江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校2025-2026学年上学期八年级素养提升数学试卷

2025-2026学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校八年级（上）素养提升数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是(    ) A. B. C. D. 2.以下列各组线段长为边，能构成三角形的是(    ) A. 2cm，2cm，4cm B. 8cm，6cm，4cm C. 12cm，5cm，6cm D. 2cm，3cm，6cm 3.下列命题是真命题的是(    ) A. 等底等高的两个三角形全等 B. 面积相等的两个图形是全等图形 C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等 4.如图，≌，D在BC边上，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，的三边AB、BC、CA的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则：：等于(    ) A. 1：2：3 B. 2：3：4 C. 3：4：5 D. 4：5：6 6.如图，在四边形ABCD中，BD平分，于点D，，，则面积的最大值为(    ) A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于      . 8.如图，在三角测平架中，在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这是为什么？ 答：______. 9.如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是______点． 10.如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，使AEFB落在MEFN处，若，则的度数为______. 11.工人师傅常用角尺平分一个任意角.作法如下：如图所示，是一个任意角，在边OA，OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是的平分线.这种作法的依据是        . 12.如图，在中，AF平分，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，，，则______ 13.如图，内一点P，、分别是点P关于OA、OB的对称点，交OA于M，交OB于N，若，则的周长是______. 14.如图，是等边三角形，，，则的度数为      . 15.如图，在四边形ABCD中，，，连结BD，，，若P是BC边上一动点，则DP的最小值为______. 16.如图所示，已知的面积是26，OB、OC分别平分和，于D，且，则的周长是______. 三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 计算： ； 18.本小题8分 解方程组和不等式组： ； 19.本小题6分 请在图中画出三个以AB为腰的等腰要求：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；点C在格点上． 20.本小题6分 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． 在图中画出与关于直线l成轴对称的； 线段被直线l______； 的面积为______； 在直线l上找一点P，使的长最短． 21.本小题6分 如图，，，求证：≌ 22.本小题6分 如图，在中，，，是的角平分线，点E在AB边上，求的周长． 23.本小题6分 如图，在中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于D、E两点，，，求的度数． 24.本小题6分 如图，已知，，求证：≌ 25.本小题8分 如图，已知，，AP平分，BP平分，点P恰好在DC上． 求证：点P为DC中点． 试探究线段AB、AD、BC的数量关系． 26.本小题10分 如图，已知在中，，，D为AB中点，点P在线段BC上，以的速度由B向C运动，同时点Q在线段CA上由C向A运动，设运动时间为 的长等于______用含t的式子表示 若点Q与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，说明理由. 若点Q与点P的运动速度不相等，要使与全等，点Q的速度是多少？说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：是轴对称图形，共有1条对称轴； B.不是轴对称图形，没有对称轴； C.不是轴对称图形，没有对称轴； D.是轴对称图形，共有2条对称轴． 故选： 根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称． 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】B  【解析】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选： 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 3.【答案】D  【解析】解：A、等底等高的两个三角形全等，错误，不一定全等，本选项不符合题意； B、面积相等的两个图形是全等图形．错误，不一定全等，本选项不符合题意； C、有两边和一角对应相等的两个三角形全等．错误，不一定全等，本选项不符合题意； D、有一边对应相等的两个等边三角形全等．正确，本选项符合题意． 故选： 利用全等三角形的判定方法一一判断即可． 本题考查命题与定理，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 4.【答案】C  【解析】解：≌，， ， ，， ， 故选： 根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可． 此题考查了全等三角形的性质、三角形外角性质，熟记“全等三角形的对应角相等”是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：作于D，于E，于F， 三条角平分线交于点O，，，， ， ：：：BC：：5：6， 故选： 作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：延长CD、BA交于E，过C作于H， 平分， ， 于点D， ， 在和中 ≌， ，， ， 当的面积最大时，的面积最大， ， ， 的面积，， 面积的最大值， 面积的最大值为 故选： 延长CD、BA交于E，过C作于H，由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，而，判定≌，推出，，得到，当的面积最大时，的面积最大，求出，求出面积的最大值，即可得到面积的最大值． 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，垂线段最短，关键是判定≌，推出，，得到 7.【答案】22  【解析】解：设第三边长为x，则， 故此等腰三角形的第三边长为9， 故它的周长为：， 故答案为： 根据三角形三边之间的关系，即可得第三边的长，据此即可求解． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，确定出第三边的长是解决本题的关键． 8.【答案】等腰三角形底边上的中线就是底边上的高  【解析】解：在三角测平架中，， 为等腰的底边BC上的高， 又AD自然下垂， 处于水平位置． 理由：等腰三角形底边上的中线就是底边上的高． 已知，D点为BC的中点，故AD为等腰三角形ABC的BC边上的高，当AD自然下垂时，BC处于水平位置． 本题考查了等腰三角形底边上的“三线合一”的性质． 9.【答案】D  【解析】解： 可以瞄准点D击球． 故答案为：点 要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反弹路线即可得出答案． 本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 10.【答案】  【解析】解：由题意得，四边形≌四边形NMEF， ， ， 故答案为： 根据图形全等的性质，由题意得四边形≌四边形NMEF，，得由，得，推断出根据平行线的性质，由，得，从而解决此题 本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 11.【答案】SSS  【解析】解：在和中， ， ≌， ， 即OC是的平分线， 故答案为： 根据题意知和的三边对应相等，即可得证． 本题考查全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法． 12.【答案】32  【解析】解：是AC的垂直平分线， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， 故答案为： 根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用角平分线的定义可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 13.【答案】12cm  【解析】解：和OB分别是和的对称轴， ，； ， 的周长为 故答案为： 根据轴对称的性质的相等关系进行等量代换，便可知与的周长是相等的． 本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 14.【答案】  【解析】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为： 由等边三角形的性质推出，，得到，推出，求出，即可得到的度数． 本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出， 15.【答案】10  【解析】解：根据垂线段最短，当的时候，DP的长度最小， ，即，又， ，又， ，又，， ，又， 故答案为： 根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出，由角平分线性质即可得，由AD的长可得DP的长． 本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角平分线的性质，解题的关键学会利用垂线段最短解决最值问题． 16.【答案】26  【解析】解：作于E，于F，连接OA， 平分，，， ， 同理，， 的面积的面积的面积的面积 ， 的周长， 故答案为： 作于E，于F，连接OA，根据角平分线的性质分别求出OE，OF，根据三角形的面积公式计算． 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17.【答案】    【解析】解：原式 ； 原式 利用有理数的乘方法则，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质计算后再算加减即可； 将原式变形后利用平方差公式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】    【解析】解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是 利用代入消元法解二元一次方程组即可； 分别求出不等式①、②的解集，再找出它们的公共部分即可． 本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． 19.【答案】解：如图所示：   【解析】根据等腰三角形、直角三角形、锐角三角形的特点和网格特点，再根据勾股定理画出即可． 本题考查了对等腰三角形的性质和勾股定理的应用，主要培养学生的观察能力和画图能力，题型较好，难度也不大． 20.【答案】解：如图所示，就是所画. ； 垂直平分；   ； 点P如图所示．   【解析】解：见答案； 线段被直线l垂直平分， 故答案为：垂直平分； 的面积，    故答案为：3； 见答案． 【分析】 根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点、的位置，在于点即顺次连接即可； 根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线； 利用所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解； 根据轴对称确定最短路线问题，连接与对称轴的交点即为所求的点 本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，熟记轴对称的性质是解题的关键． 21.【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ≌，  【解析】先证出，再由SAS证明≌ 本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 22.【答案】解：，， ， ， ， 是的角平分线， ， 在和中， ， ≌， ， 的周长， 答：的周长是  【解析】根据线段的和差得到，根据角平分线的定义，利用SAS证明≌，得，则的周长，即可得出答案． 本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形周长等知识，证明≌是解题的关键． 23.【答案】解：，， ， ， 是AC的垂直平分线， ， ， ， 的度数为  【解析】先利用三角形内角和定理求出，从而利用三角形外角的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质，从而利用等腰三角形的性质可得，最后进行计算即可解答． 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 24.【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ≌  【解析】先证明，然后根据“SAS”可判断≌ 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 25.【答案】证明：如图，过点P作于E， 平分，BP平分， ，， ， 点P为DC中点； 解：在和中， ， ≌， ， 同理可证，， ，   【解析】过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，从而得到，然后根据线段中点的定义解答； 利用“HL”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，同理可证，然后根据证明即可． 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造成全等的直角三角形是解题的关键． 26.【答案】  全等，理由如下： ，点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ， ，点D为AB的中点， 又，， ， ， 又， 等边对等角， 在和中， ， ≌  点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 与CQ不是对应边，即， 若≌，且， 则，， 点P，点Q运动的时间， 点Q的运动速度， 答：当点Q的运动速度为时，能够使与全等  【解析】解：，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以的速度由点B向C点运动， ， 即PC的长为， 故答案为： 全等，理由如下： ，点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ， ，点D为AB的中点， 又，， ， ， 又， 等边对等角， 在和中， ， ≌； 点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 与CQ不是对应边，即， 若≌，且， 则，， 点P，点Q运动的时间， 点Q的运动速度， 答：当点Q的运动速度为时，能够使与全等． 根据题意可得出答案； 由“SAS”可证≌； 根据全等三角形的性质得出，，则可得出答案． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，列代数式，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $