第5章 函数概念与性质（复习课件）数学苏教版必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数的概念、三要素、表示方法、单调性、奇偶性、最值及图像等核心内容，通过单元知识图谱将函数概念（定义域、对应法则、值域）、表示方法（解析法、列表法、图像法）与性质（单调性、奇偶性）有机串联，形成“概念-表示-性质-应用”的逻辑脉络，帮助学生构建完整的函数知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的分层复习模式，通过函数概念的图形辨析题培养数学抽象能力，用单调性定义证明题发展逻辑推理素养，结合图像分析奇偶性渗透直观想象。针对不同水平学生设计基础题（定义域求解）、综合题（分段函数解析式）和拓展题（函数性质综合应用），既帮助学生巩固知识，又为教师提供精准的复习教学资源，提升复习效率。

单元复习课件 第五章 函数的概念与性质 苏教版必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解函数的定义，掌握函数的三要素.能够求简单函数的定义域与值域.能够根据实际情况选择合适的函数表示方法：图象法、列表法、解析式法. 3.能够运用数形结合、分类讨论等数学思想，提升抽象概括、逻辑推理和数学应用能力. 2.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.能够运用定义法判断函数的单调性、奇偶性.能够作出基本初等函数的图象，并利用图象分析函数的单调性、奇偶性及最值. 单元学习目标 单元知识图谱 (1)函数的三要素是：________，                 ，             . (2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且            完全一致，则称这两个函数相等． 1.函数的概念 给定两个非空实数集A和B，如果按照某种确定的对应关系，对于集合A中的____________，在集合B中都有_____________和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作_____________. 考点一 函数的概念 每一个实数 唯一的实数 y＝f(x)，x∈A 2.函数的三要素 定义域 对应关系 值域 定义域 对应关系 考点串讲 考点一 函数的概念 3.函数概念的几点说明 对数集的要求：集合A，B为非空数集． 任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性． 对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样． 一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值． 函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可． 考点串讲 (1)解析法：就是用             表示两个变量之间的对应关系的方法． (2)图象法：就是用             表示两个变量之间的对应关系的方法． (3)列表法：就是              来表示两个变量之间的对应关系的方法． 考点二 函数的表示方法 1.函数的表示方法 2.分段函数　 如果函数，根据自变量在D中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数; 数学表达式 图象 列出表格 考点串讲 考点二 函数的表示方法 3.函数三种表示法的优缺点比较 (1)解析法、列表法、图象法均是函数的表示方法， 解析法是从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系； 图象法从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系； 列表法可根据表格，由自变量的取值查到和它对应的唯一的函数值. (2)三种表示方法各有优缺点，并不是所有的函数都能用解析法表示，解题时要根据需要选择适当的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的定义. 考点串讲 考点二 函数的表示方法 3.描点法作函数图像 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量相对应的函数值，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接 起来． 注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． 考点串讲 考点三 函数的单调性 1.函数的单调性 设函数的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值 时，都有在区间I是上___________. I称为的_______. 设函数的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值 时，都有在区间I是上__________. I称为的_______. < > 单调递增 单调递减 增区间 减区间 考点串讲 考点三 函数的单调性 3.函数单调性常见误区 求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误． 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结． 2.单调函数 当函数的定义域上单调递增时，称为__________. 当函数的定义域上单调递增时，称为__________. 增函数 减函数 考点串讲 考点三 函数的单调性 4.函数单调性的两个等价结论 考点串讲 考点四 函数的最值 函数的最值 设的定义域为A. 如果存在，使得对于任意的，都有___________,那么称为的最大值.记为___________. 如果存在，使得对于任意的，都有___________,那么称为的最小值.记为___________. 考点串讲 考点五 函数的奇偶性 1.偶函数 设的定义域为A. 如果，都有且_____________，那么函数就叫做偶函数. 前提条件：，都有，即定义域要关于原点对称. 图象特征：图像关于y轴对称 符号语言：∀x∈D，都有-x∈D，且f(－x)=f(x) 常见的偶函数有 等等 定义理解： 考点串讲 考点五 函数的奇偶性 2.奇函数 设的定义域为A. 如果，都有且_____________，那么函数就叫做奇函数. 前提条件：，都有，即定义域要关于原点对称. 图象特征：图像关于原点轴对称 符号语言：∀x∈D，都有-x∈D，且f(－x)=－f(x) 常见的偶函数有等等 定义理解： 考点串讲 考点五 函数的奇偶性 3.函数奇偶性的判断方法 （1）定义法:先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. ①是偶函数； ②是奇函数； ③是非奇非偶函数； ④ 既是奇函数，又是偶函数. （2）图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称. 考点串讲 题型一 函数的概念 1.图中①②③④四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数的有________． 解：由图形判断对应关系是否为函数的方法，可知当时，只有图形②③与直线仅有一个交点，故可以表示是的函数的有②③. ②③ 题型剖析 题型一 函数的概念 B 针对训练 题型一 函数的概念 A 针对训练 题型二 函数的定义域 针对训练 题型二 函数的定义域 D 针对训练 题型二 函数的定义域 针对训练 题型三 函数的值域 针对训练 题型三 函数的值域 针对训练 题型四 求函数的值 针对训练 题型四 求函数的值 针对训练 题型五 函数解析式 针对训练 题型五 函数解析式 11. 函数 为奇函数，当 时， ，则 的解析式为_ _______. 解：设 ，则 ， 所以 .因为 是奇函数，所以 ， 即 ，所以 . 因为 是奇函数，所以 ， 所以 针对训练 题型五 函数解析式 针对训练 题型六 函数的单调性 13.已知函数． （1）求的解析式； （2）令函数，判断在上的单调性，并用单调性的定义证明． 解：（1） ， 所以． （2），在上单调递减，证明如下： 设， ， 因为 所以， 所以，所以在上单调递减． 针对训练 题型六 函数的单调性 针对训练 题型六 函数的单调性 针对训练 题型七 函数的奇偶性 解： (1)f(x)的定义域是R，关于原点对称， 又f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，故f(x)是偶函数． 针对训练 题型七 函数的奇偶性 针对训练 17.已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则的值为________． 解：由题意知f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1，即f(x)＋g(x)＝－x3－x＋1，所以f(1)＋g(1)＝－1－1＋1＝－1. 18.设偶函数f(x)的定义域为R，若在区间[0，＋∞)上函数f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系为__________________． 解：由偶函数的单调性知，若函数在区间[0，＋∞)上单调递增，则函数在区间(－∞，0)上单调递减．故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则函数值越小．∵|－2|<|－3|<π，∴． f(π)>f(－3)>f(－2) －1 题型七 函数的奇偶性 针对训练 题型八 函数的图象 19.对于函数 . （1）判断其奇偶性，并指出图象的对称性； （2）画此函数的图象，并指出单调区间和最小值. 解：（1）函数的定义域为 ，定义域关于原点对称， . 则 是偶函数，图象关于 轴对称. （2） 画出图象如图所示，根据图象知，函数 的最小值是 .增区间是 ；减区间是 . 针对训练 题型八 函数的图象 20.已知函数 (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合使方程有四个不相等的实根. 解：（1）当－x2＋2x＋3≥0时，得－1≤x≤3，函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 当－x2＋2x＋3<0时，得x<－1或x>3，函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1,3). （2）由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0＜m＜4. 故集合M＝{m|0<m<4}. 针对训练 题型九 函数的综合应用 21.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为 ． 解：由题设，偶函数在上递减，在上单调递增，且， 所以， 则，故解集为． 故答案为： 针对训练 题型九 函数的综合应用 23.已知定义在上的函数满足，且当时，． （1）求的值； （2）证明为奇函数； （3）猜想函数的单调性并求的解集． 解：（1）令，则有，解得． （2）证明：令，则有， 所以，故函数为奇函数； （3）是R上的减函数．证明如下： 设，所以，由， 因为当时，，所以， 即，所以是R上的减函数； ，则，故， 故不等式的解为 针对训练 1.函数的概念 正确理解定义中的“任意”与“唯一”从而正确判断是否为函数。 2.函数的三要素：定义域、值域、解析式 函数定义域需要关注：偶次根式内要大于等于0，分式分母不为0，对数函数真数大于0等限制条件，抽象函数的定义域注意等价条件，及定义域仅指的取值范围； 函数值域长见方法：利用函数单调性，分式型分离常数，复合函数换元法等方法； 函数解析式常见求解方法：待定系数法，配凑法与换元法，方程组法等。 课堂总结 3.函数的奇偶性 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用图象法判断函数的奇偶性，利用奇偶性的运算判断函数奇偶性等 4.函数的单调性 利用定义法证明函数的单调性，利用函数图象判断函数单调性，利用单调性运算判断函数单调性. 复合函数的单调性：同增异减 课堂总结 感谢聆听! 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增． (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 4.求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)y＝eq \f(1,x＋1)；(3)y＝eq \r(x－1)＋eq \r(1－x)；(4)y＝eq \f(x＋1,x2－1)；(5)y＝(1－2x)0. 解：(1)函数y＝2x＋3的定义域为{x|x∈R}． (2)要使函数有意义，即分式有意义，则x＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}． (3)要使函数有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x≤1，))∴函数的定义域为{x|x＝1}． (4)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，eq \f(x＋1,x2－1)有意义，∴函数的定义域是{x|x≠±1}． (5)因为1－2x≠0，即x≠eq \f(1,2)，∴函数的定义域为． 解:(1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0． 所以函数y＝eq \r(2x)的定义域为[0，＋∞)，因此eq \r(2x)≥0， 所以函数y＝eq \r(2x)的值域为[0，＋∞)． (2)分离常数法：y＝eq \f(2x－1,x＋3)＝eq \f(2x＋3－7,x＋3)＝2＋eq \f(－7,x＋3)．而eq \f(－7,x＋3)≠0， 所以2＋eq \f(－7,x＋3)≠2，因此函数y＝eq \f(2x－1,x＋3)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 6.求下列函数的值域： (1)y＝eq \r(2x)；(2)y＝eq \f(2x－1,x＋3)；(3)f(x)＝x＋eq \r(3x－2)；(4)y＝eq \f(x2＋1,x)． 6.求下列函数的值域： (1)y＝eq \r(2x)；(2)y＝eq \f(2x－1,x＋3)；(3)f(x)＝x＋eq \r(3x－2)；(4)y＝eq \f(x2＋1,x)． (3)令eq \r(3x－2)＝t，则t≥0，x＝eq \f(t2＋2,3)＝eq \f(1,3)t2＋eq \f(2,3)， ∴y＝eq \f(1,3)t2＋eq \f(2,3)＋t∵t≥0，∴y≥eq \f(2,3)， ∴函数f(x)＝x＋eq \r(3x－2)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))． （4）函数y＝eq \f(x2＋1,x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}， 当x>0时，y＝x＋eq \f(1,x)≥2当且仅当x＝1时取等号． 当x<0时，y＝x＋eq \f(1,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))≤－2当且仅当x＝－1时取等号． 所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)(解方程(组)法)令x－1＝t，则1－x＝－t，x＝t＋1. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2f（t）－f（－t）＝2（t＋1）2－1，,2f（－t）－f（t）＝2（－t＋1）2－1，)) 解得f(t)＝2t2＋eq \f(4,3)t＋1.即f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋eq \f(4,3)x＋1. 12.求下列函数的解析式： (1)已知f(eq \r(x)－1)＝x，求f(x)的解析式； (2)已知2f(x－1)－f(1－x)＝2x2－1，求f(x)的解析式． 解：(1)(换元法)令t＝eq \r(x)－1(t≥－1)，则x＝(t＋1)2. ∴f(t)＝(t＋1)2(t≥－1)． ∴f(x)的解析式为f(x)＝(x＋1)2，x≥－1. 16.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|； (2)f(x)＝eq \f(\r(2－x2),|x＋2|－2)； (3)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x>0，,0，x＝0，,－x2－2，x<0.)) (2)函数定义域为[－eq \r(2),0)∪(0,eq \r(2)]，定义域关于原点对称． 于是|x＋2|－2＝x＋2－2＝x，从而f(x)＝eq \f(\r(2－x2),x)，显然它是奇函数． (3)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0. 故f(x)为奇函数． 16.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|； (2)f(x)＝eq \f(\r(2－x2),|x＋2|－2)； (3)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x>0，,0，x＝0，,－x2－2，x<0.)) 即y＝的图象如图所示， $