一元二次方程、二次函数与二次不等式专练-2026届高三数学一轮复习

二次方程、二次函数与二次不等式 一．知识点过关填空 1.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2.解一元二次不等式的一般步骤 （1）二次项系数化为正数 （2）解对应二次方程的根 （3）根据二次方程的根画对应二次函数的图像 （4）根据图像写出不等式的解集 注：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 3. 一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立， （2）如果x的范围有一定的限制，则优先考虑分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. （3）已知参数范围求x范围 对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x的二次不等式转换为关于a的不等式，化繁为简，然后再求关于a的不等式恒成立问题，求出x的取值范围。 注：解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数。 5.与二次函数有关的零点（解）分布问题求参数范围 解决与二次函数有关的零点（解）分布问题常用的方法有三种： （1）韦达定理 ：设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根 ①若二次函数有两个正零点； ②若二次函数有两个负零点； ③若二次函数有一个负零点和一个正零点 ； ④若二次函数有两个大于k的零点 ； ⑤若二次函数有两个小于k的零点； ⑥若二次函数有一个小于k和一个大于k的零点； （2）分离参数：将方程转化为：g(a)=f(x)，然后根据函数与方程的思想，转化为求平行于x轴的直线y=g(a)与f(x)图像交点个数问题。 （3）画图像定条件：画出满足条件的函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x＝-与区间端点的关系，设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示。 根的分布 (m＜n＜p且m，n，p均为常数)　 图象 满足的条件 x1＜x2＜m m＜x1＜x2 x1＜m＜x2 ③f(m)<0. m＜x1＜x2＜n m＜x1＜n＜x2＜p 只有一根在区间(m，n)内 f(m)·f(n)<0或 二．基础题型过关练 1.设集合或，，则（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由或，可得， 又由不等式，解得或，所以或， 所以. 故选：B. 2．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵不等式的解集为R， 当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意； 当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式的解集为R， 则，解得， 综合①②可得，实数a的取值范围是． 故选：B． 3.设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得， 解得； 由，得，得 因为当时，一定可以推出， 而当时，不能推出。 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 4．若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为方程有两根，一个大于,另一个小于，所以 函数 有两零点，一个大于，另一个小于，由二次函数的图像可知， ，即: 解得: 故选:A. 5．若存在恒成立，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：因为存在成立， 所以存在成立， 因为当，， 所以，， 即m的取值范围是 故选：C 6．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 【答案】B 【解析】设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)． 由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是20≤x≤45． 故选：B． 7．关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵关于的方程的两根都大于2， 令，可得，即， 求得， 故选：D 8．已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（       ） A．13 B．18 C．21 D．26 【答案】C 【解析】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 根据题意可得，，解得， 因为解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得 ，即，解得，又 所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21. 故选：C 9．已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D． 【答案】C 【解析】解：令， 则不等式恒成立转化为在上恒成立． 有，即， 整理得：， 解得：或． 的取值范围为． 故选：C． 10．（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的解集为或 【答案】ABC 【解析】由不等式和解集的形式可知， ，且方程的实数根为或， 那么，所以， 所以，且，故ABC正确； 不等式， 即，解得:, 所以不等式的解集为，故D错误. 故选：ABC 11.已知条件p：，条件q：（其中），若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值可以为（       ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】BC 【详解】 解：由，得， 所以， 由，得， 所以， 因为P是q的必要而不充分条件， 所以 所以，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：BC. 12．不等式的解集为 . 【答案】/ 【解析】方法一：原不等式 即，故. 故答案为：. 方法二：原不等式可化为，即. 原不等式等价于或，解得. 故答案为：. 13．若时，恒成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【解析】时，恒成立， 即恒成立，即恒成立. 令（），则，， 当且仅当，即，等号成立， 故，即a的取值范围为. 14．解关于的不等式: . 【解析】原不等式可化为.. （1）当时，有. （2）当时， 式，∵， ①当时，，∴. ②当时，，，此时解集为. ③ 当时，.∴. （3）当时，式，∵，∴.∴或. 综上所述，原不等式的解集为: 当时，为或； 当时，为； 当时，为； 当时，为； 当时，为. 15．已知函数 (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】由对数的运算性质和换元法，结合二次函数的最值求法，可得所求值域； 由题意可得，恒成立，运用换元法和参数分离，以及二次函数的图象和性质，解不等式可得所求范围． 【详解】（1）， 令，则函数化为，， 因此当时，取得最小值， 当时，，取得最大值0， 即当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值0， 可得函数的值域为； （2），恒成立， 即，恒成立， 令，则，恒成立， 令，， 则， 解得， 所以实数的取值范围为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次方程、二次函数与二次不等式 一．知识点过关填空 1.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 2.解一元二次不等式的一般步骤 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 注：①一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，也是二次函数与轴的交点的 ； ②表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； 3.解含参一元二次不等式的步骤 （1）把不等式化成一般形式； （2）讨论二次项系数是否为零； （3）当二次项系数不为零时：利用十字相乘得到，求出两个根，若不能用十字相乘法求根，则要讨论的情况； （4）讨论开口方向以及比较两个根的大小关系，分为：；；，并分别在每一种情况下写出不等式的解集。 4. 一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立 ， 。 （2）如果x的范围有一定的限制，则优先考虑 ，将恒成立问题转化为求最值问题。 （3）已知参数范围求x范围 对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x的二次不等式转换为关于a的不等式，化繁为简，然后再求关于a的不等式恒成立问题，求出x的取值范围。 注：解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数。 5.与二次函数有关的零点（解）分布问题求参数范围 解决与二次函数有关的零点（解）分布问题常用的方法有三种： （1）韦达定理 ：设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根 ①若二次函数有两个正零点 ； ②若二次函数有两个负零点 ； ③若二次函数有一个负零点和一个正零点 ； ④若二次函数有两个大于k的零点 ； ⑤若二次函数有两个小于k的零点 ； ⑥若二次函数有一个小于k和一个大于k的零点 ； （2）分离参数：将方程转化为：g(a)=f(x)，然后根据函数与方程的思想，转化为求平行于x轴的直线y=g(a)与f(x)图像交点个数问题。 （3）画图像定条件：画出满足条件的函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x＝-与区间端点的关系，设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示。 根的分布 (m＜n＜p且m，n，p均为常数)　 图象 满足的条件 x1＜x2＜m m＜x1＜x2 x1＜m＜x2 m＜x1＜x2＜n m＜x1＜n＜x2＜p 在区间(m，n)有一根 二．基础题型过关练 1.设集合或，，则（     ） A． B． C．或 D．或 2．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3.设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．若存在恒成立，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 6．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 7．关于的方程的两根都大于2，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 8．已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（       ） A．13 B．18 C．21 D．26 9．已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D． 10．（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的解集为或 11.已知条件p：，条件q：（其中），若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值可以为（       ） A．0 B．1 C． D．2 12．不等式的解集为 . 13．若时，恒成立，则a的取值范围为 . 14．解关于的不等式: . 15．已知函数 (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $