专题16 （优质好题速递）圆锥曲线必刷题型（10大题型65题）（压轴题专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题16 圆锥曲线必刷题型 （10大题型65题） 题型01 圆锥曲线中的距离最值问题 1．已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（23-24高二上·江苏南通·月考）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 3．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二上·重庆·月考）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 5．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 题型02 椭圆、双曲线的离心率 1．（25-26高二上·重庆·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·新疆喀什·月考）已知双曲线，以其右焦点为圆心，a为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 6．（23-24高二下·浙江·月考）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·吉林·月考）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型03 焦点三角形 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 4．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 题型04 抛物线焦点弦 1．（24-25高二上·广东·期中）过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则（   ） A． B．14 C．15 D．16 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 4．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 5．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 6．（25-26高二上·山东·月考）已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型05 轨迹方程 1．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 2．（25-26高二上·四川遂宁·期中）已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南·期中）平面上的动点到定点的距离比到轴距离大1．则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．和 D．和 5．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 6．（25-26高二上·重庆·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 8．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型06 中点弦（点差法） 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·海南·月考）直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 6．已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型07 弦长与三角形、四边形面积 1．已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 2．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 3．（25-26高二上·天津静海·期中）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积. 4．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，且的面积为2，求实数的值. 5．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，过点作与轴不重合的直线交椭圆于点，（点在轴的上方）. (1)求椭圆的方程； (2)若线段的长等于，求直线的方程； 6．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的两条直线分别与抛物线交于、和、，若，求四边形面积的最小值. 题型08 定点、定值 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线的准线上. 过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 . 已知抛物线上有一动点 ，位于点 之间. 若抛物线在点 处的切线与切线 相交于点 . 求证： (1)直线 经过点 ; (2)的外接圆过定点. 2．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 3．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 4．（25-26高二上·贵州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，为坐标原点，若，椭圆的离心率为，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知离心率为的椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上不同于长轴端点的任意一点，且的面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设过的两条互相垂直的直线交于和，弦和的中点分别为，直线交于，若以为直径的圆过原点，求直线的方程． 6．如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 7．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程. (2)设为双曲线与轴负半轴的交点，直线与双曲线交于异于点的两点.若以为直径的圆经过点且于点，证明：存在定点，使得为定值. 8．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； (3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 题型09 定直线 1．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 3．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 4．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：（）的左右顶点为，，短轴长为，且上的动点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线与椭圆交于点（异于），求面积的最大值． (3)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线与相交于点．试判断点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 5．（25-26高二上·陕西渭南·月考）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点（如图1），已知：如图（2）椭圆：，左右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的离心率为，面积的最大值为.过点的椭圆切线为直线，过作垂线交于.    (1)求椭圆标准方程. (2)求点的轨迹方程. (3)点的轨迹交轴与，（在左侧）两点，过点作直线交与，两点，求证直线，的交点在一条直线上，并求出该直线方程. 题型10 参数最值（范围）问题 1．（24-25高二下·贵州黔南·期中）二次函数与抛物线有着千丝万缕的联系，可以用图象“平移”的方式求解二次函数对应的焦点坐标与准线方程，例如：二次函数的图象可以由的图象向上平移2个单位长度得到；而即是抛物线，其焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为．    (1)利用上述方法求二次函数的焦点F的坐标和准线方程； (2)如图，已知抛物线的焦点在二次函数上，过抛物线上的动点P作二次函数的两条切线、，切点分别为M、N，若直线与直线的斜率乘积为，且，O为坐标原点，求的取值范围． 2．已知等轴双曲线过点，直线与交于两点，与其渐近线交于两点. (1)求的方程； (2)设，求的取值范围. 3．（25-26高二上·浙江·期中）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 4．（25-26高二上·四川·期中）已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求线段的长； (3)求的面积最大值． 5．（24-25高二下·安徽安庆·月考）已知抛物线的焦点到直线的距离为.设点为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点. (1)当点为直线与轴交点时，求； (2)证明：直线过定点，并求出定点的坐标； (3)当点在直线上移动时，求的最小值. 6．（24-25高二下·四川资阳·开学考试）已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． (1)求椭圆C的方程； (2)若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 圆锥曲线必刷题型 （10大题型65题） 题型01 圆锥曲线中的距离最值问题 1．已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】求出上焦点的坐标，由双曲线的定义可得，求得的值，即得结果． 【详解】由得，， ， 所以下焦点，上焦点为， 由双曲线的定义得 ， 当，，三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 2．（23-24高二上·江苏南通·月考）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角换元得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 3．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 4．（24-25高二上·重庆·月考）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【分析】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值. 【详解】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 5．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【详解】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 6．（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标及半径，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再利用圆的性质求得答案. 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 题型02 椭圆、双曲线的离心率 1．（25-26高二上·重庆·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由含有度角的直角三角形中，用焦距表示出与，再根据椭圆的定义建立起与的等式，即可求出离心率. 【详解】 由题可知，， 又因为，，故， 又因为，故. 故选：B. 2．（25-26高二上·新疆喀什·月考）已知双曲线，以其右焦点为圆心，a为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据圆与渐近线相切，可知圆心到渐近线的距离等于半径，据此建立方程求解即可． 【详解】由题意知圆心，双曲线的渐近线为， 不妨设其中一条为，因为圆与渐近线相切， 圆心到渐近线的距离， 即 即离心率为， 故选：B． 3．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点三角形的性质求椭圆离心率的值. 【详解】如图，不妨设在第一象限. 设，则, 由. 由. 所以椭圆的离心率. 故选：B 4．双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则，    因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 5．设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，且，则的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的对称性得到，然后根据双曲线的定义列方程，得到，，最后利用余弦定理列等式，整理即可得到离心率. 【详解】 设双曲线的右焦点为， 根据双曲线的对称性得到，， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 整理得，所以. 故选：D. 6．（23-24高二下·浙江·月考）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质可知双曲线左支上到右焦点的最短距离，从而由题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线左支上存在点使得， 设，则 ，等号成立当且仅当点与双曲线的左顶点重合， 从而双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为， 故，即，故， 即离心率的取值范围为. 故选：B 7．（25-26高二上·河南·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据双曲线的定义和勾股定理得出，再在中得出，最后在中利用余弦定理即可求出. 【详解】因为，所以设，则， 因为点在轴上，所以， 因为点在双曲线上，由双曲线定义得：，即， 由，所以，所以， 即，解得， 所以，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，所以，所以. 故选：B. 8．（25-26高二上·吉林·月考）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】为椭圆双曲线共焦点问题，利用椭圆和双曲线的定义，求出离心率之间的关系解题. 【详解】由题意可得，， 两式相减得， 所以，即， 所以， 令，则，， 且函数在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 故答案为：D 题型03 焦点三角形 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】因为，所以，解得， 由椭圆方程知，所以，解得，即. 所以的周长为， 故选：D. 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【详解】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 3．（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 4．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上一点且满足 ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题知，进而在焦点三角形中结合余弦定理得，进一步计算可知即可得答案. 【详解】由椭圆的方程得， 由椭圆的定义知：，则 故在中，因为， 故根据余弦定理知：， 即，解得， 所以 所以，即， 所以. 故选：C 5．（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，结合双曲线定义得到，，再根据内切圆半径和三角形面积公式得到，，求出双曲线的方程. 【详解】在中，直线的斜率为2，故⊥， 则，故， 又，所以，， 由勾股定理得，所以． 又内切圆半径为， 由三角形等面积法可得， 解得，故，，故双曲线的方程为. 故选：A． 6．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 题型04 抛物线焦点弦 1．（24-25高二上·广东·期中）过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则（   ） A． B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据题意先求出，从而可得直线AB的方程为，并与抛物线联立方程组，韦达定理得到，从而可得抛物线的焦点弦. 【详解】记抛物线的焦点为，则.记切点为， 因为圆的圆心为， 所以，，所以， 由对称性，不妨设切点在第一象限，则直线AB的方程为. 设，，联立方程组得， 所以， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先求出抛物线方程为：，再与直线联立，由根与系数的关系进行求解． 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 3．已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D 4．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由题可得，利用向量的坐标运算、抛物线的定义及韦达定理即可求解. 【详解】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 5．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 6．（25-26高二上·山东·月考）已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程为；又，所以，联立得，利用根与系数的关系代入计算求出值． 【详解】，， ，，则直线的方程为：，即， 设、两点的坐标分别为， 联立，消得：， ， ，， ．    故选：C． 题型05 轨迹方程 1．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据两点间距离化简方程，再根据双曲线的定义即可判断. 【详解】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 2．（25-26高二上·四川遂宁·期中）已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据题目信息得到方程，对方程进行化简得到点的轨迹方程. 【详解】设点，则， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 3．（25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，故，再根据向量关系整理代换即可得答案. 【详解】由题，设， 因为，所以， 因为，， 所以，即，代入得. 所以点的轨迹方程为. 故选：D 4．（25-26高二上·湖南·期中）平面上的动点到定点的距离比到轴距离大1．则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题首先可设点的坐标为，然后根据题意得出，通过转化即可得出结果. 【详解】由题意，设，由到定点的距离为到轴的距离为. 当时，的轨迹为； 当时，又动点到定点的距离比到轴的距离大1， 列出等式：，化简得， 为焦点为的抛物线． 则动点P的轨迹方程为和，故ABD错误，C正确. 故选： C． 5．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用两圆内切或外切，与直线相切建立等式，化简可得方程. 【详解】设，当动圆与圆内切时，有，化简得； 当动圆与圆外切时，有，化简得. 故选：C 6．（25-26高二上·重庆·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知确定已知圆的圆心和半径及其位置关系，进而得到，结合椭圆的定义确定轨迹方程. 【详解】由，标准形式为，圆心为，半径， 由，标准形式为，圆心为，半径， 其中，即已知的两个圆是内含关系， 由题意，若动圆圆心为，半径为，则， 所以， 即是以为焦点，长轴长为12的椭圆，则， 所以动圆的圆心轨迹为. 故选：A 7．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，结合椭圆的定义可求出结果. 【详解】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 8．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 题型06 中点弦（点差法） 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 2．（25-26高二上·海南·月考）直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得方程. 【详解】设 ，。 因为是的中点，所以：， 即： 点和都在椭圆上： ， 将 (1) 和 (2) 相减： ， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为 1，其方程为： ，即. 直线过点，点在椭圆内， 所以直线与椭圆相交，满足条件. 故选：D 3．（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，由点差法代入计算，即可得到，再将中点坐标代入直线计算，即可得到结果. 【详解】设，则其中点坐标为， 则，两式相减可得， 即， 因为A，B关于直线对称，则， 又，所以， 即，所以， 且点在直线上，则， 解得，所以. 故选：A 5．（25-26高二上·江西·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【详解】由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 6．已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，可得出抛物线的方程，设的中点为，则，可得出，再结合点差法可得出，求出直线的方程，根据点在抛物线的内部可得出，由此可得出的取值范围. 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，即抛物线的方程为， 设的中点为，则， 因为点在直线上，则， 得①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得：， 代入①可得，    所以的中点坐标为， 则直线的方程为：，令得：， 而位于抛物线内部，即，可得，则． 故选：C. 题型07 弦长与三角形、四边形面积 1．已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解； （2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 2．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据抛物线焦点的位置分类讨论，设出抛物线的方程，把点代入求解即可； （2）求出直线的方程，代入抛物线，利用弦长公式求解. 【详解】（1）若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：； 若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：， 综上所述：抛物线的方程为：或. （2）由（1）知：抛物线的方程为：，焦点为， 则直线， 代入抛物线方程，消去得，则，显然， 所以，， 则. 3．（25-26高二上·天津静海·期中）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴上的焦点可确定，已知离心率可进一步确定，再由确定后即可确定椭圆方程； （2）可将的面积转化为两个等底三角形的面积之和，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求出直线与椭圆的两个交点横坐标之差的绝对值作为高，再应用三角形面积公式，即可得解. 【详解】（1）由题可知，又，故，又因为，可得， 故椭圆的标准方程为. （2）    设直线与轴的交点为点， 则. 联立直线与椭圆，整理得. 得，则，则 =. 4．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，且的面积为2，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求得，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理，弦长公式及三角形面积公式列方程求实数的值即可． 【详解】（1）∵双曲线的实轴长为2，∴，即， ∵右焦点到渐近线的距离为， ∴，即，得， ∴双曲线的方程为． （2）设， 联立，得， ∴，， ∴， 点到直线的距离为， ∴的面积为， 整理得，解得．    5．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，过点作与轴不重合的直线交椭圆于点，（点在轴的上方）. (1)求椭圆的方程； (2)若线段的长等于，求直线的方程； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意列出方程组求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式列出方程，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，，得， 则椭圆的方程为； （2）根据题意设直线的方程为，， 联立直线与椭圆方程可得，得， 则， 由韦达定理可得， 由弦长公式可得， 化简可得，， 即，即， 所以或（舍），即， 所以直线的方程为或.    6．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的两条直线分别与抛物线交于、和、，若，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，的外接圆半径为，结合圆的面积公式求出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）分析可知，直线、都不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式求出，同理得出，利用基本不等式可求得四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为点，所以线段的中垂线为. 即的外接圆圆心在直线上，圆心到准线的距离为， 所以的外接圆半径为，所以该圆面积. 解得，所以抛物线的方程为. （2）若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线、都不与x轴重合， 所以，直线、的斜率存在且都不为零， 易知抛物线的焦点为，设直线的方程为， 设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得， 所以， 因为，所以可设直线方程为， 用代替可得 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即四边形的面积最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 题型08 定点、定值 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线的准线上. 过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 . 已知抛物线上有一动点 ，位于点 之间. 若抛物线在点 处的切线与切线 相交于点 . 求证： (1)直线 经过点 ; (2)的外接圆过定点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，，利用导数的几何意义分别求出切线PA、PB的方程，将点P分别代入可得直线AB的方程，即可证明； （2）设，由（1）可知曲线在点处的切线方程，求出点M、N坐标；根据代数法和可证明，则线段为的外接圆的直径.设直线AB方程，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，结合平面向量数量积的坐标表示计算化简可得，即可证明. 【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点为，准线方程为， 设，点，则， 得直线的方程为，且，化简得①. 同理可得，切线的方程为②. 又因为切线过点，所以有；同理可得. 所以直线的方程为，故直线经过点. （2）设点，由（1）可知曲线在点处的切线方程为. 联立方程组，得且，，解得， 即，同理解得， 由（1），设过点P的切线方程为， ，消去y，得，，得， 记关于的一元二次方程的两根为，其中分别为切线PA、PB的斜率， 则，所以，故线段即为的外接圆的直径. 设直线AB方程为，由，消去可得， 则， 因为， 所以 将代入上式，可得， 所以的外接圆过定点. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的切线方程、直线恒过定点和圆恒过定点等知识点，解题关键是求出直线AB的方程和.本题中AB直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理求出，结合平面向量数量积的坐标表示计算化简可得，得到所要证的结论． 2．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【详解】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形，    由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 3．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由得，由点在C上求得，即可得到方程； （2）（ⅰ）设，，利用斜率公式证明； （ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论． 【详解】（1）因为，所以，则双曲线， 又点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）易知，，设，， 则，，即， 而， 所以， 又，所以， 故，为定值． （ii）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以． 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点． 4．（25-26高二上·贵州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，为坐标原点，若，椭圆的离心率为，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由题意求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得到P点坐标，利用从而求得结果. 【详解】（1）由题意则， 由于，则，， 则椭圆的标准方程为. （2）设直线 令，则， 将*代入整理得， 设，则， ， 设，为的中点， ，， ， ， ， 当时，恒成立， 所以存在定点使得对于任意的都有. 5．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知离心率为的椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上不同于长轴端点的任意一点，且的面积的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)设过的两条互相垂直的直线交于和，弦和的中点分别为，直线交于，若以为直径的圆过原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的基本性质求出，进而得出椭圆的标准方程； （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合椭圆的基本性质得出直线过定点，利用以为直径的圆过原点得出向量垂直关系求出，进而求出直线的方程． 【详解】（1） ， 由椭圆的几何性质知，当为短轴端点时，的面积最大，此时， ，解得， 椭圆的方程为． （2），，，当直线的斜率存在且不为0时， 设，直线的方程为， 代入的方程中整理得， ， ，则， ，则直线的方程为， 同理，用代换可得， 当时，， 直线的方程为， 当时，，解得， 直线恒过点， 当或或不存在时，亦成立， 设，由上述分析知直线（即直线）的方程为， 代入的方程中整理得， ， ， 以为直径的圆过原点， ，即， 解得，即， 直线的方程为，一般形式为：或． 6．如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)过定点，定点坐标为． 【分析】（1）根据给定条件，求出，，即可求得左顶点坐标以及离心率； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解； （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）由题可得：， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为： （2）由消去整理得，， 则，且， 设，则， 由为的中点，可得， 解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．且， 则 ， 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 7．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程. (2)设为双曲线与轴负半轴的交点，直线与双曲线交于异于点的两点.若以为直径的圆经过点且于点，证明：存在定点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件计算出的值，则双曲线的标准方程可求； （2）先根据条件证明直线过定点，然后再根据圆的几何性质判断出定点的位置，由此可完成证明. 【详解】（1）由题意知，因为双曲线的渐近线方程为，所以， 因为，所以， 故双曲线的标准方程为. （2）证明：易知，设， （i）当直线的斜率存在时，设的方程为， 由化简得， 则，即，且， 因为， 所以， 化简得， 解得或，且均满足， 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点. （ii）当直线的斜率不存在时，由对称性可知，不妨设直线的方程为， 由得（舍去）或，此时直线过定点. 因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，即为的中点，为该圆半径， 因为中点坐标为，即为，且， 故存在定点，使得为定值. 8．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程； (3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)由题可得，解方程即可求解. (2)求出点坐标，设的角平分线所在直线与轴的交点为，根据角平分线性质可知点到直线和的距离相等即可求解； (3)设直线的方程为：,,联立,由韦达定理可得,由直线的方程为：, 令，可得点,由三角形面积公式即可证明. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3， 所以，解得：, 则, 所以椭圆C的方程为:, （2）由题可得，，因为点P在第一象限且轴， 所以,解得：或(舍去)， 则点 所以，则直线的方程为：，即 设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然 则，解得:或(舍去)； 所以, 则， 所以的角平分线所在直线的方程为，即, 故的角平分线所在直线的方程为； （3）由题可得直线的斜率不为，设直线的方程为：,, 则, 联立,得, 所以,, 直线的方程为：, 令，则, 所以, 即点, 则,, 所以，则为定值 题型09 定直线 1．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【详解】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）利用直接法，设出点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心P的轨迹T的方程； （2）由题意设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用，从而由向量的数量积的坐标运算于韦达定理可得，即可求出直线方程． 【详解】（1）设，由题可知动圆圆心不能在轴左侧，故， 因为动圆与直线相切且与圆外切， 所以， 所以， 化简得， 所以动圆圆心的轨迹的方程为； （2）设，， 由题意，设直线的方程为， 联立 消去得， 所以，①， 所以，②， 假设存在使得， 则由题意可得③， 因为在抛物线上，所以，即④， 又，，， 所以， 将①②③④代入此式并化简，可得， 所以，即， 所以存在直线，使得，且直线的方程为或． 3．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出点，借助双曲线方程及两点间距离公式计算可得时，取最小值，从而可得双曲线方程； （2）结合双曲线定义计算即可得； （3）设出直线的方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出直线与直线的方程后，联立两直线方程计算即可得解. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为，点， 则有，即，由，则， 则 ， 由，，故， 当且仅当时取等号，则，即， 则，故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的定义可得， 又，则有或， 由（1）得， 又，所以； （3）由（1）可得，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，显然， 联立，消去有，， 则， 直线的方程为：，直线的方程为：， 则 ， 由可得，即，故点在定直线上. 4．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：（）的左右顶点为，，短轴长为，且上的动点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线与椭圆交于点（异于），求面积的最大值． (3)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线与相交于点．试判断点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在定直线上 【分析】（1）根据斜率之积求出即可得出椭圆的方程； （2）根据面积最大时点所处的位置，利用求椭圆的切线后，得三角形的高求解； （3）设直线，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，再联立直线方程求的横坐标，化简即可. 【详解】（1）由题意，， 设,，， 则， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）如图，    由，可得, 直线的方程为：，即， 当面积的最大时，点在与直线平行且与椭圆相切的直线上， 设切线为， 则可得， 由，解得（舍去）， 此时三角形的高为， 所以. （3）设直线，，， ，可得， 所以． 直线AE的方程：① 直线BF的方程：② 联立①②可得． 因为， 所以 所以点G在直线上． 5．（25-26高二上·陕西渭南·月考）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点（如图1），已知：如图（2）椭圆：，左右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的离心率为，面积的最大值为.过点的椭圆切线为直线，过作垂线交于.    (1)求椭圆标准方程. (2)求点的轨迹方程. (3)点的轨迹交轴与，（在左侧）两点，过点作直线交与，两点，求证直线，的交点在一条直线上，并求出该直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，列关于的方程组求解即可； （2）作关于的对称点，由题干所给椭圆的光学性质求得，再由为的中位线可得，即可求得的轨迹； （3）设坐标，设直线并与联立，由坐标表示出直线，并联立，由直线方程与韦达定理代入化简即可得为定值. 【详解】（1）由题意，，当位于上下顶点时取得最大值， 所以解得， 所以椭圆标准方程为. （2）作关于的对称点，则为的中点，， 由椭圆的光学性质可得共线， 则， 连接，由于分别为的中点， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 轨迹方程为.    （3）由题意，设， 由题意不与重合，故设， 联立可得， 由于过圆内定点，故一定有两个交点， 则韦达定理，则 直线，直线， 联立，可得， 由韦达定理可得， 所以， 即， 所以直线，的交点在定直线上.    题型10 参数最值（范围）问题 1．（24-25高二下·贵州黔南·期中）二次函数与抛物线有着千丝万缕的联系，可以用图象“平移”的方式求解二次函数对应的焦点坐标与准线方程，例如：二次函数的图象可以由的图象向上平移2个单位长度得到；而即是抛物线，其焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为．    (1)利用上述方法求二次函数的焦点F的坐标和准线方程； (2)如图，已知抛物线的焦点在二次函数上，过抛物线上的动点P作二次函数的两条切线、，切点分别为M、N，若直线与直线的斜率乘积为，且，O为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为 (2) 【分析】（1）可以由抛物线向上平移个单位长度得到，求出的焦点坐标和准线方程，从而得到的焦点坐标和准线方程； （2）求出抛物线的焦点，代入，得到方程，求出，得到的方程，设点，设切线方程为，联立，由根的判别式得到方程，求出，因为，所以，表达出，换元后由函数单调性求出，则，得到答案. 【详解】（1）二次函数，它的图象可以由抛物线向上平移个单位长度得到； 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （2）抛物线的焦点为，所以，解得，故的方程为． 任取点，设过点P的的切线方程为， 将其代入得， 由，化简得， 记、斜率分别为，，则， 因为，即，所以， 设，， 因为在上单调递增，所以， 则，所以的取值范围为． 2．已知等轴双曲线过点，直线与交于两点，与其渐近线交于两点. (1)求的方程； (2)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等轴双曲线得到方程的一般形式，再将所过的点代入后可得方程； （2）联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理用表示，再利用函数的性质可求范围. 【详解】（1）∵等轴双曲线E过点， ①若E的焦点在x轴上，不妨设，代入，可得， ∴， ②若E的焦点在y轴上，不妨设，代入，可得，不符题意， 综上所述，. （2）设，，，， 联立可得， ∴，，解得， ∴，， 显然双曲线E的渐近线方程为，不妨设C为直线：与直线l的交点， 联立可得，同理， ∴， ∵，∴， ∴的取值范围为. 3．（25-26高二上·浙江·期中）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件列方程并化简即可求出动点的轨迹方程； （2）设直线方程为，联立曲线方程，运用韦达定理结合已知向量关系得出关于的不等式，解不等求的取值范围． 【详解】（1）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为 ，化简得：． 动点的轨迹方程为：． （2）设直线方程为，，， 直线与圆相切，，即， 联立，消去，得， ， 且， 由韦达定理得， , 即，， ，， ，解得， 解得或， ． 4．（25-26高二上·四川·期中）已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求线段的长； (3)求的面积最大值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据题设条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值； （3）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式、韦达定理以及对勾函数的单调性可求得的面积最大值. 【详解】（1）由题可知，，故，因此， 又因为点在椭圆上，故， 联立，解得，故椭圆. （2）由题可知，，故直线，设点， 联立直线与椭圆，得， 根据韦达定理，，， 由弦长公式知. （3） 易知直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立，得， ， 由韦达定理可得， 所以， 所以三角形的面积为 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且. 5．（24-25高二下·安徽安庆·月考）已知抛物线的焦点到直线的距离为.设点为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点. (1)当点为直线与轴交点时，求； (2)证明：直线过定点，并求出定点的坐标； (3)当点在直线上移动时，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点为 (3) 【分析】（1）根据点到直线距离得到方程，求出，所以抛物线，并求出点坐标，设出切线方程，联立后，由根的判别式得到方程，求出直线斜率，从而得到，由二倍角公式得到答案； （2）设，直线的方程为，联立抛物线方程，由根的判别式得到方程，求出，求出切点坐标为，整理得到，得到两根之和，两根之积，表达出直线的方程，求出定点坐标，当点在坐标轴时，也过定点，所以直线过定点； （3）设，，表达出，在（2）基础上，得到，得到答案. 【详解】（1）根据题意有，解得，所以抛物线， 因为点为直线与轴交点，所以点坐标为， 易知直线，的斜率存在，不妨设为， 则其方程为，联立方程有， 消去并整理得， 由题意可知，解得， 所以，得， 所以；    （2）依题意，不妨设，直线的方程为， 联立方程，消去并整理得， 所以，解得，所以， 解得，所以，所以切点坐标为， 直线的方程可写作，所以， 由，得，整理得， ， 所以方程有两个根，，不妨记直线的斜率为，的斜率为， 由韦达定理有，， 且由上述可知，，故直线的斜率为， 且的中点坐标为， 则直线的方程为 ， 当点在坐标轴时，也过定点， 所以直线过定点；    （3）点坐标为，，， 所以，， ， 所以当点在直线上移动时，求的最小值为 6．（24-25高二下·四川资阳·开学考试）已知A，B分别是椭圆C：（）的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4． (1)求椭圆C的方程； (2)若MA，NB的斜率分别为，，且 ①证明：直线MN过定点； ②若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）根据椭圆的对称性，即可结合面积公式求解； （2）①联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据斜率公式，代入化简即可求解；②求解两直线的方程，联立可得，，，，继而根据两点距离，代入韦达定理化简即可求解. 【详解】（1）根据椭圆的对称性知，仅当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由，，得，， 所以椭圆C的方程为． （2）①证明：依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为，，， 由消去x整理得， 则，，， 而，，则，， 因此 ， 解得， 所以直线MN：恒过定点． ②解：由（ⅰ）知，，，得， 直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $