湖北省仙桃市第三中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年湖北省仙桃三中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下列国产新能源汽车图标中，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.关于x的一元二次方程解的情况分析正确的是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 4.如图，已知四边形ABCD是的内接四边形，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感.若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，则下列结论错误的是(    ) A. 1轮后有人患了流感 B. 2轮后有个人患了流感 C. 依题意可得方程 D. 经过三轮一共会有1000人感染 6.将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在等腰三角形ABC中，，第1次操作：取AC的中点，将绕点分别逆时针旋转和得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；…；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点C在点A的正南方向表示初始位置，则点在点的(    ) A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向 8.直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是(    ) A. B. C. D. 9.在直径为26cm的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示.已知水面的宽度，则水的最大深度为(    ) A. 5cm B. 7cm C. 8cm D. 10cm 10.如图，曲线l是由二次函数的图象绕坐标原点O顺时针旋转得到的，过点，的直线与曲线l交于M，N两点，则MN的长度为(    ) A. B. C. 10 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为______. 12.若，是方程的两个根，则的值为      . 13.如图，AB是的直径，，，则______ 14.已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是      . 15.如图，点E是▱ABCD内一动点，且，， 面积的最大值为          ； 连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接若，则线段MN长度的最小值为          . 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题6分 解方程： ； 17.本小题6分 如图，为等边三角形，D是BC边上的一点，逆时针旋转一定角度得到 请指出旋转中心和旋转角； 请找出AB，AD旋转后的对应线段； 若，求的度数. 18.本小题6分 已知：关于x的方程 求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若这个方程的一个根为3，求另一个根及m的值. 19.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，已知，， 画出关于原点O成中心对称的； 画出绕原点O顺时针旋转后得到的 20.本小题9分 如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点E离地面米，按如图建立以BC所在直线为x轴，OE所在直线为y轴的直角坐标系. 求抛物线的函数表达式； 该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由. 在的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，E为弧AD的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由. 21.本小题8分 如图，AB为的直径，AC为的弦的平分线交于点 若，求的度数； 若，求的面积. 22.本小题9分 掷实心球是中招体育考试的选考项目，某数学兴趣小组发现实心球行进路线是抛物线的一部分.如图是一名男生掷实心球的情境，实心球行进高度与其在行进过程中与抛出点的水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当实心球与抛出点的水平距离为4m时，其行进至最高点3m处. 求实心球行进高度与其在行进过程中与抛出点的水平距离之间的函数解析式. 根据某市中招体育考试评分标准男生，投掷过程中，实心球从抛出点到落地点的水平距离大于或等于，此项考试得分为满分10分.问：该男生在此项考试中是否得满分？请说明理由， 在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点可提高成绩.当掷出点的高度至少达到多少时，该男生可得满分结果保留两位小数？ 23.本小题11分 综合与实践： 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地. 发现问题：如图1，在和中，，，，连接BE，CF，延长BE交CF于点则BE与CF的数量关系：______，______； 类比探究：如图2，在和中，，，，连接BE，CF，延长BE，FC交于点请猜想BE与CF的数量关系及的度数，并说明理由； 拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点则BF，CF，AM之间的数量关系：______； 实践应用：正方形ABCD中，，若平面内存在点P满足，，则______. 24.本小题12分 综合与探究 如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点直线经过B、C两点，若点，，点P是抛物线上的一个动点不与点A、B重合 求抛物线的函数解析式； 过点P作直线轴于点D，交直线BC于点E，当时，求P点坐标； 若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使是以PF为斜边的等腰直角三角形.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、由原方程得到：，该方程中仅含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，是一元二次方程，符合题意； B、方程中含两个未知数x和y，不是一元方程，不符合题意； C、方程中含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程中只含有一个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选： 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 本题考查的是一元二次方程，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 2.【答案】C  【解析】解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选： 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3.【答案】A  【解析】解：由条件可知， 方程始终有两个不相等的实数根， 故选： 根据计算根的判别式即可确定解的情况． 本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握该知识点是关键． 4.【答案】C  【解析】解：由圆周角定理得，， 四边形ABCD是的内接四边形， ， 故选： 根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：设每轮传染中平均每人传染了x人． 则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人， 第2轮又增加个人患流感， 2轮后共有个人患流感，故B错误，符合题意； 依题意，得，即，故C正确，不符合题意； 解方程，得，舍去 每轮传染中平均每人传染了9人． 经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意； 故选： 设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为100，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 本题主要考查一元二次方程的应用，列出第二轮患病人数的代数式是关键． 6.【答案】B  【解析】解：由先向右平移1个单位长度后解析式为， 再向上平移2个单位长度后解析式为， 故选： 采用倒推的思想，利用平移的性质进行求函数解析式即可． 本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 7.【答案】D  【解析】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， 将绕点逆时针旋转， ， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ， 每转到12次后与方向重合，， 第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选： 根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，等腰三角形，掌握方法是解决问题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：A、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，故选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，对称轴位于y轴左侧，则，故选项符合题意； 故选： 根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9.【答案】C  【解析】解：连接OB，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ， ， 的直径为26cm， ， 在中，， ， 即水的最大深度为8cm， 故选： 连接OB，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可． 本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：，， 建立如图新的直角坐标系，OA为轴， 在新的坐标系中，，， 直线AB解析式为， 由， 解得或， ，， ， 故选： 建立新的坐标系为轴，在新的坐标得出A、B的坐标，根据待定系数法求得直线AB的解析式，然后联立方程，解方程组求出 M、N的坐标，根据勾股定理计算即可． 本题考查坐标与图形的性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 11.【答案】  【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为 故答案为： 根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12.【答案】7  【解析】解：由条件可知，， ， 故答案为： 根据根与系数的关系可以得到，，然后代入所求式子计算即可． 本题考查根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 13.【答案】75  【解析】解：， ， 故答案为： 由，根据弧与圆心角的关系，可得，继而求得答案． 此题考查了弧与圆心角的关系．注意在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 14.【答案】  【解析】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，函数y的取值范围是， 故答案为： 根据自变量的取值范围利用二次函数的性质确定函数值的取值范围即可． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是能够确定二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标并能确定其增减性，难度中等． 15.【答案】4   【解析】解：点E是▱ABCD内一动点，且， 点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆， 设AB的中点为O，当时，面积取得最大值，如图， 则， 面积的最大值 故答案为：4； 连接DE，如图， 、CE的中点为M、N， ， 取得最小值时，MN长度最小． 由知：点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，设AB的中点为O，连接OD，交半圆于点E，如图， 则此时DE最小， 过点O作，交DA的延长线于点F， ， ， ，， ， ， ， 线段MN长度的最小值 故答案为： 利用点的轨迹的知识确定点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，再利用圆的有关性质解答即可； 连接DE，利用三角形的中位线定理得到，则DE取得最小值时，MN长度最小；设AB的中点为O，连接OD，交半圆于点E，则此时DE最小． 本题主要考查了平行四边形的性质，点的轨迹，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，三角形的中位线定理，圆的有关性质，圆周角定理，利用点的轨迹知识确定点E的轨迹是解题的关键． 16.【答案】，  ，  【解析】解：， ， 或， 解得：，； ， ， ， ， ， 解得， 根据因式分解法解一元二次方程； 根据配方法解一元二次方程，即可求解． 本题考查了解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】由题意知： 点A为旋转中心，旋转方向为顺时针，旋转角为  AB、AD的对应线段分别为AC、AE  为等边三角形， ；又， ；由题意知≌， ， 即度数为  【解析】点A为旋转中心，旋转方向为顺时针，旋转角为 、AD的对应线段分别为AC、 利用定义即可解决问题． 利用定义即可解决问题． 根据旋转变换的性质得到≌，借助三角形内角和定理即可解决问题． 该题考查了旋转变换的定义、性质及其应用问题；解题的关键是充分利用旋转变换的特点，灵活解题． 18.【答案】见解答；   另一个根为，m的值为  【解析】证明：方程整理得， ， 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； 解：将代入原方程，得：， 解得：， 方程为， ， 或， 另一个根为 根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； 将代入原方程即可确定m的值，再利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；代入解关于m的一元二次方程． 19.【答案】见图形；   见图形  【解析】解：画出关于原点O成中心对称的如图，即为所求； 画出绕原点O顺时针旋转后得到的如图，即为所求． 根据中心对称性质即可画出关于原点O成中心对称的； 根据旋转的性质即可画出绕点O逆时针旋转所得到的 本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 20.【答案】抛物线的函数表达式为：；   这辆货运卡车能顺利通过隧道， 理由：当时，， 这辆货运卡车能顺利通过隧道；   这辆货运卡车能顺利通过隧道， 理由：设圆弧所在圆的圆心为点，则点在OE上，连接，作于点N，设，圆弧所在圆的半径为r，连接， 由题意得：，，， ， ， 解得：， ， ， ， 这辆货运卡车能顺利通过隧道  【解析】设抛物线的函数表达式为：， 由题意得：点A坐标为，点E的坐标为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； 这辆货运卡车能顺利通过隧道， 理由：当时，， 这辆货运卡车能顺利通过隧道； 这辆货运卡车能顺利通过隧道， 理由：设圆弧所在圆的圆心为点，则点在OE上，连接，作于点N，设，圆弧所在圆的半径为r，连接， 由题意得：，，， ， ， 解得：， ， ， ， 这辆货运卡车能顺利通过隧道． 设出抛物线的解析式，把点A，E坐标代入可得相关系数，即可求得抛物线的函数表达式； 取，代入中得到的函数解析式，求得相应的y，与卡车高比较即可判断能否通过隧道； 易得圆心在OE上，设圆的半径为r，利用勾股定理求得r的长，进而判断出和的长度，则可以得到ON的长度，与比较即可判断卡车能否安全通过． 本题结合圆的相关知识考查二次函数的应用．根据所给图形判断出圆的半径长和圆心的大致位置是解决本题的关键． 21.【答案】  9  【解析】为的直径， ， ，， ， ， 即的度数为； 平分， ， ， ， 为的直径， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即的面积为 由AB是直径得，利用圆周角定理求出，再利用直角三角形的性质即可解答； 由角平分线的定义得到根据圆周角定理求出，得到是等腰直角三角形，解直角三角形求出，由三角形面积公式即可求解． 本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 22.【答案】；   该男生在此项考试中不能得满分，理由见解析；   当掷出点的高度至少达到后，该男生可得满分  【解析】由题意，得抛物线的顶点为 可设函数解析式为 又抛物线过点， 实心球行进高度与其在行进过程中与抛出点的水平距离之间的函数解析式为 由题意，令， 得或不合题意，舍去 实心球从抛出点到落地点的水平距离为 ， 该男生在此项考试中不能得满分． 答：该男生在此项考试中不能得满分． 设掷出点的高度向上平移hm后，该男生可得满分． 新的抛物线的解析式为 把，代入，得， 解得 答：当掷出点的高度至少达到后，该男生可得满分． 由题意，得到抛物线的顶点为，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； 令，求出自变量的值，进行判断即可； 设掷出点的高度向上平移hm后，该男生可得满分，求出新的解析式，进而求出掷出点的高度即可． 本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键． 23.【答案】，30；   ，，理由见解析；   ；  或  【解析】解：和都是等腰三角形， ，， ， ≌， ， ， ，， ， 故答案为：，30； ，，理由如下： 和都是等腰三角形， ，， ， ，即， ≌， ， ， ，， ， ； 和都是等腰直角三角形， ，，， ，即， ≌， ， ，，， ， ， ， 故答案为：； 如图，连接BD，以BD为直径作圆， ， 由题意，2满足条件的点P、，则，， 正方形ABCD中，， ， ， 连接PA，作于F，在BP上截取， ，， ≌， ，， ， 由可得：， ， ， 同理可得：， 综上所述，的面积为或， 故答案为：或 根据等腰三角形的性质，利用SAS证明≌即可得出结论； 根据等腰三角形的性质，利用SAS证明≌即可得出结论； 根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明≌即可得出结论； 根据直角所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出BP，再利用第小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出． 本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质、圆周角定理，三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 24.【答案】；   点坐标为，；   存在点P，，或，或  【解析】抛物线交x轴于，两点， ， 解得， ； 中，当时，， ， 设直线BC的解析式为， ， ， ， ，设， 则， 当时，，， ， ， 解得不合，或舍去， 点P不存在； 当时，，， ， 解得，或舍去， ； 当时，，点P不存在； 当时，，，， 解得，或舍去， ， ， 故P点坐标为，； 过点F，P作轴于G，轴于H， 则， 是以PF为斜边的等腰直角三角形． ，， ， ， ≌， ，， 设， 当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得，， 坐标为，或； 当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得，舍去， 坐标为； 故P坐标为，或，或 把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； 求出，直线BC的解析式，设，则，分，，和，四种情况解答； 过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，，得，得≌，得，，设，分和两种情况解答． 本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $