特点： 1. 三项式（或可以看成三项的）； 2. 有两项为数或式的平方和； 3. 有一项为两数或式乘积的2倍，与符号无关. 简记口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”. 2 a b +b2 ± =(a ± b)² a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 完全平方式 素养考点 例 下列各式是不是完全平方式？ （1）； （2）; （3）； （4）; （5）. 不是，它只有两项； 不是，与的符号不统一; 不是，因为不是与的积的2倍; 是; 是. 变式训练 将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？ （2）; （3）； （4）. ； 知识点 3 用完全平方公式因式分解 （3）a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² （2）m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² （1）x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照 ，填空： m m - 3 3 x 2 m 3 以上等式即为利用完全平方公式得到的因式分解. 素养考点 用完全平方公式因式分解 把下列完全平方式因式分解： (1) ； (2) 例 解：(1) (2) 找到两个数或式是关键 分解因式： （1）； （2）. 变式训练 解： (1) 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 变式训练 解：(1)原式=(100－99)² (2)原式=(34＋16)2 =1. =2500. 知识点 4 公式法 公式法分解因式 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用 乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的 方法叫做公式法. 完全平方公式 平方差公式 公式法 分解因式 提公因式法 一 先提公因式（有公因式） 二 平方差公式（剩余两项） 三 完全平方公式（剩余三项） 四 结果必须到不能分解为止 有一些可以用整体的思想看成两项或三项 因式分解的方法与步骤 把下列各式因式分解： （1）；（2）. (1) ； 解： (2) . 素养考点 因式分解的综合运用 例 因式分解： . ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2； (2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a＋2)2(a－2)2. 变式训练 例 先分解因式，再计算求值: 已知，求的值. 解： ∵ . ∴原式=2. 已知，求的值． ＝112＝121. 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0 ∴. ∵. ∴. ∴. ∴ 变式训练 1.（河北）若，则 . 连接中考 解析：方程两边都乘以. 得. ∴. ∴ ，∴. 经检验， 是原方程的解，故. 2.（眉山）已知，则的值为 . 解析：由. 得. 即. ∴，可得， . ∴ . 我们一起来 吧! 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)。 A． B． C． D． D 2.分解因式2的结果是（　　）。 A．3 B． C．D． D 基础巩固题 3.若，则的值为（　　）。 A．-21 B．21 C．-10 D．10 A 4.若将分解成，则n的值是_____. 4 基础巩固题 5.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积． 解：根据题意，得。 6.82－4×1.62 ＝6.82－ (2×1.6)2 ＝6.82－3.22 ＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2) ＝10×3.6 ＝36 (cm2) 答：剩余部分的面积为36 cm2. 基础巩固题 6.下列四个多项式中，能因式分解的是( ). A． B． C． D． B 7.下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）. A. B. C. D. D 基础巩固题 8.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ). A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 B 9.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________. ±8 基础巩固题 10.利用因式分解计算 ________. 基础巩固题 11.因式分解: . 1.已知， ，，则的值为 . 16 解析：将， 相减，得。 ∴. ∴ . ∵ ，∴ ，即. ∴ . 能力提升题 2.因式分解：. 解：分组分解法（方法不唯一）： ) 能力提升题 1.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?” 解： 4x2+8x+11 =4(x2+2x)+11 =4(x2+2x+1-1)+11 =4(x+1)2-4+11 =4(x+1)2+7 ∵4(x+1)2≥0 即4x2+8x+11>0，所以小刚说得对. ∴4(x+1)2+7>0 拓广探索题 2.已知,. （1）求的值；（2）求的值； 解：(1) ∵, . ∴ ； (2) ∵, . ∴ ∴ ， ∴ ； 拓广探索题 公 式 法 分 解 因 式 公 式 一找 二套 三彻底 平方差公式因式分解的步骤 公 式 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 特 点 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢 谢 再 见 下课了! 53 谢谢观看 初中数学人教版八年级上册 Equinox Nicholas Gunn The Sacred Fire 262470.03 XXX - 酷我音乐 $