2025-2026学年人教版数学 八年级上册期末重点题型专练

2025-2026学年度新人教版八上期末重点题型专练 第十三章 三角形重点题型复习 班级:_______姓名:_______ 知识点1 三角形的稳定性 1. 深中通道是集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是当前世界上综合建设难度最高的跨海集群工程． 其中，桥梁段组成部分的中山大桥全长1170米，是双塔斜拉式桥．斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【详解】解：斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形的稳定性， 故选：D 知识点2 三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．5，6，11 B．3，4，5 C．4，4，10 D．1，1，2 【答案】B 【解答】解：A、5＋6＝11，故不能构成三角形．不符合题意； B、3＋4＞5，故能构成三角形，符合题意； C、4＋4＜10，故不能构成三角形，不符合题意； D、1＋1＝2，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 3. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 【答案】A 【详解】A．2＋5<8，不能组成三角形，故此选项符合题意； B．2＋4＞5，能组成三角形，故此选项不符合题意； C．3＋4＞5，，能组成三角形，故此选项不符合题意； D．8＋7＞14，，能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 现有长度分别是30cm，40cm和xcm的三根木棒，如果要将木棒首尾顺次相接形成一个三角形木架，那么x的值不能取（ ） A. 15 B. 30 C. 50 D. 75 【答案】D 【详解】解：由题意，得 ，即， ∴么x的值不能取75． 故选D． 5. 若长度分别为a，4，7的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可得，然后依此可排除选项． 【详解】解：由三角形的三边关系可得， 即， ∴只有C选项符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 6. 等腰三角形有两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况：当等腰三角形腰长为3，底边长为7时；当等腰三角形腰长为7，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形腰长为3，底边长为7时， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形腰长为7，底边长为3时， 等腰三角形的周长； 综上所述：该等腰三角形的周长是17， 故选：B． 知识点3 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180º. 7. 若等腰三角形一个角的度数是70º，则这个等腰三角形底角的度数是（ ） A. 55º B. 70º或40º C. 55º或70º D. 40º 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键．根据等腰三角形的一个角的度数为，分为顶角和底角两种情况求解，即可解题． 【详解】解：当等腰三角形的底角是时，等腰三角形的底角的度数是， 当等腰三角形的顶角是时，等腰三角形的底角的度数是， 故选：C． 8. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70º，则∠EDC等于（ ） A. 10º B. 20º C. 30º D. 40º 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 9．如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝　 　°． 【分析】根据题意，已知∠A＝75°，∠B＝65°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解． 【解答】解：如图， 由折叠的性质可得∠CDE＝∠C'DE，∠CED＝∠C'ED， ∵∠A＝75°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°﹣（65°＋75°）＝40°， ∴∠CDE＋∠CED＝180°﹣∠C＝140°， ∴∠2＝360°﹣（∠A＋∠B＋∠1＋∠CED＋∠CDE）＝360°﹣325°＝35°． 故答案为：35． 【点评】本题考查了折叠变换的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和即可得到结论． 10. 已知AD是△ABC的高，AC＝BC，∠CAD＝50º，则∠B的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．当高在等腰三角形外部时；当高在等腰三角形内部时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：当高在等腰三角形外部时，如图： ， ， ， ， 是是的外角， ， ， ； 当高在等腰三角形内部时，如图： ， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或 知识点4 直角三角形：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形. 11. 如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70º，∠C＝90º，则∠2的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由折叠的性质得：．先求出的度数，可得的值，再根据直角三角形两直角互余求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形折叠的性质、邻补角的定义、直角三角形两锐角互余，熟练掌握图形折叠的性质是解决本题的关键． 知识点5 三角形的外角：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 12. 如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEC的度数为（ ） A. 60º B.75º C. 90º D. 105º 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，直接运用三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】由题意可知，，， ， 故选：B． 知识点6 三角形的角平分线、中线和高 13．在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（　　） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 【分析】根据三角形的中线的定义得到AD＝CF，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CF， ∵△ABD的周长为41，AB＝18， ∴18＋AD＋BD＝41， ∴AD＋BD＝23， ∴CD＋BD＝23， ∵BC＝16， ∴△BCD的周长＝BC＋CD＋BD＝16＋23＝39， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫作三角形的中线． 14. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别是垂足．已知AB＝2AC，则DE与DF的长度之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由是边上的中线，得到，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合即可得到，恒等变形即可得到答案，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边上的中线， ， ，， ， ， ，即与的长度之比是， 故答案为：． 15. 如图所示，点A，B，C分别是线段BD，CE，AF的中点，若△DEF的面积为a，那么△ABC的面积为________．（用含a的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线等分面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 由为中点，设，依次利用三角形的中线等分面积表示出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵为中点， ∴， 设， ∴， ∵为中点， ∴, ∵为中点， ∴， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 故答案为：． 知识点7 三角形的重心 16．如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A．画出三角形三条角平分线的交点 B．画出三角形三条高线的交点 C．画出三角形三条垂直平分线的交点 D．画出三角形三条中线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心的定义；对于质地均匀的三角形薄板，其重心与几何重心一致，而三角形的几何重心是三条中线的交点． 【详解】解：∵ 三角形的重心是三条中线的交点，且均匀薄板的重心即为几何重心， ∴ 应画出三角形三条中线的交点． 故选：D． 17．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三条中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与几何，中点坐标公式的相关知识点．根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴，即； ，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选：D． 18．阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？ 问题探究 探究1 （1）如图2，是的中线，可以得到它们面积的大小关系为：___________(填、或)； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点为的重心，则___________． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，则的面积为___________． 探究2 小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形与图形拼成一个图形(无缝隙、不重叠)，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． 【答案】（1）；（2）2；（3）；（4）见解析． 【分析】（1）根据三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，据此判断与的关系． （2）利用三角形重心的性质，即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，来求解． （3）先根据重心性质得出线段比例关系，再结合垂直条件求出相关三角形面积，进而推导出的面积． （4）将图6的图形拆分为两个基本图形（三角形和长方形），分别确定它们的重心，连接重心的直线即为该图形重心所在直线． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 又∵和同高， ∴， 故答案为：． （2）∵点为的重心， ∴， ∴，，，， ∴即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：2． （3）连接并延长交于点． ∵点是的重心， ∴由（2）得，， ∵，， ∴，；，． ∵， ∴．，，， ∵点是重心， ∴由（2）得， ∴． ∴， 故答案为：． （4）如图所示，直线即为所求． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质、三角形中线与面积的关系、图形的拆分与重心确定，熟练掌握三角形重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为以及等底同高三角形面积相等是解题的关键． 19．如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到___________（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线，，相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等，理由见解析 (3)，， 【分析】本题考查了三角形中线平分面积． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断面积相等，面积相等，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离，所以两个三角形等底同高，所以面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， . （3）解：，，， 理由如下： 由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，. 20．地球吸引物体的每个部分，由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这个点叫作物体的重心，形状规则、质量分布均匀的物体，它的重心在它的几何中心上．如：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点上（三角形的三条中线交于点），长方形匀质薄板的重心在两条对角线的交点上，圆形匀质薄板的重心在圆心上．球的重心在球心上． (1)如图，在的网格中，的顶点都在网格格点上，仅用无刻度直尺在图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． ①作出的中线； ②作出的重心． 直接写出和的数量关系为：______． (2)根据物理学知识，将匀质薄质悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心，如图，图，分别在的边上，两点处系一根细线，将薄片悬挂至静止，在薄片上分别画悬线的延长线，，则与的交点即为的重心（图）． 如图，若在点处系一根细线，按照上述方式得到，比较与的大小关系：______（填“”或“”或“”）． (3)平面组合图形由简单平面图形组成，小帆同学查阅相关资料后发现：若把一个图形分割成两部分，则该图形的重心一定在这两部分图形的重心，所连直线上． 如图是质地均匀的直角梯形薄板，请你利用小帆查阅的方法，在图中分别用两种分割方法确定该直角梯形的重心所在直线（保留画图痕迹，所在直线分别记为，）． 则，的交点即为该直角梯形的重心（不要求画出重心）． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形中线的性质，网格作图，尺规作图，作垂直平分线． （1）①根据网格的特征找到中点，连接即可；②同理①找出的中点，连接交于点，点即为所求，再根据重心的性质即可得到和的数量关系； （2）根据题意，过的重心，得到是的中线，即可得到结果； （3）第一种，连接，分别作的垂直平分线，得到中点，即可得到，连接即可，第二种，连接，同理即可作出． 【详解】（1）解：①如图所示，为所求； ②如图所示，点为所求； 由重心的性质得， 故答案为：； （2）解：根据题意，过的重心， ∴是的中线， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，，为所求． 第十四章 全等三角形重点题型复习 知识点1 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 1．如图，△ABE≌△ACD，点D、E分别在AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，则AE长为（　　） A．3 B．2 C．4 D．5 【分析】由全等三角形的对应边相等得到AE＝AD＝3． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD， ∴AE＝AD＝3． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 2．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝35º，∠E＝115º，则∠BAC度数是（　　） A. 30º B. 35º C. 115º D. 40º 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．由全等三角形的性质得到，再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 3．如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠AOB＝　 　°． 【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠DBC，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°， ∴∠ACB＝∠DBC＝40°， ∴∠AOB＝∠ACB＋∠DBC＝40°＋40°＝80°． 故答案为：80． 【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质是解题的关键． 4．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：如图，在第一个三角形中，． 由全等三角形的性质可知． 故选：C． 5．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上，点Q在线段BD上．若△ACP与△BPQ全等，则AP的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质，能求出符合题意的所有情况是解题的关键；由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， 则， ∴； ②当时， 则， ∴ 综上，的长为或， 故答案为：或． 知识点2 全等三角形的判定：SAS，ASA，AAS，SSS，HL(直角三角形). 6．如图，已知AD∥BC，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明△ABC≌△CDA的是（ ） A. AD＝CB B. ∠B＝∠D C. AB＝CD D. ∠BAC＝∠DCA 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，全等三角形的判定定理有，，，（直角三角形还有）．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：， ， 为公共边， 、由判定，故不符合题意； 、由判定，故不符合题意； 、和，分别是和的对角，不能判定，故符合题意； 、由判定，故不符合题意． 故选：． 7. 数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即A，B两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点A，B的点C；②连接AC并延长到点D，使CD＝CA；③连接BC，并延长到点E，使CE＝CB；④连接DE，并测量出它的长度，则DE的长度就是A，B两点之间的距离．数学原理是△ABC和△DEC全等．请思考：△ABC≌△DEC所用的判定定理是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D.AAS 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【详解】解：由题意知，， 在和中， ， ． 故选：C 8. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 9. 根据下列条件，能画出唯一一个△ABC的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、，，，能画出唯一一个，故本选项符合题意； B、因为，所以不能画出；故本选项不符合题意； C、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意， D、角角角，不能确定唯一三角形．本选项不符合题意． 故选：A． 10．如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE． 【分析】由∠BAD＝∠CAE可得∠BAC＝∠DAE，即可证明． 【解答】解：由条件可知∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 11．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，延长AD到点E，使DE＝4，连接CE，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AB—BC—CD—DA运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，△CDP与△DCE全等． 【答案】或5 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴ ∴ ∴ ∵点P的运动时间为每秒3个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴ ∴ ∴ ∴（秒） 综上所述，当t的值为或5秒时，与全等． 故答案为：或5． 知识点3 全等三角形的判定与性质 12．如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角角边 D. 角边角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质的应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 根据题中条件证出和全等,利用全等三角形的性质即可说明. 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴就是的平分线. 故选：A 13．如图，∠EAD＝∠CAB，AE＝AC，AD＝AB．求证：∠E＝∠C． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴． 14．已知：如图，点E，C在线段BF上，且BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF．求证AC＝DF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据等式的性质得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 15. 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB＝DC，求证：∠A＝∠D． 【答案】见解析 【解析】 【分析】只需证明△ACB与△DBC全等即可． 【详解】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB， ∴△ACB与△DBC均为直角三角形， 在Rt△ACB与Rt△DBC中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△DBC（HL）， ∴∠A＝∠D， 【点睛】本题考查全等全角三角形的判定与性质，是基础题．注意本题是对两个直角三角形全等的判定，熟悉“HL”定理是解答的关键． 知识点4 角平分线的性质和判定：（1）性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；（2）判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 16. 如图，△ABC中，AB＋AC＝8，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，AP交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE＝4，那么△ABC的面积是（ ） A. 10 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、角平分线的性质，过点作于点，由作图过程可知，射线为的平分线，可得．再根据的面积为可得答案．熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图过程可知，射线为的平分线， ， ． 的面积为． 故选：B． 17. 如图，为了促进某区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△ABC的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的三条角平分线的交点处， 故选：． 18. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， 点D在OB上， 若PC＝3，OD＝8， 则△POD的面积为（ ） A. 3 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ∵， ∴的面积为：， 故选：C． 19. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E．若△ABC的面积为10，△BPC的面积为7，PE＝4，则△ABC的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．连接，过点作于点，于点，由角平分线的性质，得到，进而得出，再根据，求出，即可求出的周长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 和的外角平分线交于点，且， ， 的面积为7， ， ， 的面积为10， ， ， ， ，即的周长为12， 故选：D． 20. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90º＋∠C；②若OD＝a，AB＋BC＋CA＝b，则S△ABC＝ab；③当∠C＝60º时，AF＋BE＝AB．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】由，，推导出，则，可判断①正确；连接，作于点，于点，由角平分线的性质得，求得，可判断②错误；在上截取，连接，由，求得，则，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：△的角平分线、交于点， ，， ， ，故①正确； 如图1，连接，作于点，于点， 平分，平分，交于点，且于点， ， ， ，故②错误； 如图2，在上截取，连接， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ，故③正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质及定义是解题的关键． 21. 某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在△ABC中，AM是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在△ABC中，AD是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现△ABD和△ACD的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． （1）【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________＝________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． （2）【应用结论】如图3，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD＝2CD，E是AB的中点，连接CE．①求证：AD垂直平分CE； ②在图中画出△ABD边上的高BF（只需体现BF的位置），并求． 【答案】（1）①，；②见解析 （2）①证明见解析；②图见解析，1 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质、三角形面积公式，可得答案； （2）①由（1）得，依次推出，，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得垂直平分；② 根据高的定义作，延长交的延长线于点G，设，，则，，再证，推出，，，最后根据列式得出，即可得出． 【小问1详解】 解：①根据“发现”，完成填空：， ②选择： 在中，是它的角平分线， 点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为h， 则； 选择： 点D在上， 点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为， 则； 小问2详解】 解：①证明：， ， 由（1）得， ， 是的中点， ， ， 又是的角平分线， 垂直平分； ②如图，即为所求； 延长交的延长线于点G， 设，， 由①得， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 由①得， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，第二问有一定难度，正确作出辅助线，熟练运用三角形面积公式是解题的关键． 知识点5 基本尺规作图——平分已知角 22. 如图，用直尺和圆规作一个角的角平分线，能得出∠AOP＝∠BOP的依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 连接，，由作图痕迹可知，，，结合全等三角形的判定可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，， 由作图痕迹可知，，， ， ， ， 能得出的依据是． 故选：B． 23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交边BC于点M； （2）若CM＝3，求线段BC的长． 【分析】（1）根据作角平分线的方法作图即可； （2）根据含30度直角三角形的性质即可求出BC． 【解答】解：（1）如图所示，AM即为所求； （2）∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵AM是∠BAC的角平分线， ∴∠CAM＝∠BAM＝30°， ∴AM＝2CM＝2×3＝6， ∵∠BAM＝∠B＝30°， ∴AM＝BM＝6， ∴BC＝CM＋BM＝3＋6＝9． 【点评】此题主要考查了复杂作图，含30度直角三角形的性质求和勾股定理，关键是正确画出图形，熟练掌握含30度直角三角形的性质． 知识点6 全等三角形的性质与判定综合 24. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90º，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥CE于点D，BE⊥DE于点E，则CD与BE的数量关系是____________； （2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥DE于点E，AD＝2cm，DE＝1.6cm，求BE的长； （3）拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中A(－1.5,0)，C(1.5,3.5)，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90º，AC＝BC，求B点坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由，可得，，则，证明，即可得解； （2）同理可证；则，，计算求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别交于点，证明得到，得出，，从而可得出结论． 【小问1详解】 解：与的数量关系是． 证明：， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在与中， ， ， 又， ； 【小问3详解】 解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，分别交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， 点坐标为 25. 已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E． （1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC＋∠BEC＝180°； （2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系； （3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED． 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【解析】 【详解】分析：（1）根据余角的性质得到∠DEC＝∠BAC，由于∠DEC＋∠BEC＝180°，即可得到结论；（2）根据角平分线的性质得到∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，于是得到结论；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC＝60°，得到∠BEC＝90°＋∠BAC＝120°，求得∠FEB＝∠DEC＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM＝60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF＝EM，同理DE＝EM，即可得到结论． 本题解析： (1)∵BD⊥AC，CF⊥AB， ∴∠DCE＋∠DEC＝∠DCE＋∠FAC＝90°， ∴∠DEC＝∠BAC,∠DEC＋∠BEC＝180°， ∴∠BAC＋∠BEC＝180°； (2)∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠EBC＝∠ABC,∠ECB＝∠ACB,∠BEC＝180°−(∠EBC＋∠ECB)＝180°− (∠ABC＋∠ACB)＝180∘−(180°−∠BAC)＝90°＋∠BAC， (3)作∠BEC的平分线EM交BC于M， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BEC＝90°＋∠BAC＝120°， ∴∠FEB＝∠DEC＝60°， ∵EM平分∠BEC， ∴∠BEM＝60°， △FBE与△EBM中， ∠FBE＝∠EBMBE＝BE∠FEB＝∠MEB， ∴△FBE≌△EBM， ∴EF＝EM，同理DE＝EM， ∴EF＝DE. 点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键. 第十五章 轴对称重点题型复习 知识点1 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 ，这个图形就叫作轴对称图形. 1. 如图所示，第33届夏季奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴”进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图标都不能找到这样的一条直线，使汉字沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称汉字； C选项中的图标能找到这样的一条直线，使汉字沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称汉字； 故选C． 2. 下列图形中，为轴对称的图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形． 知识点2 关于x轴、y轴的对称点坐标：点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐标为 . 3．点M（2，－3）关于x轴的对称点是　 ，关于y轴的对称点是 . 【分析】“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，据此判断即可． 【解答】解：点M（2，－3）关于x轴对称点的坐标为（2，3），关于y轴的对称点是（－2，－3）． 故答案为：（2，﹣3），（－2，－3）． 【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 4. 已知M(a－2,b－1)关于x轴对称的点为N(4,2)，则ab＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此可得a，b的值，进而得出结论． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 知识点3 线段的垂直平分线：(1)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 相等.(2)判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 上. 5. 如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（　　） A. （0，1） B. （3，1） C. （1，﹣1） D. （0，0） 【答案】D 【解析】 【分析】到△ABC三个顶点距离相等的点即为AB与AC的垂直平分线的交点，找到该点即可． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O， ∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0）， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠DAC＝∠BAC，∠ACD＝∠ACB． （1）求证：AC是线段BD的垂直平分线； （2）若对角线AC＝10，BD＝8，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质： （1）证明全等得到，，即可证明； （2）根据垂直平分线的性质得到，，再根据，，即可求解． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ， ，， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线； 【小问2详解】 解：由（1）知是线段的垂直平分线， ，， ，， 四边形的面积 ． 知识点4 等腰三角形的性质与判定：(1)定义：有 相等的三角形是等腰三角形.(2)性质：①等腰三角形的两个底角相等(简写成 ).②等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线重合(简写成 ).(3)判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成 ). 7．（3分）若等腰三角形的一边长为8cm，周长为18cm，则腰长为（　　） A．10cm或5cm B．8cm或5cm C．8cm或2cm D．5cm 【分析】分8cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【解答】解：当三边为8cm，8cm，2cm，等腰三角形成立，腰长是8cm； 当三边为8cm，5cm，5cm，等腰三角形成立，腰长是5cm． 故腰长是8cm或5cm． 故选：B． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论是关键． 8. 如图，在△ABC中，∠ABC＝50º，∠ACB＝80º，延长CB至D，使DB＝BA，延长BC至E使CE＝AC，则∠DAE＝________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质．由，，据三角形外角性质可得；同理可得；再由三角形内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴； 同理可得； ∴， 故答案为：． 9. 如图，△ABC中∠C＝90º，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在边AC上的点F处，若∠CFD＝60º，且△AEF为等腰三角形，则∠A的度数为（　　） A. 30º或40º B. 40º或50º C. 50º或60º D. 30º或60º 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，根据等边对等角的性质，结合平角的定义求解即可． 【详解】解：中，， ， 由折叠的性质可知，， 分三种情况讨论： ①当时，， ，， ， ； ②当时，， ， ， ； ③当时，， ， 此种情况不成立； 综上可知，的度数为或， 故选：B． 10. 【追本溯源】：题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交BC于点G，交DC的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②已知AD＝10，CD＝6，求CG的长． 【答案】（1）见解析；（2）①B；②4 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形的判定可得出结论； ②由（1）可知，，进一步则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①共有四个等腰三角形．分别是：， 理由如下：由（1）知：， ∴是等腰三角形； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：B； ②∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． ∵， ∴∠EAG＝∠AGB， ∴， ∴， ∵. 知识点5 等边三角形的性质与判定：(1)定义：三边相等的三角形是等边三角形.(2)性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 .(3)判定：① 都相等的三角形是等边三角形.②有一个角是60º的 三角形是等边三角形. 11. 如图，在一个房间内，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75º，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为45º，那么MN的长是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米， ， ， ∴为等边三角形， 米， 故答案为：． 12. 已知，点P是等边三角形ABC的边BC上的一点（点P与点C、点B不重合），则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最大的内角的大小为（ ） A. 90º B. 100º C. 110º D. 120º 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作交于点，证明是等边三角形得，则，，由此即可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： 是等边三角形， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，， 在以线段，，为边的三角形中，最大的内角为． 故选：． 13. 如图，点E在△ABC的外部，点D边BC上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2，AE＝AC，BC＝DE． （1）求证：AB＝AD； （2）若∠1＝60º，判断△ABD的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）等边三角形．理由见解析. 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识． （1）由结合可得，即可证得，由此即可得到； （2）由可得，由可得，，进而可得，由此即可得到，这样结合即可得到是等边三角形. 【小问1详解】 证明：∵，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 知识点6 含30º角的直角三角形性质：直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的 . 14．如图，中，，，于H，若，则（    ） A．3 B．6 C．12 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义. 根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 15．如图，在中，，点D为上一点，连接，过点D作于点E；若，则（   ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定及含角的直角三角形的性质，解题的关键是由判定BD为角平分线，结合角的性质计算边长． 由及垂直条件得平分；结合、得，在中求；再由得，进而求． 【详解】解：∵ ，，， ∴平分， ∵ 在中，，， ∴ ，则， 在中，， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 16．如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而求得，再得到，根据含角的直角三角形的性质求得，最后根据即可得解． 【详解】解：，， ， ， ，即， ， ∴， ∴， ， ∵， ， ， 故选：D． 17．如图，，，，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的性质，熟练掌握以上性质定理是解本题的关键． 过点作于点，根据等角对等边以及三角形外角的性质可得，，然后根据所对的直角边等于斜边的一半可得的长，根据平行线的性质以及角平分线的性质可得结果． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 故答案为：3． 18．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行、10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东60°方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围14海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)30海里 (2)不会有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的判定即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，，（海里）， ， ， （海里）， 答：处到灯塔的距离为30海里； （2）解：不会有触礁的危险，理由如下： 过作交的延长线于点， ，（海里）， （海里） ， 若这条船继续由西向东航行不会有触礁的危险． 知识点7 网格作图—轴对称变换 19. 如图，△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,5)，B(1,3)，C(3,1)． （1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C； （2）已知P为y轴上一点，若△PCC1的面积为12，则点P的坐标为____________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）设点的坐标为，，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，△即为所求． 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 的面积为12，， ， 解得， 点的坐标为． 故答案为：． 20. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A(－3,5)，B(－5,2)，C(－1,3)，直线l经过点(0,1)且与x轴平行． （1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，并写出点A′的坐标； （2）若点P(a,b)是△ABC内部一点，点P关于直线l的对称点为Q，且PQ＝6，则b的值为 ． 【答案】（1）画图见解答； （2）4 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）由题意得，点的坐标为，即可得，求出的值即可． 【小问1详解】 如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 【小问2详解】 ∵点关于直线l的对称点为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， 解得 故答案为：4． 知识点8 五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③平分已知角；④作已知线段的垂直平分线；⑤过一点(直线上一点或直线外一点)作已知直线的垂线. 21. 已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 22. 如图，△ABC(∠B＞∠A)． （1）用尺规作图在边AC上找一点D，使DA＝DB（保留作图痕迹）． （2）在（1）的情况下，连接BD，若CB＝CD，∠A＝35º，求∠C的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线与相交于D，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等； （2）根据等腰三角形等边对等角和三角形外角的性质可得，再根据等腰三角形等边对等角可得，根据三角形内角和定理即可求得． 【小问1详解】 解：如图，． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作线段的垂直平分线，三角形外角的性质，等腰三角形的性质定理，三角形内角和定理．（1）中掌握画线段垂直平分线的画法是解决此题的关键；（2）理解等腰三角形等边对等角和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解决此问的关键． 23. 如图，在△ABC中，∠C＝90º，∠B＝36º． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接AD，求∠CAD的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确的作出垂直平分线． （1）依据线段垂直平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理求出，由线段垂直平分线的性质可知，由等边对等角得到，然后求出的度数即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 知识点9 综合与实践——最短路径问题 24. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论． 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点Q，则，由两点之间线段最短可知，此时管道长度最短． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 25．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若点P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 26．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 知识点10 三角形综合题型1——以直角三角形为背景 27. 已知，在△ABC中，． （1）【独立思考】如图1，，平分，交于点D，交的延长线于点E，，求的长；（提示：分别延长交于点F） （2）【实践探究】如图2，，点D为边的中点，分别交于点F，E．求的度数； （3）【问题拓展】如图3，分别是上的点，且，当的值最小时，则的度数为 °． 【答案】（1）3 （2） （3）72 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理、外角定理等等，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）延长交于点F，利用证，有，由可知，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据同角的余角相等得到，根据三角形的外角性质解答即可； （3）过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出结论． 【小问1详解】 解：延长交于点F，如图1， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，在右侧，过点C作，且，连接． ∵， ∴， ∴， ∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：72． 知识点11 三角形综合题型2——以等腰(或等边)三角形为背景 28. 如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60º．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质平行线的判定等知识。①根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得为等边三角形，所以，据此判断出即可．③根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．④首先根据，可得，然后判断出，再根据，即可判断出．⑤，据此判断即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，结论①正确． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，结论②正确． ∵， ∴，结论③正确． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，结论④不正确． ∵，结论⑤正确． 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤． 故选：C． 29. 如图，点D为等边△ABC的边BC上的一点，作射线AD，，作点B关于射线AD的对称点E，直线CE交射线AD于点F． （1）求证：∠BCF＝α； （2）求证：FA＝FE＋FC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质以及全等三角形的判定与性质，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）先连接，得出，表示出和，即可得出； （2）由题意作交于点，连接，随后证明，据此即可证明． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵点关于射线对称点为， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，作交于点，连接． ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵点关于射线的对称点为， ∴， ∴， ∴． 30. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，A(3,0)，点M为y轴上一动点（不与点O重合）． 【问题探究】 （1）如图1，△AOB为等边三角形，点B在第一象限，连接AM，以AM为边，在AM上方作等边△AMN，点M在运动过程中； ①当∠BAN＝26º时，∠OAN＝ ；（直接写出答案） ②连接ON，求ON的最小值； 【问题拓展】 （2）如图2，点P为x轴负半轴上一点，始终保持OP＝OM，且OM＞3，连接AM，过点P作PH⊥AM于H，直线PH与y轴交于点K，连接OH，点M在运动过程中，∠OHP的度数是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）①或；②；（2）不变化， 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②如图1，连接，先证明，则，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即可解答； （2）如图2，过点于E，作于F，则，证明和，即可解答． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴当在内部时， ； 当在外部时， ； 故答案为：或； ②如图1，连接， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N始终在过点B且与垂直的直线上运动， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵中，， ∴， 即的最小值是； （2）点M在运动过程中，的度数没有发生变化，是定值， 如图2，过点O作于E，作于F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，分类讨论． 知识点12 三角形综合题型3——以等腰直角三角形为背景 31．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D和点M分别在AC和BC上，∠CMD＝∠ABC，CN⊥MD，垂足N在MD的延长线上． （1）如图①，当点M与点B重合时， ①∠DCN的度数为 　 　°； ②证明：CN＝BD； （2）如图②，当点M在线段BC上时（点M与B、C不重合），CN和MD的数量关系是否会发生变化？若有变化，请求出变化后的数量关系，若没有变化，请说明理由． 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得出∠CMD＝22.5°，由直角三角形的性质可得出答案； ②延长CN、BA交于点H，证明△ABD≌△ACH（ASA），得出BD＝CH，证明△CNB≌△HNB（ASA），得出CN＝HN＝CH，则可得出结论； （2）过点M作MG⊥CA，交CN的延长线于点H，同（1）的方法可得出结论． 【解答】（1）①解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝45°， ∵， ∴∠CMD＝22.5°， ∵CN⊥MD， ∴∠CND＝90°， ∴∠CND＝∠BAC， ∵∠ADB＝∠CDN， ∴∠DCN＝∠ABD＝22.5°， 故答案为：22.5； ②证明：延长CN、BA交于点H， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠CAH＝90°， ∵BD⊥CN， ∴∠CNB＝∠CAH＝90°， ∴∠ABH＝∠ACH＝90°﹣∠H， 在△ABD和△ACH中， ， ∴△ABD≌△ACH（ASA）， ∴BD＝CH， ∵∠CMD＝∠ABC， ∴∠NCB＝∠EBH， 在△CNB和△HNB中， ， ∴△CNB≌△HNB（ASA）， ∴CN＝HN＝CH， ∴CN＝DB． （2）解：CN和MD的数量关系不会发生变化． 理由：过点M作MG⊥CA，交CN的延长线于点H， 则AB∥MG， ∴∠ABC＝∠GMC， ∵∠CMD＝∠ABC， ∴∠CMD＝∠CMG， 由（1）可知△MGD≌△CGH， ∴MD＝CH， 同（1）可知CH＝2CN， ∴CN＝MD． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握以上知识． 32. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，点D是BC边上的动点(点D与点B，C不重合)，连接AD，作△ABD关于AD对称的△AED，设∠ADB＝α． （1）当DE平分∠ADC时， ①求α的值； ②求证：BD＝AD＋CD； （2）若点E与点C不重合，连接CE，当CE＝AD时，求α的值． 【答案】（1）①；②见解析 （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了对称的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①由题易得，再根据平分得到，进而利用平角性质求解； ②要证线段和差，优先考虑截长补短，过点A作，证即可得证； （2）分类讨论：当点E在上方时可证出，此时，当点E在下方时可证出，进而得到． 【小问1详解】 解：①∵与关于对称， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 解得； ②如图，过点A作， 则， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵与关于对称， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：①当点E在上方时，如图所示，设与交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点E在下方时，如图所示，设与交于点H， 同理可得，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 综述所述：或． 知识点13 三角形综合题型4——新定义问题 33. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． （1）如图1，△ABC和△ADE互为“友好三角形”， 其中， 连接，求证：； （2）点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边向右构造△ADE，使得△ABC和△ADE互为“友好三角形”，其中，连接， 点F在线段右上方， 且点 E， C， F三点共线． 如图2， 当点 D 在线段的左侧时， 求证：； 如图3，当点D 在线段上时，与的数量关系是否发生改变，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）① 见解析；②与的数量关系不变，，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识． （1）证明即可得到结论； （2）①分别过点A作于点M，于点N，由全等的性质得到，，由等积法求出，由角平分线的判定定理即可证明结论；②仿照①的证明过程解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， 在与中， ； 【小问2详解】 ①证明：分别过点A作于点M，于点N， 由（1）得，， ， ， ， 又∵，， ； ②解：与的数量关系不变，，理由如下： ∵， . 在与中， ， ， ，， 分别过点A作于点M，于点N， ， ， 又∵，， ， 即与的数量关系不变. 34. 阅读两则材料，然后根据材料解决问题： 【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”． 解决以下4个问题： （1）如图1，在中，，，，写出图中一对“等角三角形”； （2）如图2，△ABC中，，，是△ABC的角平分线．求证：为△ABC的“等角分割线”； （3）在△ABC中，，是△ABC的等角分割线，则的度数可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）△ABC与（答案不唯一） （2）见解析 （3）ACD 【解析】 【分析】（1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴△ABC与，△ABC与，与是等角三角形； 【小问2详解】 证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为△ABC的等角分割线； 【小问3详解】 解：∵是△ABC的等角分割线， ∴， 当是等腰三角形，和△ABC是等角三角形时， ①如图，时，， ∴， ∴； ②如图，时，， ， ∴， ∴； ③时，， ∴，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当是等腰三角形，和△ABC是等角三角形时， ④如图，时， ， ⑤如图，时， ， 设， 则， 由题意得，， 方程无解，不符合题意，舍去， ⑥如图，时， 设，则， ∴， 解得， 综上的度数为或或或， 故选：ACD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，一元一次方程的应用等知识，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第十六章 整式的乘法重点题型复习 知识点1 幂的运算性质：①；②；③；④. 1．（3分）下列式子运算正确的是（　　） A．3x•4x＝12x B．（x2y）3＝x2y3 C．x3•x4＝x7 D．（x3）4＝x7 【分析】根据幂的运算，am×an＝am＋n，（ab）n＝anbn，进行计算，即可． 【解答】解：A.3x与4x是同类项，可以合并，3x＋4x＝7x，A不符合题意； B．根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘”知（x2y）3＝x6y3，B不符合题意； C．根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知x3•x4＝x3＋4＝x7，C符合题意； D．根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”知（x3）4＝x12，D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，根据运算法则对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 已知，，则的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，运用相关运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：12 4. 若“※”代表一种运算，的结果是，则“※”代表的运算符号可以为（ ） A. × B. C. ＋ D. - 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的除法．根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴“※”代表的运算符号可以为， 故选：B 知识点2 整式的运算：单×单，单×多，多×多，单÷单，多÷单. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式以及幂的乘方和积的乘方法则分别判断． 【详解】解：（a-b）（-a-b）=b2-a2，故选项A错误； 2a3＋3a3=5a3，故选项B错误； 6x3y2÷3x=2x2y2，故选项C正确； （-2x2）3=-8x6，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，多项式除以单项式，多项式乘多项式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 7. 如果，则m的值为（　　） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．先根据多项式乘多项式法则计算，再根据已知条件，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 8. 已知一个正方形的边长为acm，将其一边增加1cm，另一边减小2cm得到一个新的长方形，则长方形的面积为________（用含a的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式的应用，能根据题意得出代数式是解此题的关键．由题可得，得到的长方形的边长分别为，根据长方形的面积公式列出代数式，即可求解． 【详解】解：依题意，长方形的面积为 故答案为：． 知识点3 整式的混合运算：先算乘方，再算 ，最后算 . 9. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】解： ． 【小问3详解】解： ． 【小问4详解】 解： ． 【小问5详解】解： = ． 知识点4 整式的化简求值 10．先化简，再求值：（x﹣3y）（﹣x＋y）＋（x﹣2y）2，其中x＝1，y＝． 【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣3y）（﹣x＋y）＋（x﹣2y）2 ＝﹣x2＋xy＋3xy﹣3y2＋x2﹣4xy＋4y2 ＝y2， 当时，原式＝（）2＝． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 知识点5 乘法公式——平方差公式：. 11．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点：，是解题的关键． 根据平方差公式，判断是否具有使用公式的条件，即看乘积中是否能写成的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、，x相同，a与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； B、，两项都互为相反数，无相同项，不符合公式，故不能用平方差公式进行计算； C、，中x相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； D、，m相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算． 故选：B． 知识点6 平方差公式的几何背景 12. 如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：D． 13．如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图②：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图③：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图④：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得． 【详解】解：图①：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图②：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 图③：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图④：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 综上，能够验证平方差公式的有4个， 故选：D． 14．已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用平方差公式计算即可求解；②利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； （2）解：① ； ②原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 知识点7 乘法公式——完全平方公式：. 15. 已知，则代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式，得出，再把代入，结合二次根式的性质，计算即可得出答案． 详解】解：∵， 又∵， ∴原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式的性质、求代数式的值，解本题的关键在熟练掌握完全平方公式． 16. 已知，，那么的值为（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 将两式展开后再相减即可得到结果． 【详解】解：， ①， ， ②， 得：， 故选：A 17. 以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．令，，根据题意得到，，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：令，， 长方形的四条边为边向外作四个正方形，四个正方形的周长之和为40，面积之和为26， ，， ，， ， 故答案为：6． 知识点8 完全平方公式的几何背景 18. 综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形； 步骤2：沿虚线用剪刀剪开； 步骤3：按如图2所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）①图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）； ②观察图1，图2，请写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图3，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向上分别作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，点E在CD上，连接AE，若AB＝11，DE＝3，求△ACE的面积． 【答案】（）；； （）． 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （）根据题意可得出图中阴影部分正方形的边长； 根据图中大正方形边长为，阴影部分正方形的边长为，进而可得出，，之间的等量关系； （）设，，依题意得，，根据（）结论得，由此可得的面积． 【详解】解：（）依题意得：图中阴影部分正方形的边长为：， 故答案为：； ∵图2中大正方形的边长为：， ∴图中大正方形的面积为：， ∵图中阴影部分正方形的边长为：， ∴图中阴影部分正方形的面积为：， 由拼图可知：， 故答案为：； （）设，， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形，且， ∴，， ∵， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴． 19. 基本知识：通过用两种不同方法计算图1的面积，发现：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2恒成立．基于此，请解答下列问题： （1）直接应用：若ab＝4，a＋b＝5，直接写出a2＋b2的值为 ； （2）类比应用：若a(3－a)＝2，则a2＋(3－a)2＝ ； （3）拓展迁移：为落实国家劳动实践教育的政策，使同学们体验劳动的快乐，掌握劳动技能．某学校计划组织八年级的学生在学校实践园开展劳动实践活动．首先在实践园用栅栏围成一个△ABC区域，用来种植草坪（如图2），其中AC⊥AB于点A，AC与AB两边的长度和为30m，然后再以AC，AB为边分别向外扩建成正方形ACDE和正方形ABFG的用地，分别种植三角梅和月季花，向外扩建的两个正方形面积和为500m2．请根据题意求种植草坪的△ABC的面积． 【答案】（1）17 （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景． （1）根据代入计算即可； （2）设，，由题意得，，根据代入计算即可； （3）设，，由题意得，，，根据代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：17； 【小问2详解】 解：设，，则，， ∴ ， 故答案为：5； 【小问3详解】 解：设，，由题意得，，， ∴ ． 即种植草坪的的面积为． 知识点9 整式的乘法综合 20. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用KT板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知KT板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含a、b的代数式表示图2的KT板模型的总面积（结果需化简）； （2）若a＋b＝7，ab＝，求KT板总面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据板模型的总面积为上面的三角形的面积中间梯形的面积下面梯形的面积，列式计算即可得解； （2）先利用完全平方公式得出，再代入（1）中所求的式子即可得解． 【小问1详解】 解：由图可得： 板模型的总面积为： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴板模型的总面积为． 21．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请根据图2将多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片摆成一定的图形，并将多项式进行因式分解． (3)若为实数，，，利用（1）的结论求的值． 【答案】(1) (2)见解析； (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据（1）中结论求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示，将2块小正方形纸片，3块大正方形纸片以及5块长方形纸片摆成一个大长方形： 图形如图所示： 所以． （3）解：由（1）得， 又，， ， ， ． 22．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法，求的最小值． 解： ，当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)若，求的最小值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； （2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可； （3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出、、的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， 当时，有最小值． 答：的最小值为． （3）解： ， ， 根据偶次方的非负性可得， 解得 ． 答：的值为． 第十七章 因式分解重点题型复习 知识点1 因式分解的意义 1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意； B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．因式分解的定义：把一个多项式分解成几个因式的积的形式，叫作把一个多项式分解因式，根据完全平方公式、因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，本选项不符合题意； B、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，本选项不符合题意； C、，原分解错误，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 知识点2 因式分解——提公因式法：. 3. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提取公因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 4. 若实数a、b满足，，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用、代数式求值等知识点，熟练掌握提公因式法成为解题的关键． 将左边因式分解可得，再结合即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 答案为：． 5. 如图，把R1、R2、R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3．当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，U的值为______． 【答案】220 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把，因式分解为，再进行计算求值． 【详解】解： ． 故答案为：220． 知识点3 因式分解——运用公式法： ①平方差公式：；②完全平方公式：. 6. 因式分解：（1）＝______________．（2）＝________________________． 【解析】 【分析】此多项式可直接采用平方差公式进行分解． 【详解】解：（1）＝． （2）. 【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 7．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了因式分解，平方差，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式求解即可． （2）提公因式即可求解即可． （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式求解即可． （4）先提公因式，再利用平方差分解因式求解即可． （5）先凑出，直接提取公因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解： ． 知识点4 因式分解方法的综合应用 8．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法，求的最小值． 解： ，当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)若，求的最小值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； （2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可； （3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出、、的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， 当时，有最小值． 答：的最小值为． （3）解： ， ， 根据偶次方的非负性可得， 解得 ． 答：的值为． 9．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 【答案】(1) (2) (3)，小， 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式，最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）结合材料，用换元法进行分解因式； （3）利用换元法把原式变形分解，由即可得解． 【详解】（1）解： 设， 原式 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ∵ ∴ ∴当时，多项式存在最小值，为． 故答案为：，小，． 10．阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． （1）根据示例，先利用添项法把配成完全平方式，再分解因式即可， （2）根据示例，可得，再根据积等于0，则必有因式等于即可得出的值． 【详解】（1）解： ． ． （2） ． 所以，使等式，则或， 故或． 第十八章 分式重点题型复习 知识点1 分式有意义的条件 1. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，理解分母不能等于0是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 知识点2 分式值为零的条件. 2. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查的是分式值为零的条件以及分式有意义的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键． 知识点3 分式的基本性质. 3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，运用分式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 5. 若把分式中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变． a，b都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行计算是解题的关键． 知识点4 最简分式. 6. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫作最简分式．根据最简分式的的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是最简分式； B．，故不是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式； 故选A． 7. 若是一个最简分式，则可以是（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，理解最简分式定义是解题的关键．根据最简分式的定义，即可求解． 【详解】解：A． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； B．，不是最简分式，故该选项不符合题意； C．，不是最简分式，故该选项不符合题意； D．，是最简分式，故该选项符合题意； 故选：D． 知识点5 分式的运算. 8. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟记运算法则和运算顺序是解决此题的关键．先将括号内的分式通分计算，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解． 【详解】解： ． 9. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．将，转化为：，整体代入法，求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故选：D． 10. 一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这水经次，倒出的总水量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出每次倒出水量的式子，求和，即可. 【详解】根据题意得： = = =， 故答案是： 【点睛】本题主要考查根据题意列代数式，求和，列出代数式，裂项求和，是解题的关键. 知识点6 分式的化简求值. 11. 先化简代数式 ，再从2，，1，四个数中选择一个数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】此题考查了整式的化简求值，先计算括号内的加法，再计算除法即可得到化简结果，再根据分式有意义的条件得到，代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， ∵，，， ， ， 当时， 原式． 12. 先化简，再求值：．其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后计算分式乘法化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即原式． 知识点7 实数的运算：①零指数幂和负整数指数幂；②整数指数幂. 13．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的相关运算， 根据运算法则逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于选项A：∵ ，∴ A错误； 对于选项B：∵    ，∴ B错误； 对于选项C：∵   ，∴ C正确； 对于选项D：∵       ，∴ D错误． 故选：C． 14．如果，，，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的比较，熟练掌握零指数幂，负指数幂是解题的关键，其中利用零指数法则，利用负指数法则，利用负指数和平方运算，计算每个表达式的值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：由题可得：，，， ∵， ∴， 故选：B． 15．计算：（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先求立方根，乘方运算，零次数幂，负整数次幂，然后再计算加减法即可． 【详解】解：（1） ． （2）解： 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键，根据同底数幂的乘除法和负整数指数幂的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解：解： ． （2）解： ． 知识点8 用科学记数法表示较小的数. 17．一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 将数字0.000000007用科学记数法表示，需使系数在1到10之间，通过移动小数点确定指数． 【详解】解：， 选故：B． 18．“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据1纳米米，将纳米换算成米，并用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1纳米米， ∴纳米米米． 故选：C． 19. 在显微镜下，有一种细胞形状可以近似的看成圆形，它的半径约为米，这个数用科学记数法表示为，则n的值为（　　） A. 7 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数；据此表示即可． 【详解】解：∵， ∴n等于． 故选：C． 知识点9 解分式方程. 20. 解分式方程 时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可． 【详解】解： 去分母得， 故选：D 21. 解方程：（1）； （2）． 【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以最简公分分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，当时，， 是分式方程的解． （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘， 得：， 解得：， 检验：当时，，不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 知识点10 分式方程的应用. 22. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键．设规定时间为天，根据速度路程时间列分式方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 则可列方程为， 故选：A 23. A、B两地相距160千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速前行至B、A两地，若乙车的速度是甲车速度的倍，乙车比甲车早到24分钟，求甲车的速度． 【答案】甲车速度为80千米/时. 【解析】 【分析】设甲车速度为x千米/时，则乙车的速度是x千米/时，根据“乙车比甲车早到24分钟”列出方程并解答． 【详解】设甲车速度为x千米/时，则乙车的速度是x千米/时， 依题意得：， 解得：x=80． 经检验：x=80是原方程的解． 答：甲车速度为80千米/时. 24. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 【答案】原计划每天收割5公顷的水稻 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程解， 答：原计划每天收割5公顷的水稻． 知识点：分式方程与方程或方程组综合25. 某景区有一片蔬果采摘园，小荔决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆的采摘价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬果一共支付了210元，其中西红柿比土豆少40千克． （1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克； （2）小荔计划参加爱心义卖活动，将采摘的部分蔬果拿去义卖，已知西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，西红柿的义卖单价是土豆义卖单价的2倍，土豆比西红柿多卖出12千克，求土豆和西红柿各自的义卖单价（列分式方程解应用题）．如果小荔将采摘的蔬果全部义卖出去，那么扣除采摘成本后，义卖所得是多少元． 【答案】（1）西红柿采摘了10千克，土豆采摘了50千克 （2）扣除采摘成本后，义卖所得是元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设西红柿采摘了x千克，土豆采摘了y千克，根据采摘这两种蔬果一共支付了210元，其中西红柿比土豆少40千克，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设土豆义卖单价为m元/千克，则西红柿的义卖单价为元/千克，根据西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，土豆比西红柿多卖出12千克，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设西红柿采摘了x千克，土豆采摘了y千克， 根据题意得：， 解得：， 答：西红柿采摘了10千克，土豆采摘了50千克； 【小问2详解】 解：设土豆义卖单价为m元/千克，则西红柿的义卖单价为元/千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴土豆义卖单价为5元/千克，西红柿的义卖单价为10元/千克， ∴扣除采摘成本后，义卖所得是（元）， 答：扣除采摘成本后，义卖所得是元． 知识点：分式方程与一元一次不等式综合26. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 （2）该公司原计划最多应安排8名工人施工 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间＋15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； 【小问2详解】 解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 知识点：分式方程与一元一次不等式综合27. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【答案】（1）甲单价为55元，乙单价为50元 （2）40个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 设乙种滑动变阻器的单价是x元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元． 【小问2详解】 设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． 答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器． 知识点11 分式的运算及大小比较. 28. 数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若m－n＞0，则m＞n；若m－n＝0，则m＝n；若m－n＜0，则m＜n． 【生活观察】人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为． 【数学思考】 （1）再往杯中加入m(m＞0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为_______； （2）请证明（1）中的数学关系式； 【知识迁移】 （3）在△ABC中，三条边的长度分别为a，b，c，证明：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及三角形三边关系证明是解决本题的关键． （1）根据浓度公式代入以及变甜了判断所得分式大小即可； （2）利用作差法，并化简通过判断结果的正负即可； （3）利用三角形的三边关系得到，，，即，，，在通过本题糖水不等式变形求证即可． 【详解】解：（1）由题意得：加入克糖后糖水浓度为：， 由糖水变甜可知：， 故答案：； （2）利用作差法比较大小： ． ∵，， ∴，，即， ∴，即； （3）在中，，，，且，，， ∴，，． 由糖水不等式得，，，， ∴， ∴． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度新人教版八上期末重点题型专练 第十三章 三角形重点题型复习 班级:_______姓名:_______ 知识点1 三角形的稳定性 1. 深中通道是集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是当前世界上综合建设难度最高的跨海集群工程． 其中，桥梁段组成部分的中山大桥全长1170米，是双塔斜拉式桥．斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是（ ） A. 三角形两边之和大于第三边 B. 垂线段最短 C. 三角形两边之差小于第三边 D. 三角形的稳定性 知识点2 三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．5，6，11 B．3，4，5 C．4，4，10 D．1，1，2 3. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 4. 现有长度分别是30cm，40cm和xcm的三根木棒，如果要将木棒首尾顺次相接形成一个三角形木架，那么x的值不能取（ ） A. 15 B. 30 C. 50 D. 75 5. 若长度分别为a，4，7的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 11 6. 等腰三角形有两条边长分别为3和7，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 13 B. 17 C. 13或17 D. 无法判断 知识点3 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180º. 7. 若等腰三角形一个角的度数是70º，则这个等腰三角形底角的度数是（ ） A.55º B. 70º或40º C. 55º或70º D. 40º 8. 如图是某机械厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70º，则∠EDC等于（ ） A. 10º B. 20º C. 30º D. 40º 9．如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝　 　°． 题8图 题9图 题11图 10. （无图）已知AD是△ABC的高，AC＝BC，∠CAD＝50º，则∠B的度数为______________． 知识点4 直角三角形：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形. 11. 如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70º，∠C＝90º，则∠2的度数为______． 知识点5 三角形的外角：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 12. 如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEC的度数为（ ） A. 60º B.75º C. 90º D. 105º 知识点6 三角形的角平分线、中线和高 13．在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（　　） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 14. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别是垂足．已知AB＝2AC，则DE与DF的长度之比是______． 15. 如图所示，点A，B，C分别是线段BD，CE，AF的中点，若△DEF的面积为a，那么△ABC的面积为________．（用含a的式子表示） 知识点7 三角形的重心 16．如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A．画出三角形三条角平分线的交点 B．画出三角形三条高线的交点 C．画出三角形三条垂直平分线的交点 D．画出三角形三条中线的交点 17．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三条中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 18．阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？ 问题探究 探究1 （1）如图2，是的中线，可以得到它们面积的大小关系为：___________(填、或)； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点为的重心，则___________． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，则的面积为___________． 探究2 小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形与图形拼成一个图形(无缝隙、不重叠)，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． 19．如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到___________（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线，，相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 20．地球吸引物体的每个部分，由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这个点叫作物体的重心，形状规则、质量分布均匀的物体，它的重心在它的几何中心上．如：三角形匀质薄板的重心在三条中线的交点上（三角形的三条中线交于点），长方形匀质薄板的重心在两条对角线的交点上，圆形匀质薄板的重心在圆心上．球的重心在球心上． (1)如图，在的网格中，的顶点都在网格格点上，仅用无刻度直尺在图中分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． ①作出的中线； ②作出的重心． 直接写出和的数量关系为：______． (2)根据物理学知识，将匀质薄质悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心，如图，图，分别在的边上，两点处系一根细线，将薄片悬挂至静止，在薄片上分别画悬线的延长线，，则与的交点即为的重心（图）． 如图，若在点处系一根细线，按照上述方式得到，比较与的大小关系：______（填“”或“”或“”）． (3)平面组合图形由简单平面图形组成，小帆同学查阅相关资料后发现：若把一个图形分割成两部分，则该图形的重心一定在这两部分图形的重心，所连直线上． 如图是质地均匀的直角梯形薄板，请你利用小帆查阅的方法，在图中分别用两种分割方法确定该直角梯形的重心所在直线（保留画图痕迹，所在直线分别记为，）． 则，的交点即为该直角梯形的重心（不要求画出重心）． 第十四章 全等三角形重点题型复习 知识点1 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 1．如图，△ABE≌△ACD，点D、E分别在AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，则AE长为（　　） A．3 B．2 C．4 D．5 2．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝35º，∠E＝115º，则∠BAC度数是（　　） A. 30º B. 35º C. 115º D. 40º 题1图 题2图 题3图 3．如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠AOB＝　 　°． 4．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　） A. 40° B. 64° C. 76° D. 86° 题4图 题5图 5．如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上，点Q在线段BD上．若△ACP与△BPQ全等，则AP的长为_________． 知识点2 全等三角形的判定：SAS，ASA，AAS，SSS，HL(直角三角形). 6．如图，已知AD∥BC，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明△ABC≌△CDA的是（ ） A. AD＝CB B. ∠B＝∠D C. AB＝CD D. ∠BAC＝∠DCA 7. 数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即A，B两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点A，B的点C；②连接AC并延长到点D，使CD＝CA；③连接BC，并延长到点E，使CE＝CB；④连接DE，并测量出它的长度，则DE的长度就是A，B两点之间的距离．数学原理是△ABC和△DEC全等．请思考：△ABC≌△DEC所用的判定定理是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D.AAS 8. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 9. 根据下列条件，能画出唯一一个△ABC的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10．如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE． 11．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，延长AD到点E，使DE＝4，连接CE，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AB—BC—CD—DA运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，△CDP与△DCE全等． 知识点3 全等三角形的判定与性质 12．如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角角边 D. 角边角 13．如图，∠EAD＝∠CAB，AE＝AC，AD＝AB．求证：∠E＝∠C． 14．已知：如图，点E，C在线段BF上，且BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF．求证AC＝DF． 15. 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB＝DC，求证：∠A＝∠D． 知识点4 角平分线的性质和判定：（1）性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；（2）判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 16. 如图，△ABC中，AB＋AC＝8，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，AP交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE＝4，那么△ABC的面积是（ ） A. 10 B. 16 C. 24 D. 32 题16图 题17图 题18图 题19图 17. 如图，为了促进某区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△ABC的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 以上都不对 18. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上， 若PC＝3，OD＝8， 则△POD的面积为（ ） A. 3 B. 8 C. 12 D. 24 19. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E．若△ABC的面积为10，△BPC的面积为7，PE＝4，则△ABC的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 20. 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90º＋∠C；②若OD＝a，AB＋BC＋CA＝b，则S△ABC＝ab；③当∠C＝60º时，AF＋BE＝AB．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 21. 某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在△ABC中，AM是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在△ABC中，AD是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现△ABD和△ACD的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． （1）【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________＝________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． （2）【应用结论】如图3，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD＝2CD，E是AB的中点，连接CE．①求证：AD垂直平分CE； ②在图中画出△ABD边上的高BF（只需体现BF的位置），并求． 知识点5 基本尺规作图——平分已知角 22. 如图，用直尺和圆规作一个角的角平分线，能得出∠AOP＝∠BOP的依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交边BC于点M； （2）若CM＝3，求线段BC的长． 知识点6 全等三角形的性质与判定综合 24. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90º，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥CE于点D，BE⊥DE于点E，则CD与BE的数量关系是____________； （2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥DE于点E，AD＝2cm，DE＝1.6cm，求BE的长； （3）拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中A(－1.5,0)，C(1.5,3.5)，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90º，AC＝BC，求B点坐标． 25. 已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E． （1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC＋∠BEC＝180°； （2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系； （3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED． 第十五章 轴对称重点题型复习 知识点1 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 ，这个图形就叫作轴对称图形. 1. 如图所示，第33届夏季奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，为轴对称的图形的是（ ） A. B. C. D. 知识点2 关于x轴、y轴的对称点坐标：点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐标为 . 3．点M（2，－3）关于x轴的对称点是　 ，关于y轴的对称点是 . 4. 已知M(a－2,b－1)关于x轴对称的点为N(4,2)，则ab＝______． 知识点3 线段的垂直平分线：(1)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 相等.(2)判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 上. 5. 如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（2，﹣1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（　　） A. （0，1） B. （3，1） C. （1，﹣1） D. （0，0） 6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠DAC＝∠BAC，∠ACD＝∠ACB． （1）求证：AC是线段BD的垂直平分线； （2）若对角线AC＝10，BD＝8，求四边形ABCD的面积． 知识点4 等腰三角形的性质与判定：(1)定义：有 相等的三角形是等腰三角形.(2)性质：①等腰三角形的两个底角相等(简写成 ).②等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线重合(简写成 ).(3)判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成 ). 7．（3分）若等腰三角形的一边长为8cm，周长为18cm，则腰长为（　　） A．10cm或5cm B．8cm或5cm C．8cm或2cm D．5cm 8. 如图，在△ABC中，∠ABC＝50º，∠ACB＝80º，延长CB至D，使DB＝BA，延长BC至E使CE＝AC，则∠DAE＝________． 题8图 题9图 9. 如图，△ABC中∠C＝90º，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在边AC上的点F处，若∠CFD＝60º，且△AEF为等腰三角形，则∠A的度数为（　　） A. 30º或40º B. 40º或50º C. 50º或60º D. 30º或60º 10. 【追本溯源】：题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB＝AD； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交BC于点G，交DC的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②已知AD＝10，CD＝6，求CG的长． 知识点5 等边三角形的性质与判定：(1)定义：三边相等的三角形是等边三角形.(2)性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 .(3)判定：① 都相等的三角形是等边三角形.②有一个角是60º的 三角形是等边三角形. 11. 如图，在一个房间内，有一个长为1.6米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75º，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为45º，那么MN的长是________米． 12. 已知，点P是等边三角形ABC的边BC上的一点（点P与点C、点B不重合），则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最大的内角的大小为（ ） A. 90º B. 100º C. 110º D. 120º 13. 如图，点E在△ABC的外部，点D边BC上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2，AE＝AC，BC＝DE． （1）求证：AB＝AD； （2）若∠1＝60º，判断△ABD的形状，并说明理由． 知识点6 含30º角的直角三角形性质：直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的 . 14．如图，中，，，于H，若，则（    ） A．3 B．6 C．12 D．9 15．如图，在中，，点D为上一点，连接，过点D作于点E；若，则（   ） A．12 B．10 C．9 D．6 16．如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 题15图 题16图 题17图 17．如图，，，，若，则 ． 18．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行、10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东60°方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围14海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 知识点7 网格作图—轴对称变换 19. 如图，△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,5)，B(1,3)，C(3,1)． （1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C； （2）已知P为y轴上一点，若△PCC1的面积为12，则点P的坐标为____________． 20. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A(－3,5)，B(－5,2)，C(－1,3)，直线l经过点(0,1)且与x轴平行． （1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，并写出点A′的坐标； （2）若点P(a,b)是△ABC内部一点，点P关于直线l的对称点为Q，且PQ＝6，则b的值为 ． 知识点8 五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③平分已知角；④作已知线段的垂直平分线；⑤过一点(直线上一点或直线外一点)作已知直线的垂线. 21. 已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 22. 如图，△ABC(∠B＞∠A)． （1）用尺规作图在边AC上找一点D，使DA＝DB（保留作图痕迹）． （2）在（1）的情况下，连接BD，若CB＝CD，∠A＝35º，求∠C的度数． 23. 如图，在△ABC中，∠C＝90º，∠B＝36º． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，交BC于点D，交AB于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接AD，求∠CAD的度数． 知识点9 综合与实践——最短路径问题 24. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ） A. B. C. D. 25．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若点P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是__________． 26．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 知识点10 三角形综合题型1——以直角三角形为背景 27. 已知，在△ABC中，AB＝AC． （1）【独立思考】如图1，∠BAC＝90º，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE⊥CD交CD的延长线于点E，CD＝6，求BE的长；（提示：分别延长CA、BE交于点F） （2）【实践探究】如图2，∠BAC＝90º，点D为边AB的中点，AE⊥CD分别交CD，BC于点F，E．求∠EAC－∠BCD的度数； （3）【问题拓展】如图3，∠BAC＝84ºD，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，当AD＋BE的值最小时，则∠ADB的度数为 °． 知识点11 三角形综合题型2——以等腰(或等边)三角形为背景 28. 如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，则有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60º．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 29. 如图，点D为等边△ABC的边BC上的一点，作射线AD，，作点B关于射线AD的对称点E，直线CE交射线AD于点F． （1）求证：∠BCF＝α； （2）求证：FA＝FE＋FC． 30. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，A(3,0)，点M为y轴上一动点（不与点O重合）． 【问题探究】 （1）如图1，△AOB为等边三角形，点B在第一象限，连接AM，以AM为边，在AM上方作等边△AMN，点M在运动过程中； ①当∠BAN＝26º时，∠OAN＝ ；（直接写出答案） ②连接ON，求ON的最小值； 【问题拓展】 （2）如图2，点P为x轴负半轴上一点，始终保持OP＝OM，且OM＞3，连接AM，过点P作PH⊥AM于H，直线PH与y轴交于点K，连接OH，点M在运动过程中，∠OHP的度数是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 知识点12 三角形综合题型3——以等腰直角三角形为背景 31．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D和点M分别在AC和BC上，∠CMD＝∠ABC，CN⊥MD，垂足N在MD的延长线上． （1）如图①，当点M与点B重合时， ①∠DCN的度数为 　 　°； ②证明：CN＝BD； （2）如图②，当点M在线段BC上时（点M与B、C不重合），CN和MD的数量关系是否会发生变化？若有变化，请求出变化后的数量关系，若没有变化，请说明理由． 32. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，点D是BC边上的动点(点D与点B，C不重合)，连接AD，作△ABD关于AD对称的△AED，设∠ADB＝α． （1）当DE平分∠ADC时， ①求α的值； ②求证：BD＝AD＋CD； （2）若点E与点C不重合，连接CE，当CE＝AD时，求α的值． 知识点13 三角形综合题型4——新定义问题 33. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． （1）如图1，△ABC和△ADE互为“友好三角形”， 其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE，BD，求证：CE＝BD； （2）点D是直线BC上一动点（点D不与点B，C重合），以AD为边向右构造△ADE，使得△ABC和△ADE互为“友好三角形”，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接EC，点F在线段EC右上方， 且点E，C，F三点共线． 如图2， 当点D 在线段BC的左侧时， 求证：∠ACF＝∠ACB； 如图3，当点D 在线段BC上时，∠ACF与∠ACB的数量关系是否发生改变，并说明理由． 34. 阅读两则材料，然后根据材料解决问题： 【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”． 解决以下四个问题： （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝45º，CD⊥AB，写出图中一对“等角三角形”； （2）如图2，△ABC中，∠A＝60º，∠B＝40º，CD是△ABC的角平分线．求证：CD为△ABC的“等角分割线”； （3）在△ABC中，∠A＝48º，CD是△ABC的等角分割线，则∠ABC的度数可以是（ ） A．44º B．38º C．36º D．28º 第十六章 整式的乘法重点题型复习 知识点1 幂的运算性质：①；②；③；④. 1．（3分）下列式子运算正确的是（　　） A．3x•4x＝12x B．（x2y）3＝x2y3 C．x3•x4＝x7 D．（x3）4＝x7 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的值为__________． 4. 若“※”代表一种运算，的结果是，则“※”代表的运算符号可以为（ ） A. × B. C. ＋ D. - 知识点2 整式的运算：单×单，单×多，多×多，单÷单，多÷单. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，则m的值为（　　） A. B. 4 C. D. 2 8. 已知一个正方形的边长为acm，将其一边增加1cm，另一边减小2cm得到一个新的长方形，则长方形的面积为________（用含a的式子表示）． 知识点3 整式的混合运算：先算乘方，再算 ，最后算 . 9. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 知识点4 整式的化简求值 10．先化简，再求值：（x﹣3y）（﹣x＋y）＋（x﹣2y）2，其中x＝1，y＝． 知识点5 乘法公式——平方差公式：. 11．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 知识点6 平方差公式的几何背景 12. 如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（ ） A. B. C. D. 13．如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 14．已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 知识点7 乘法公式——完全平方公式：. 15. 已知，则代数式的值是_____． 16. 已知，，那么的值为（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 17. 以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为40，面积之和为26，则长方形ABCD的面积为___________． 知识点8 完全平方公式的几何背景 18. 综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板，长为4b，宽为a(a＞b)； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形； 步骤2：沿虚线用剪刀剪开； 步骤3：按如图2所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）①图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）； ②观察图1，图2，请写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图3，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向上分别作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，点E在CD上，连接AE，若AB＝11，DE＝3，求△ACE的面积． 19. 基本知识：通过用两种不同方法计算图1的面积，发现：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2恒成立．基于此，请解答下列问题： （1）直接应用：若ab＝4，a＋b＝5，直接写出a2＋b2的值为 ； （2）类比应用：若a(3－a)＝2，则a2＋(3－a)2＝ ； （3）拓展迁移：为落实国家劳动实践教育的政策，使同学们体验劳动的快乐，掌握劳动技能．某学校计划组织八年级的学生在学校实践园开展劳动实践活动．首先在实践园用栅栏围成一个△ABC区域，用来种植草坪（如图2），其中AC⊥AB于点A，AC与AB两边的长度和为30m，然后再以AC，AB为边分别向外扩建成正方形ACDE和正方形ABFG的用地，分别种植三角梅和月季花，向外扩建的两个正方形面积和为500m2．请根据题意求种植草坪的△ABC的面积． 知识点9 整式的乘法综合 20. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用KT板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知KT板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含a、b的代数式表示图2的KT板模型的总面积（结果需化简）； （2）若a＋b＝7，ab＝，求KT板总面积． 21．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请根据图2将多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片摆成一定的图形，并将多项式进行因式分解． (3)若为实数，，，利用（1）的结论求的值． 第十七章 因式分解重点题型复习 知识点1 因式分解的意义 1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 知识点2 因式分解——提公因式法：. 3. 分解因式：________． 4. 若实数a、b满足，，则的值是_______． 5. 如图，把R1、R2、R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3．当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，U的值为______． 知识点3 因式分解——运用公式法： ①平方差公式：；②完全平方公式：. 6. 因式分解：（1）＝______________．（2）＝________________________． 7．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 知识点4 因式分解方法的综合应用 8．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法，求的最小值． 解： ，当时，有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)若，求的最小值． (3)已知，求的值． 9．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 10．阅读理解：对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添（拆）项法． 学以致用： (1)请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式分解因式； (2)请用上述的添（拆）项法将二次三项式因式分解，并直接写出使等式成立的的值． 第十八章 分式重点题型复习 知识点1 分式有意义的条件 1. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 知识点2 分式值为零的条件. 2. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 0 知识点3 分式的基本性质. 3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 化简：__________． 5. 若把分式中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 知识点4 最简分式. 6. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 若是一个最简分式，则可以是（ ） A. B. 6 C. 3 D. 知识点5 分式的运算. 8. 化简：． 9. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 10. 一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这水经次，倒出的总水量为__________. 知识点6 分式的化简求值. 11. 先化简代数式 ，再从2，，1，四个数中选择一个数代入求值． 12. 先化简，再求值：．其中． 知识点7 实数的运算：①零指数幂和负整数指数幂；②整数指数幂. 13．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．如果，，，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 15．计算：（1）；（2）． 16．计算： (1)； (2)． 知识点8 用科学记数法表示较小的数. 17．一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 18．“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 19. 在显微镜下，有一种细胞形状可以近似的看成圆形，它的半径约为米，这个数用科学记数法表示为，则n的值为（　　） A. 7 B. 6 C. D. 知识点9 解分式方程. 20. 解分式方程 时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 21. 解方程：（1）； （2）． 知识点10 分式方程的应用. 22. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 23. A、B两地相距160千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速前行至B、A两地，若乙车的速度是甲车速度的倍，乙车比甲车早到24分钟，求甲车的速度． 24. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 知识点：分式方程与方程或方程组综合25. 某景区有一片蔬果采摘园，小荔决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆的采摘价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬果一共支付了210元，其中西红柿比土豆少40千克． （1）求西红柿和土豆各采摘了多少千克； （2）小荔计划参加爱心义卖活动，将采摘的部分蔬果拿去义卖，已知西红柿和土豆的义卖所得分别是60元和90元，西红柿的义卖单价是土豆义卖单价的2倍，土豆比西红柿多卖出12千克，求土豆和西红柿各自的义卖单价（列分式方程解应用题）．如果小荔将采摘的蔬果全部义卖出去，那么扣除采摘成本后，义卖所得是多少元． 知识点：分式方程与一元一次不等式综合26. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 知识点：分式方程与一元一次不等式综合27. 某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 知识点11 分式的运算及大小比较. 28. 数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若m－n＞0，则m＞n；若m－n＝0，则m＝n；若m－n＜0，则m＜n． 【生活观察】人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为． 【数学思考】 （1）再往杯中加入m(m＞0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为_______； （2）请证明（1）中的数学关系式； 【知识迁移】 （3）在△ABC中，三条边的长度分别为a，b，c，证明：． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $