专题02 三角函数的图像与性质题型全归纳（专项训练6大重点题型）高一数学人教A版2019必修第一册

专题02 三角函数的图像与性质题型全归纳 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、正切（型）函数定义域 1 题型二、单调性（常考点） 2 题型三、值域（最值）问题（重点） 2 题型四、周期性 3 题型五、奇偶性 4 题型六、对称性（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 6 题型一、正切（型）函数定义域 1．（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁·月考）的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域为 ． 题型二、单调性（常考点） 1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南信阳·月考）下列函数在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 5．（24-25高一下·辽宁·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三、值域（最值）问题（重点） 1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 2．函数的最小正周期和最大值分别为（   ） A．和3 B．和2 C．和3 D．和2 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·天津红桥·期末）函数 的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 6．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，则函数的最大值是 ． 题型四、周期性 1．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的最小正周期为（    ） A．4 B． C． D．1 2．（24-25高一下·四川雅安·期末）函数的最小正周期是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川资阳·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中周期不是π的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京石景山·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南·期中）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型五、奇偶性 1．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 2．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 3．函数是（   ） A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的奇函数 4．（2025高一上·全国·专题练习）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是偶函数，则的值可以是（    ）． A．0 B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 题型六、对称性（难点） 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南驻马店·月考）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·专题练习）如果函数的图象关于点中心对称（），那么函数的一条对称轴是（    ）． A． B． C． D． 8．若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建宁德·月考）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南昆明·期末）若的图象关于对称，则（   ） A． B．0 C．1 D． 5．（24-25高一下·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·北京·月考）设函数，则可断定函数（    ） A．最小正周期为π，奇函数，在区间上单调递增 B．最小正周期为π，偶函数，在区间上单调递减 C．最小正周期为，奇函数，在区间上单调递增 D．最小正周期为，偶函数，在区间上单调递减 7．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一下·安徽·月考）已知在函数的图象上，相邻两条对称轴之间的距离为．若函数的图象关于y轴对称，那么函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 9．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数的图象经过点、，的最小值为，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 11．（24-25高一下·广东清远·月考）（多选题）若函数的图象经过点，则（ ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 12．（多选题）下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．的单调增区间为 D．若时，函数有两个不同零点，则 13．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）已知函数，，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上有最大值 D．函数在区间上单调递增 14．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（    ） A．在区间上单调递增 B．是的一个周期 C．当时，的值域为 D．的图象关于轴对称 15．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 16．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数，则函数的定义域是 17．（24-25高一下·北京·期中）函数的值域是 ． 18．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 19．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知是函数的一个零点， (1)求实数的值： (2)求的单调递增区间； (3)若，求的值域. 20．已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数的图像与性质题型全归纳 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、正切（型）函数定义域 1 题型二、单调性（常考点） 3 题型三、值域（最值）问题（重点） 5 题型四、周期性 8 题型五、奇偶性 9 题型六、对称性（难点） 12 B综合攻坚・能力跃升 15 题型一、正切（型）函数定义域 1．（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数有意义可得，再结合正切函数及性质求解即得. 【详解】函数有意义，则，于是， 即，因此， 所以原函数的定义域为. 故选：A 3．（24-25高一下·辽宁·月考）的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数定义以及正切函数的定义列出不等式组，根据正切函数的图象与性质解不等式即可得出答案. 【详解】要使函数有意义， 则应有. 由正切函数的图象与性质解可得，， 所以，函数的定义域为. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由题可得，再根据正切函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以， 解得， 故所求函数的定义域为． 故答案为： 题型二、单调性（常考点） 1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）下列区间是函数单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体代入法可得函数单调区间. 【详解】由已知， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 令，则， 由， 故选：C. 2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合余弦函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是三角形的一个内角，可得， 又因为，可得，即不等式的解集为. 故选：C. 3．（24-25高一下·河南信阳·月考）下列函数在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合，判断各选项在给定区间上的单调性即可. 【详解】对A：函数在上单调递增，在上单调递减，故A不满足题意； 对B：函数在上单调递减，故B不满足题意； 对C：函数在上单调递增，故C满足题意； 对D：函数在区间无意义，所以D不满足题意. 故选：C 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 【答案】C 【详解】由可知，，所以的单调递减区间为． 5．（24-25高一下·辽宁·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由辅助角公式结合正弦函数单调性可判断选项正误； 【详解】，因在上单调递减，则， 则. 故选：D 6．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用诱导公式将化成同名三角函数，再根据单调性比较大小，再结合特殊值判断得出. 【详解】根据诱导公式，可得．因为当时，函数单调递增， 所以，得. 又当时，单调递增，所以，得，所以 故选：D. 题型三、值域（最值）问题（重点） 1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性求解. 【详解】因为单调递增，所以. 故选：B. 2．函数的最小正周期和最大值分别为（   ） A．和3 B．和2 C．和3 D．和2 【答案】A 【分析】借助降幂公式可将原函数化为余弦型函数，再利用余弦型函数性质计算即可得解. 【详解】， 则最小正周期，最大值为3. 故选：A. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据指数函数的单调性即可求出的值域，即得答案. 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 所以， 又单调递减，且， 所以，即的值域是. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数及二次函数求出值域. 【详解】函数，而， 则当时，有；当时，有， 所以的值域为. 故选：C 5．（24-25高一下·天津红桥·期末）函数 的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角正、余弦公式以及辅助角公式将函数变形为，从而求解函数的最大值即可. 【详解】 ， 因为，所以， 当时，取得最大值，即. 故选：A. 6．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为. 故选:C. 7．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，则函数的最大值是 ． 【答案】 【分析】借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，结合所给定义域计算即可得. 【详解】， 由，则， 则当时，有最大值. 故答案为：. 题型四、周期性 1．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的最小正周期为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据余弦函数的周期进行求解即可. 【详解】的最小正周期． 故选：A. 2．（24-25高一下·四川雅安·期末）函数的最小正周期是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由正切函数的周期公式求解. 【详解】因为，所以函数的最小正周期为. 故选：A. 3．（24-25高一下·四川资阳·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和辅助角公式即可化简并求解函数的周期. 【详解】由， 所以函数的周期为， 故选：B． 4．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中周期不是π的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简，再逐项求出周期即可. 【详解】对于A，函数的周期为，A不是； 对于B，函数的周期为，B是； 对于C，函数的周期为，C不是； 对于D，函数的周期为，D不是. 故选：B 5．（24-25高一下·北京石景山·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函数的性质判断即可； 【详解】对于A：为偶函数，故A错误； 对于B：的最小正周期为，故B错误； 对于C：，最小正周期，且为奇函数，故C正确； 对于D：，则，故为偶函数，故D错误； 故选：C 6．（24-25高一下·河南·期中）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数，余弦函数的图象和性质，结合函数图象的变化规律即可判断． 【详解】A．，是以为最小正周期，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故错误； B．是以为最小正周期，且在区间上单调递减，故错误； C．是以为最小正周期，且在区间上单调递增，故正确； D．是以为最小正周期，在处没有意义，故错误； 故选：C． 题型五、奇偶性 1．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、周期性确定正确答案. 【详解】由解得, 的定义域是，的定义域关于原点对称. ，所以是偶函数， 由此排除BD选项. ，所以的一个周期为，A选项正确. ， 所以不是的周期，所以C选项错误. 故选：A 2．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简函数，再根据函数奇偶性定义判断. 【详解】令，， 又， 所以函数是偶函数. 故选：A. 3．函数是（   ） A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的奇函数 【答案】D 【分析】应用两角和差余弦公式计算化简，再应用周期公式及奇偶性判断即可. 【详解】函数 所以周期是，且函数是奇函数； 故选：D. 4．（2025高一上·全国·专题练习）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，以及的函数值的正负进行判断. 【详解】设，由知是偶函数，其图象关于y轴对称，可排除B，D； 又当时，，所以，排除C． 故选：A． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知函数是偶函数，则的值可以是（    ）． A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由（）为偶函数即可列方程求解． 【详解】因为为偶函数，所以在处取到最值， 所以（）， 故选：C． 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合正弦余弦函数奇偶性进行求解即可. 【详解】的定义域为． 令， 则，所以为奇函数， 又，所以， 则，所以． 故选：D 题型六、对称性（难点） 1．（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的对称中心求出函数的对称中心，再逐一检验各选项即得. 【详解】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 故选：B. 2．（23-24高一下·河南驻马店·月考）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整体法求出函数的对称中心为，一一检验得到答案. 【详解】令，解得， 故函数的对称中心为， 故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确， 经检验，C不满足要求. 故选：D 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式将函数解析式进行化简；再利用正弦型函数的性质可求解. 【详解】因为函数的最小正周期， 所以函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为. 故选：B. 4．若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦函数的对称性直接求解. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，得， 因为，所以. 故选：C. 5．已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式得到，根据余弦函数的周期得到，再求出其对称中心的通式，最后对每个选项验证即可. 【详解】由题意得，由题可知，所以. 令，得， 所以的图象的对称中心为，所以点符合. 故选：D. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦型函数为奇函数，则初相是，从而可求最小值. 【详解】由题得函数为奇函数，则，，故， 故当时，取得最小值． 故选：D. 7．（2025高一·全国·专题练习）如果函数的图象关于点中心对称（），那么函数的一条对称轴是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再求对称轴判断即可. 【详解】因为函数关于点中心对称， 所以，即， 又，所以，，即， 令，解得， 所以对称轴为（），则函数的一条对称轴是. 故选：B． 8．若函数的图像关于直线对称，则函数图像的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式（正弦）化简函数，由函数对称轴求出的值.由辅助角公式（余弦）化简函数，由的值求出函数的对称轴. 【详解】， 由题意可知是的解，即， ∴，当时，， ， ∴令，即，， ∴函数的对称轴为， 当时，. 故选：C. 1．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义得，结合正切函数的性质可得结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为. 故选：B. 2．（24-25高一下·福建宁德·月考）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的周期性和单调性可确定A正确，利用余弦函数周期性排除B，利用正弦函数的单调性排除C，最后利用余弦函数的单调性可排除D，. 【详解】由于在区间上单调递减，此时在区间上单调递减，且最小正周期为，故A正确； 因为，最小正周期为 ，故B错误； 由于，当时，，此时不是单调函数，故C错误； 对于D，，当时，，此时是单调递增函数，故D错误. 故选：A. 3．已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图形可知，函数为偶函数，，且函数在处无定义，逐项判断即可. 【详解】由图可知，函数为偶函数，，且函数在处无定义， 对于A选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数，不合乎题意； 对于B选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，且，合乎题意； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数，不合乎题意； 对于D选项，函数的定义域为，不合乎题意. 故选：B. 4．（24-25高一下·云南昆明·期末）若的图象关于对称，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据辅助角公式化简得，根据对称轴求出的值，将代入解出的值. 【详解】根据辅助角公式得：， 因为的图象关于对称， 所以，解得即， 则. 故选：B 5．（24-25高一下·北京海淀·期中）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式结合三角函数的单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由正弦函数性质得在上单调递减， 则，故A错误， 对于B，由余弦函数性质得， ，则，故B错误， 对于C，由诱导公式得， 且在上单调递减， 得到，即，故C正确； 对于D，由正切函数性质结合诱导公式得， ，得到，故D错误. 故选：C 6．（23-24高一下·北京·月考）设函数，则可断定函数（    ） A．最小正周期为π，奇函数，在区间上单调递增 B．最小正周期为π，偶函数，在区间上单调递减 C．最小正周期为，奇函数，在区间上单调递增 D．最小正周期为，偶函数，在区间上单调递减 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义、复合函数单调性，结合正切函数性质判断得解. 【详解】函数的定义域为， 显然，即函数是偶函数，排除AC； 又，即函数的周期是， 而，当时，无意义，则不是的周期，因此的最小周期是，排除D； 函数在上单调递增，且，则在上单调递增， 所以函数在上单调递减，B正确. 故选：B 7．（24-25高一下·北京海淀·期中）已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】若，则可得出，即可求出为偶函数；若为偶函数，则利用偶函数的性质可得，得到答案. 【详解】若，则， 则（舍）或， 则，则， 若为偶数，则为偶函数， 若为奇数，则为偶函数； 综上，充分性成立； 若为偶函数，则，必要性成立； 故“”是“为偶函数”的充分必要条件. 故选：C 8．（24-25高一下·安徽·月考）已知在函数的图象上，相邻两条对称轴之间的距离为．若函数的图象关于y轴对称，那么函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】根据题意可得函数的周期，即可求出，再根据函数的图象关于y轴对称可求出，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可. 【详解】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为， 所以． 因为函数的图象关于y轴对称， 所以，即, 又，所以, 所以， 则，故不是对称中心，直线不是对称轴， ，所以其图象关于点对称． 故选：B． 9．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数的图象经过点、，的最小值为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的最小正周期，可求出的值，分析可知的图象关于点对称，了正弦型函数的对称性结合的取值范围可得出的值. 【详解】设函数的最小正周期为，则，则，， 由，得的图象关于点对称， 则，得，因为，所以． 故选：D. 10．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（    ） ①；②； ③的图象与y轴的交点坐标为；④函数的图象关于直线对称 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据图象求周期，然后可判断①；根据正切函数定义域可判断②；代入验证可判断③；判断关于点对称，然后由图象的对称变换可判断④. 【详解】对①，由图可知，的最小正周期，则，故①正确； 对②，由图象可知时，函数无意义，故 由，得，即，故②错误； 对③，由，故③正确； 对④，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，故④正确． 故选：C. 11．（24-25高一下·广东清远·月考）（多选题）若函数的图象经过点，则（ ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 【答案】ACD 【分析】求出解析式，再求出函数的对称中心即判断A；求出最小正周期判断B；根据变量范围得出角的范围进而求出函数值范围判断C；求出正切型函数的单调递增区间以及零点，结合正切（型）函数图象性质求得单调增区间判断D. 【详解】依题意，，又，则，， 对于A，令，则，的对称中心为， 当时，，因此点为函数图象的一个对称中心，A正确； 对于B，的最小正周期为，B错误； 对于C，当，，，C正确； 对于D，由，得， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间， 令，得，则，即， 因此函数的零点为，    函数的单调递增区间为，D正确. 故选：ACD 12．（多选题）下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．的单调增区间为 D．若时，函数有两个不同零点，则 【答案】ACD 【分析】根据三角恒等变换化简得，利用最小正周期公式求解判断A，根据正弦函数对称性求对称轴判断B，根据正弦函数单调性求解单调区间判断C，将问题转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，画出函数图象数形结合即可求解判断D. 【详解】由于 ， 故最小正周期，故A正确； 令，解得，令得， 所以直线不是函数图像的对称轴，故B错误； 令，所以， 所以函数的单调递增区间为，故C正确； 若函数有两个不同的零点， 即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点， 由，得， 设，则， 作出函数图象如图所示， 由图可知：，故D正确. 故选：ACD. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）已知函数，，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上有最大值 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】逆用二倍角公式进行降幂变形、再利用两角差的余弦、正弦公式化简函数解析式，然后结合正弦函数的性质判断各选项. 【详解】 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，当时，， 所以直线是的图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，当时，， 令，解得 所以在上单调递减且，在上单调递增， 所以当时，取得最大值，为，故C正确； 对于D，由C可知在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：ABC. 14．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（    ） A．在区间上单调递增 B．是的一个周期 C．当时，的值域为 D．的图象关于轴对称 【答案】CD 【分析】易知 A．化简得，换元，则，进而得到单调性 B．化简，得到，进而判断答案 C．化简得，设，则，进而得到的值域 D．求出，得到，进而判断出D选项 【详解】因为是上的偶函数，所以. A错误，当时，. 设，则，则在上单调递减， 又在上单调递增，所以在上单调递减. B错误，，所以不是的一个周期. C正确，当时，. 设，则，则. 因为，所以. D正确。的定义域为，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称. 故选：CD 15．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可. 【详解】由，得，    则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 16．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数，则函数的定义域是 【答案】 【分析】本题可根据二次根式有意义的条件以及正切函数的定义域来确定函数的定义域.二次根式中被开方数须大于等于，同时正切函数分母不能为. 【详解】要使函数有意义，则根号下的，且有意义，即的分母. 因为，所以（）. 那么等价于. 由可得. 由可得.   因为，即. 综合以上条件，取交集可得或. 故答案为：. 17．（24-25高一下·北京·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用，将原函数化简为，再令，转化为二次函数，即可求解值域． 【详解】因为，所以， 令，可知，则，， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 当，， 当，，即函数的值域为． 故答案为：. 18．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 19．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知是函数的一个零点， (1)求实数的值： (2)求的单调递增区间； (3)若，求的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由是函数的一个零点可得，化简可得的值； （2）利用二倍角公式和辅助角公式化简的解析式，再结合整体代入法求单调递增区间； （3）由定义区间和函数解析式，结合正弦函数的性质，可求函数在区间上的值域. 【详解】（1）由题意，，化简可得，. （2）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由，可得，，， 所以，即的值域为. 20．已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式，，结合辅助角公式对函数进行化简，再根据正弦函数的图象和性质得出的对称轴方程； （2）求出在内的值域，结合题给方程求出的取值范围. 【详解】（1）， 因为的对称轴为， 令，解得， 所以图象的对称轴方程为. （2）当时，，当，即时，取最大值1， 当，即时，取最小值，则， 因为，使得成立，则有解， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $