专题01 三角函数公式考查与三角恒等变换全归纳（专项训练14大重点题型）高一数学人教A版2019必修第一册

专题01 三角函数公式考查与三角恒等变换全归纳 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、扇形弧长和面积公式 1 题型二、三角函数的定义及其推广 4 题型三、弦切齐次化（常考点） 6 题型四、sinα·cosα、sinα±cosα关系 7 题型五、诱导公式化简 9 题型六、诱导公式应用 11 题型七、两角和差公式的正用、逆用 14 题型八、二倍角公式（重点） 17 题型九、降幂公式（重点） 20 题型十、辅助角公式（常考点） 22 题型十一、给值求值问题（重点） 24 题型十二、给值求角问题（难点） 28 题型十三、半角、万能公式（难点） 30 题型十四、三角恒等变换综合应用（难点） 33 B综合攻坚・能力跃升 37 题型一、扇形弧长和面积公式 1．（24-25高一下·河南周口·期中）一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15. (1)求该扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由已知求得弧长，再由扇形圆心角的弧度数为计算即可； （2）根据扇形的面积计算即可. 【详解】（1）由题意可知扇形的半径，周长， 弧长， 圆心角. （2）由（1）可得，扇形面积. 2．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 【答案】(1)米 (2)元 【分析】（1）利用弧长计算公式计算即可； （2）设，米，利用扇形环面的展台周长，表示出与的关系，代入面积公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得. 【详解】（1）弧的长度，弧的长度， 所以扇形环面展台周长为：米； （2）设，米， 则弧的长度，弧的长度， 因为该扇形环面的周长为米，所以，即， 整理得， 则该扇形环面展台的面积：平方米， 所以布置该扇形环面展台的总费用为：元. 3．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8． (1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； (2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设该扇形的半径为，弧长为，可得，利用基本不等式可求扇形的面积的最大值；进而可求圆心角的大小； （2）由（1）知，．求得三角形的面积，进而可求弓形的面积. 【详解】（1）设该扇形的半径为，弧长为， 则， 当且仅当时，等号成立， 此时该扇形的面积，， 其圆心角， 故所求圆心角． （2）由（1）知，． 又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积， 所以所求弓形的面积， 故所求弓形的面积是． 4．（24-25高一下·广西钦州·月考）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1)； (2)； (3),. 【分析】（1）利用扇形的面积公式直接计算即可； （2）利用扇形的弧长公式及面积公式建立方程组计算即可； （3）利用扇形的弧长公式、面积公式结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的面积为； （2）设扇形圆心角的弧度为， 则该扇形的弧长为，所以有， 解方程得（舍去）或， 所以扇形圆心角的弧度数为； （3）设扇形圆心角的弧度为，则，则 扇形的周长为， 当且仅当时，周长可取得最小值，此时， 故此时扇形的圆心角. 题型二、三角函数的定义及其推广 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角的终边上一点，则 ， ， ． 【答案】 / / / 【分析】根据三角函数的定义可求3个三角函数的值. 【详解】，， ． 故答案为：. 2．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】在直角坐标系内作示意图，由正弦函数定义得到线段间关系，从而求得坐标. 【详解】如图，过点作轴，垂足为，在中，，， ∴， ∴， ∴点坐标为． 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知角α的终边在直线上，则＝ 【答案】 【分析】在直线上任取点，根据三角函数的定义即可求解. 【详解】在直线上任取点，所以， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知点是角终边上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】由任意角的三角函数定义即可求解． 【详解】，又，解得：，所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 【答案】 【分析】利用三角函数的定义可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，且， 由三角函数的定义可得，则， 整理可得，解得或（舍）. 故答案为：. 题型三、弦切齐次化（常考点） 1．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，求 . 【答案】 【分析】切弦转化，将分子分母同时除以，从而将原式化为仅含有的表达式，再代入已知值计算. 【详解】． 故答案为：. 2．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知满足，则 ． 【答案】/0.25 【分析】利用诱导公式可求得，利用二倍角的正余弦公式可化为齐次式，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·安徽·月考）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】先利用二倍角公式将变形，再根据同角三角函数的基本关系，将式子化为只含的形式，最后代入的值进行计算. 【详解】因为，所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】先由条件得到，结合二倍角公式，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为，所以， . 故答案为： 题型四、sinα·cosα、sinα±cosα关系 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知条件等式两边平方，结合同角间的三角函数关系和二倍角公式，即可求解. 【详解】两边平方得， ， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知是第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用同角三角函数基本关系及二倍角公式求得，再根据角的范围得到，从而得解. 【详解】，， 是第四象限角，， ，. 故选：B. 3．（24-25高一下·河北承德·月考）已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方的方法求得正确答案. 【详解】由两边平方得， 即. 故选：C 4．已知 ， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等式两边平方，求出的值，再利用切化弦可求得的值. 【详解】在等式两边平方可得，可得， 所以. 故选：B. 5．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【详解】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 6．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可判断；对于B，结合选项A中结论即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，再根据二倍角的正切公式即可求解. 【详解】由①，以及， 对等式①两边取平方得，②，故A正确； 因为，所以，所以由②可得，所以，故B正确； 所以③，故C错误； ①③联立解得，所以，所以，故D正确． 故选：C． 题型五、诱导公式化简 1．（24-25高一下·辽宁·期末）已知，则 . 【答案】10 【分析】利用诱导公式可求得，利用诱导公式与同角三角函数的商数关系化简即可. 【详解】由正切函数诱导公式可得， 故. 故答案为：10 2．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列三角函数值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】利用诱导公式可求各式的值. 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 3．（2025高一·全国·专题练习）求值：． 【答案】1 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简求值 【详解】因为， ， ， ，． 所以原式． 4．（24-25高一下·江西萍乡·期中）已知. (1)化简； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式进行化简整理.（2）整体配凑角即可求解 【详解】（1）因为. （2）由. 所以. 题型六、诱导公式应用 1．（24-25高一下·河北保定·期末）已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式化简可得结果. 【详解】. 故选：A. 2．（24-25高一下·重庆·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求得，再结合诱导公式可得，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，，所以 所以. 故选：B. 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的余弦公式，以及诱导公式，即可求解. 【详解】 . 故选：C 另解：， 所以. 故选：C 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将用表示为，再利用诱导公式和二倍角公式求解即得. 【详解】因， 则. 故选：A. 5．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】， 所以， 所以， ， 所以. 故选：D 6．（23-24高一下·江苏淮安·月考）设为锐角，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求出，根据即可求解. 【详解】因为为锐角，则，因为， 所以， 所以 . 故选：D. 7．（24-25高一下·四川广元·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由角的变换可知，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，则，所以， 因为，则， 又，所以. 所以 . 故选：D. 题型七、两角和差公式的正用、逆用 1．（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角差的正切计算可得. 【详解】. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏淮安·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式可得，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为， 所以原式. 故选：D. 4．（24-25高一下·河南平顶山·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由和诱导公式结合两角差的正弦公式即可计算求解. 【详解】 . 故选：A 5．（24-25高一下·四川雅安·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，结合两角差的正切公式即可求得答案. 【详解】由于， 故， 则， 故选：A 6．（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出，再利用两角和差的正切公式求值即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 7．（24-25高一下·甘肃天水·期末）（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】利用正弦和余弦的差角公式及诱导公式，即可求解. 【详解】 . 故选：C. 8．（多选题）下列四个选项中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】逆用两角差的余弦公式即可判断A，C两项；运用拆角与和角公式即可判断B项；运用诱导公式五先转化部分三角函数式，再逆用两角和的正弦公式即可判断D项. 【详解】对于A项， ，故A正确； 对于B项， ，故B错误； 对于C项， ，故C正确； 对于D项， ，故D正确. 故选：ACD. 题型八、二倍角公式（重点） 1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】. 故选：D. 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角的平方公式和正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由为第二象限角，且，可得， 再由正弦的二倍角公式得， 故选：C. 3．（24-25高一下·广东河源·期末）已知为第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦的二倍角公式，结合为第四象限角即可求. 【详解】，， 又为第四象限角，，. 故选：C. 4．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】由二倍角公式得. 故选：D. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倍角公式计算即可. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； 正确． 故选：D 6．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用两角和公式对已知等式整理求得的值，使之平方即可求得的值． 【详解】∵， ， ， ， 故选：． 7．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式展开，然后弦化切即可得解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：D 8．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可计算得出结果. 【详解】， ， 则原式． 故选：C. 9．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）对于角，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式的化简已知，结合角度范围确定的范围，结合平方公式即可得的值. 【详解】因为，所以， 由于，所以，则， 整理得，又，所以 所以，解得， 故选：B. 10．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据角的范围，利用二倍角公式将表达式化简计算可得，即求出结果. 【详解】由可得， 所以， 又易知，因此可得， 即可得， 所以，解得. 故选：A 题型九、降幂公式（重点） 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据降幂公式计算，即可得答案. 【详解】， 故选：A 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简所求表达式，代入求解即可. 【详解】. 故选：B. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式求出，从而求出，再由降幂公式及和差角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，， 即，可得 所以 . 故选：D. 4．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 5．已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式，以及二倍角的余数公式，化简等式，再利用两角和的正切公式，以及同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】根据题意，，即， 即，即，所以， 所以， 因为，所以，， 又，所以， 则. 故答案为： 题型十、辅助角公式（常考点） 1．（23-24高一下·上海·期末）把化成的形式： . 【答案】 【分析】根据辅助角公式先将原式提取2，再利用两角和角的正弦公式化简即可． 【详解】. 故答案为：. 2．已知函数的最大值为5，则实数 ． 【答案】4 【分析】由余弦二倍角公式及辅助角公式得到，进而可求解. 【详解】因为， 所以函数的最大值为． 由题意，得，解得． 故答案为：4 3．已知,则 . 【答案】/0.8 【分析】根据辅助角公式和两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为, 所以. 故答案为:. 4．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知函数，当取得最大值时， ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式求解，用已知角表示未知角求解即可. 【详解】其中 当取得最大值时， 所以 故答案为： 5．（24-25高一·上海·随堂练习）化简 ． 【答案】 【分析】先进行角的转化，统一角为，再运用辅助角公式计算即得. 【详解】 ． 故答案为： 6．求值： ． 【答案】1 【分析】利用同角三角函数的基本关系和诱导公式化简可得. 【详解】 . 故答案为：1 题型十一、给值求值问题（重点） 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据诱导公式化简计算，即可求解. 【详解】由， 得. 故选：A 2．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意和同角三角函数的关系以及正弦的二倍角公式可得，结合计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 所以， 所以. 故选：D 3．（23-24高一下·江苏镇江·月考）若，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角基本关系式与三角函数的和差公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则 . 故选：B. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式求出，再由及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：D 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】根据结合二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知角a满足，则的值为 【答案】1或 【分析】利用倍角公式可得，分和两种情况，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为，则， 若，符合题意，此时； 若，则，； 综上所述：或. 故答案为：1或. 7．（23-24高一下·上海·假期作业）已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】由角的范围确定角的象限后结合三角函数基本关系与两角差的正弦公式即可得. 【详解】由，得， 由，故， ，故， 故 . 故答案为：. 8．若α和β都为锐角，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得，从而，由两角和差的正弦公式求解. 【详解】因为α和β都为锐角，则， 又，所以，即， 所以，而，则， 所以. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，那么的值为 . 【答案】 【分析】由两角差的正切公式可得. 【详解】， . 故答案为：. 题型十二、给值求角问题（难点） 1．（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理，结合两角和的正切公式，即可求解，结合角的范围，即可求解. 【详解】由条件可知，，，且， 所以不妨设，则，，则 ，所以. 故选：C 2．（23-24高一下·江西赣州·月考）已知，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】借助角所在象限，利用同角三角函数基本关系与两角和的余弦公式计算即可得. 【详解】由，，则， ， ， 则， 故. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知数据可得和的值，而，代入值计算可得． 【详解】因为三角形的两个内角，且， 则，， 因，， 得， 则， 故， 因，，则． 故选：B． 4．设，均为钝角，且，，则的值为 . 【答案】 【分析】先求出和，再运用两角和公式求解. 【详解】∵ ， ，且，，， ∴. ∵ ，∴ ； 故答案为：. 5．已知，，，则 ． 【答案】/ 【分析】求得，由此求得. 【详解】依题意，，， 所以， 所以， 所以 ， 由于，所以. 故答案为： 题型十三、半角、万能公式（难点） 1．已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式结合角的范围即可求解. 【详解】因为，则，, 由半角公式可得. 故选：B 2．若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果. 【详解】因为是第一象限角，所以， 则，所以是第一象限角或第三象限角. 又知，， 所以， 故选：D. 3．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，，只需求出的值，进一步由商数关系即可得解. 【详解】∵，， ∴，， 所以. 故选：D. 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可. 【详解】由， 所以，则， 由，则. 故选：A 5．已知，且，则 . 【答案】 【分析】由题可得，由此可得，又，据此可得答案. 【详解】因， 则， 得.则 故答案为： 题型十四、三角恒等变换综合应用（难点） 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别将和分别平方相加求出，然后逆用正弦两角差公式并结合倍角公式从而求解. 【详解】由得，， 由得，， 两式相加得，， 则， 所以，故D正确. 故选：D. 2．已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用三角函数的倍角公式，结合正切函数的和差公式，逆用正余弦的和差公式即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以， 则. 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化为，根据万能公式和计算. 【详解】． 故选：D. 4．已知，且，则（    ） A． B．或7 C．或7 D． 【答案】B 【分析】根据同角平方和关系，即可联立方程求解正余弦值，即可求解正切值，或则利用辅助角公式可得或，即可分类讨论，结合正切的和差角公式求解. 【详解】解法一：由，得， 则．因为，所以， 即，解得或， 当时，，则； 当时，，则， 故选：B． 解法二：因为，其中，，所以或， 当，即，时，，，所以， 所以； 当，即，时，，则，同理，所以， 所以， 故选：B． 5．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得，，，，则，应用余弦倍角公式可得、，再应用正弦和角公式求，即可确定角的大小. 【详解】由，，则，， 由，，则，， 所以，，， ， 而，故. 故选：C 6．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式化原式为，根据结合，解出，再由降幂公式求出即可求解. 【详解】， 因为，即，， 解得，又，， 所以. 故选：A． 1．以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，直接求出，再利用倍角公式求出，即可求出结果. 【详解】因为角的终边落在直线上， 当角的终边在第一象限时，终边过点， 此时，，，， 当角的终边在第三象限时，终边过点， 此时，，，， 故选：C. 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式及逆用二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】由． 故选：D． 3．（24-25高一下·浙江·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式、二倍角公式，计算求解. 【详解】解法一：因为，所以. 因为， 所以. 解法二：令，则，， 所以. 故选：D. 4．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据范围计算范围，再结合的正负性，得出，则可计算，最后利用诱导公式化简即可. 【详解】，则， 又，则， 故， . 故选：A 5．（24-25高一下·陕西·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合诱导公式求得，根据角的范围，利用平方关系求得，即可求出结果. 【详解】由题知，， 所以，， 又，所以， 所以， 所以. 故选：B 6．（24-25高一下·湖南·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和角的余弦公式化简求出，再利用二倍角公式及齐次式法求解. 【详解】依题意，，整理得，即， 所以. 故选：C 7．（24-25高一下·辽宁·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，可求得，再利用二倍角公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 即得，则， 故， 故选：A 8．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项；利用二倍角的正切公式可判断B选项；利用二倍角的余弦公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项， ，A不满足； 对于B选项，，B不满足； 对于C选项， ，C满足； 对于D选项，，D不满足. 故选：C. 9．（24-25高一下·四川达州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合及二倍角余弦公式将所求式子化为，然后分子分母同时除以，整理得到一个关于的式子，代入数值求解即可. 【详解】由已知可知. 则. 代入可得，. 故选：B. 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角和的余弦公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 则 . 故选：A. 11．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，且.则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系、正余弦的和角公式计算即可. 【详解】，， ∴， 又，故， ，， 故则， . 故选：C. 12．已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由结合正切和角公式化简，求得，利用万能公式即可求解. 【详解】∵，∴， 解得或（舍去）， 所以. 故选：D 13．若，化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再利用半角公式和辅助角公式、诱导公式化简计算即可， 【详解】，，，， . 故选：C. 14．（24-25高一下·江苏南京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式及和差角公式化简得解. 【详解】 . 故选：A. 15．已知，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦的两角和差公式，先求出，再用同角公式即可求解. 【详解】由， 因为，所以， 则， 又因为可得由， 可知即， 所以. 故选:D. 16．如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的的值，进而可求出，，然后线段的中点，可得出，进而可求得线段的长. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，可得出， 由可得， 所以，扇形的面积为， 当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时． 因为，则扇形的圆心角， 取线段的中点，由垂径定理可知， 因为，则， 所以，. 故选：A. 17．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解． 【详解】由得， 又，所以， 所以 ． 故选：C． 18．设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得. 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 19．已知且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】由已知条件，利用万能公式可得，结合范围即可求. 【详解】由，， 所以，即， 又，可得. 故选：D 20．（23-24高一下·江苏镇江·月考）若，，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用三角恒等变换化简整理可得，然后利用同角三角函数的基本关系求得，进而得，从而由可得结果. 【详解】， 化简得，即， 整理得. 因为，所以. 整理得，又，即， 所以，即，进而， 于是. 故选：D. 21．（23-24高一下·四川成都·期中）求值（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式和辅助角公式化简即可. 【详解】因为； ； ， 所以 . 故选：D. 22．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）（多选题）下列选项中，与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用诱导公式、二倍角公式与和、差角公式化简计算再逐一判断即得. 【详解】因. 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因，则有， 故，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：ABC. 23．（24-25高一下·江苏南通·期中）（多选题）已知，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先求出，由及两角和的余弦公式求出即可判断A，再由二倍角公式判断C，求出，即可判断B、D. 【详解】因为，所以，又， 所以， 所以 ，故A正确； 所以，故C错误； 因为，，所以， 所以，故B正确； ，故D正确. 故选：ABD 24．（24-25高一上·江苏连云港·期末）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】整理可得，换元令，解得，即可得判断AB；可知为方程的两根，进而可得，即可判断CD. 【详解】因为， 令，则， 可得，整理可得，解得或（舍去） 所以，，故A错误，B正确； 可知为方程的两根， 由解得， 可知或， 可得，故C正确； 或，故D错误； 故选：BC. 25．（23-24高一上·山西朔州·期末）（多选题）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由三角函数平方关系可求得、即可判断A项，由及差角公式即可判断B项，由和角、差角公式展开、，两式相加可判断C项，两式相减可得，进而可得即可判断D项. 【详解】因为为锐角，所以，， 所以，， 又因为，所以， 所以， 对于A项，因为，所以，则，故A项正确； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，因为，， 两式相加并化简得，故C项错误； 对于D项，由C项知，两式相减并化简得， 所以，故D项正确. 故选：ABD. 26．（24-25高一下·江苏南通·月考）（多选题）已知，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两角和差的正切公式求出判断AB；根据角的范围及特殊角的正切值判断CD. 【详解】因为， 所以， ，故选项AB正确； 因为，所以，又，， 所以， 因为，所以即，所以C错误，D正确. 故选：ABD 27．已知角的终边上一点，且，则 . 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】因为， 所以，解得， 又因为，所以， 所以， 故答案为: . 28．（24-25高一下·甘肃兰州·开学考试）已知，则 ； . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及弦化切求解即可. 【详解】由，解得， 所以 由，可得， 所以，解得， 所以， 故答案为：； 29．，则 ． 【答案】/-0.8 【分析】根据三角恒等变换和诱导公式即可求解. 【详解】因为 ， 所以， 又因为, 故答案为:. 30．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【答案】 /-0.5 【分析】直接利用诱导公式化简，结合正余弦的齐次式法求值即可. 【详解】， . 故答案为：，. 31．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 . 【答案】5 【分析】由三角恒等变换中的辅助角公式，将化成正弦型三角函数，从而求得答案. 【详解】 ，， 当时，有最大值5. 故答案为：5 32．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）周长为cm的扇形取得面积最大值时的半径为 . 【答案】1 【分析】利用扇形周长公式和面积公式，由二次函数性质可得当时，面积最大. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 因此，即, 扇形面积为， 可知当时，面积最大为. 故答案为：1 33．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数的最大值为3，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由辅助角公式结合正弦函数的值域计算可得. 【详解】， 因为函数的最大值为3， 所以，（舍去）， 所以实数的值为. 故答案为：. 34．（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知，，且，， 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系可求出，进而求出，再由两角差的正切公式求解即可. 【详解】因为，，所以，故， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 35．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知满足，则 ． 【答案】 【分析】由条件可得，结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 所以， 故答案为： 36．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式及同角三角函数公式计算得解. 【详解】由，得，由，得， 所以 故答案为： 37．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则 . 【答案】/0.28 【分析】逆用两角差的余弦公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 38．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，，则 . 【答案】 【分析】根据，由二倍角正切公式及两角差的正切公式计算即可. 【详解】由， 所以， 故答案为：. 39．（24-25高一下·上海·期中）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的性质求出取值范围可得答案. 【详解】由题意，对任意，恒成立， 即恒成立， 因为，所以， 则，即实数的取值范围是. 故答案为：. 40．（24-25高一下·天津·期中）已知，，，则 . 【答案】 【分析】根据角的范围及不等式的性质求得角与的范围，再根据同角三角函数的平方关系求出和的值，最后利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】，， ，，. ∵，， ∴，. . 故答案为：. 41．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）已知，，且，，则 . 【答案】-7 【分析】利用同角关系式及和差公式求出，继而即可求解. 【详解】 ， 因为，所以，且， 所以为第一象限角， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 故答案为：-7. 42．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，，根据角的关系，结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，则，， 且，， 可得，， 又因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 43．（24-25高一下·上海·月考）已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】首先分别求出，，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案. 【详解】由得， 因，则，则， 因为，，则，则， 则，则， 则 ， ， 则. 故答案为：. 44．（23-24高一下·河北张家口·月考）已知，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】观察到，再由诱导公式化简后求出最后结果即可. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：观察到，再由诱导公式化简所求更为简便. 45．（24-25高一下·山东威海·期中）已知. (1)化简； (2)若α，β为锐角，，. ①求角； ②求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用诱导公式即可化简得到结果. （2）①利用和角的正切公式即可求得公式 ②利用二倍角公式即可化简，再将①的结果代入即可求得结果. 【详解】（1） （2）①由题意可得，， 由α，β为锐角，可得， 由，所以. ②原式. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数公式考查与三角恒等变换全归纳 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、扇形弧长和面积公式 1 题型二、三角函数的定义及其推广 2 题型三、弦切齐次化（常考点） 3 题型四、sinα·cosα、sinα±cosα关系 3 题型五、诱导公式化简 4 题型六、诱导公式应用 4 题型七、两角和差公式的正用、逆用 5 题型八、二倍角公式（重点） 6 题型九、降幂公式（重点） 7 题型十、辅助角公式（常考点） 7 题型十一、给值求值问题（重点） 8 题型十二、给值求角问题（难点） 8 题型十三、半角、万能公式（难点） 9 题型十四、三角恒等变换综合应用（难点） 10 B综合攻坚・能力跃升 11 题型一、扇形弧长和面积公式 1．（24-25高一下·河南周口·期中）一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15. (1)求该扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积. 2．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． (1)若，米，求该扇形环面展台的周长； (2)若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 3．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8． (1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； (2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 4．（24-25高一下·广西钦州·月考）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 题型二、三角函数的定义及其推广 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角的终边上一点，则 ， ， ． 2．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标为 ． 3．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知角α的终边在直线上，则＝ 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知点是角终边上一点，若，则 ． 5．（24-25高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 题型三、弦切齐次化（常考点） 1．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，求 . 2．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知满足，则 ． 3．（24-25高一下·安徽·月考）已知，则的值为 . 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则 . 题型四、sinα·cosα、sinα±cosα关系 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知是第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北承德·月考）已知 ，则（    ） A． B． C． D． 4．已知 ， 则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 题型五、诱导公式化简 1．（24-25高一下·辽宁·期末）已知，则 . 2．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列三角函数值． (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（2025高一·全国·专题练习）求值：． 4．（24-25高一下·江西萍乡·期中）已知. (1)化简； (2)若，求. 题型六、诱导公式应用 1．（24-25高一下·河北保定·期末）已知，则=（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏淮安·月考）设为锐角，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·四川广元·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 题型七、两角和差公式的正用、逆用 1．（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏苏州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏淮安·月考）（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南平顶山·期末）（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川雅安·月考）（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·甘肃天水·期末）（    ） A． B． C．0 D．1 8．（多选题）下列四个选项中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八、二倍角公式（重点） 1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东河源·期末）已知为第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）下列计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）对于角，满足，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 题型九、降幂公式（重点） 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则 . 5．已知，则 . 题型十、辅助角公式（常考点） 1．（23-24高一下·上海·期末）把化成的形式： . 2．已知函数的最大值为5，则实数 ． 3．已知,则 . 4．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知函数，当取得最大值时， ． 5．（24-25高一·上海·随堂练习）化简 ． 6．求值： ． 题型十一、给值求值问题（重点） 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏镇江·月考）若，，（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，则 . 6．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知角a满足，则的值为 7．（23-24高一下·上海·假期作业）已知，，，则 . 8．若α和β都为锐角，，则 ． 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，那么的值为 . 题型十二、给值求角问题（难点） 1．（24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西赣州·月考）已知，，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 4．设，均为钝角，且，，则的值为 . 5．已知，，，则 ． 题型十三、半角、万能公式（难点） 1．已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 2．若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 5．已知，且，则 . 题型十四、三角恒等变换综合应用（难点） 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高一上·全国·课后作业）以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（    ） A． B．或7 C．或7 D． 5．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 1．以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·陕西·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖南·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·辽宁·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·四川达州·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，且.则（    ） A． B． C． D． 12．已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 13．若，化简得（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·江苏南京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 15．已知，则（    ） A．7 B． C． D． 16．如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长（    ） A． B． C． D． 17．已知，，则（    ） A． B． C． D． 18．设，，且，则（   ） A． B． C． D． 19．已知且，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 20．（23-24高一下·江苏镇江·月考）若，，则（    ） A． B． C．5 D． 21．（23-24高一下·四川成都·期中）求值（    ） A． B． C．1 D． 22．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）（多选题）下列选项中，与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·江苏南通·期中）（多选题）已知，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·江苏连云港·期末）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·山西朔州·期末）（多选题）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·江苏南通·月考）（多选题）已知，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 27．已知角的终边上一点，且，则 . 28．（24-25高一下·甘肃兰州·开学考试）已知，则 ； . 29．，则 ． 30．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ， ． 31．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 . 32．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）周长为cm的扇形取得面积最大值时的半径为 . 33．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知函数的最大值为3，则实数的值为 . 34．（24-25高一下·江苏扬州·月考）已知，，且，， 35．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知满足，则 ． 36．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知，则 . 37．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则 . 38．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，，则 . 39．（24-25高一下·上海·期中）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 40．（24-25高一下·天津·期中）已知，，，则 . 41．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）已知，，且，，则 . 42．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，，，则 ． 43．（24-25高一下·上海·月考）已知，，，，则 ． 44．（23-24高一下·河北张家口·月考）已知，则的值是 ． 45．（24-25高一下·山东威海·期中）已知. (1)化简； (2)若α，β为锐角，，. ①求角； ②求的值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $