3.1.2 椭圆的简单几何性质（思维导图+5大知识点+10大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

本讲义聚焦椭圆的简单几何性质核心知识点，系统梳理范围、对称性、顶点、离心率等基础性质，明晰a、b、c的几何意义及两种标准方程的比较，延伸至直线与椭圆位置关系、中点弦问题等进阶内容，构建从概念到应用的学习支架。 资料含思维导图辅助直观认知，通过十种题型分类（如离心率计算、弦长问题、实际应用等）培养逻辑推理能力，结合卫星轨道等实例体现数学与现实联系。课中例题变式助教师突破重难点，课后全面题型设计方便学生查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

3．1．2 椭圆的简单几何性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：椭圆的简单几何性质 4 知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 5 知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较 5 知识点四：直线与椭圆的位置关系 6 知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法： 7 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：椭圆的简单几何性质 8 题型二：范围或最值问题 9 题型三：求离心率的值 9 题型四：求离心率的范围 9 题型五：点与椭圆的位置关系 10 题型六：直线与椭圆的位置关系 10 题型七：弦长问题 12 题型八：中点弦问题 13 题型九：实际应用 14 题型十：定点定值问题 16 知识点一：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为． 知识点诠释： 椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3），，； 知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边． 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系． 知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 知识点四：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有； 若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法： 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有． 题型一：椭圆的简单几何性质 【例题1】（多选题）（2025·高二·广西河池·月考）已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 【例题2】（多选题）（2025·高二·江苏泰州·期中）已知椭圆：，则（   ） A．的长轴长为8 B．的焦点坐标为 C．的离心率为 D．上的点到焦点的最小距离为2 【变式1】（多选题）（2025·高二·山东青岛·期中）若分别是椭圆的左､右焦点，是上的动点，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．最大值为 C．椭圆的焦距为2 D．存在点，使得 【变式2】（多选题）（2025·高二·云南昆明·期中）已知椭圆，下列结论正确的是（　　） A．椭圆的长轴长是6 B．椭圆的短轴长是4 C．经过椭圆焦点的最短弦长是 D．椭圆的焦点坐标分别是 【变式3】（多选题）（2025·高二·新疆喀什·期中）已知为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则（    ） A．点坐标为 B．右焦点坐标为 C． D．椭圆的方程为 题型二：范围或最值问题 【例题3】（2025·高二·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 【例题4】（2025·高二·四川遂宁·月考）已知椭圆C的方程为：，点A是椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式4】（2025·高二·广东湛江·期末）类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（   ） A．1 B． C． D． 题型三：求离心率的值 【例题5】（2025·高二·安徽芜湖·期中）已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例题6】（2025·高二·安徽合肥·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·高二·江西赣州·期中）已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四：求离心率的范围 【例题7】（2025·高二·天津南开·期中）已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题8】（2025·高二·重庆·月考）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高二·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 题型五：点与椭圆的位置关系 【例题9】（2025·高二·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【例题10】（2025·全国·二模）已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7】（2025·高二·湖南郴州·期中）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型六：直线与椭圆的位置关系 【例题11】（2025·高二·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 【例题12】（2025·高二·河北邢台·期中）已知椭圆：的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围． 【变式8】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【变式9】（2025·高二·天津和平·月考）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，过焦点作垂直于长轴的直线交椭圆于E、F， (1)求椭圆C的标准方程. (2)若过点的直线l与椭圆C有两个交点，求直线的斜率所满足的条件. 【变式10】（2025·高二·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 题型七：弦长问题 【例题13】（2025·高二·天津静海·期中）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积. 【例题14】（2025·高二·天津·期中）已知椭圆：的焦距为2，离心率为. (1)求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度. (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； 【变式11】（2025·高二·山东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 【变式12】（2025·高二·北京·期中）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【变式13】（2025·高二·新疆喀什·期中）已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 题型八：中点弦问题 【例题15】已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 【例题16】已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程. 【变式14】（2025·高二·北京·期中）已知椭圆及直线． (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长； (3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 【变式15】（2025·高二·江西南昌·月考）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 【变式16】（2025·高二·四川广安·月考）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1)经过点作直线l交椭圆交于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程． (2)求双曲线C的方程． 题型九：实际应用 【例题17】（2025·高二·河南郑州·期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（    ） A． B． C． D． 【例题18】（2025·高二·吉林松原·月考）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（    ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 【变式17】（2025·高二·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【变式18】（2025·高二·全国·单元测试）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【变式19】（2025·高二·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 题型十：定点定值问题 【例题19】（2025·高二·北京·期中）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 【例题20】（2025·高二·广东东莞·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【变式20】（2025·高三·北京房山·开学考试）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 【变式21】（2025·高三·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 【变式22】（2025·高二·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．1．2 椭圆的简单几何性质 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：椭圆的简单几何性质 4 知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 5 知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较 5 知识点四：直线与椭圆的位置关系 6 知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法： 7 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：椭圆的简单几何性质 8 题型二：范围或最值问题 10 题型三：求离心率的值 12 题型四：求离心率的范围 13 题型五：点与椭圆的位置关系 14 题型六：直线与椭圆的位置关系 16 题型七：弦长问题 18 题型八：中点弦问题 22 题型九：实际应用 26 题型十：定点定值问题 29 知识点一：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为． 知识点诠释： 椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3），，； 知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边． 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系． 知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 知识点四：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有； 若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法： 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有． 题型一：椭圆的简单几何性质 【例题1】（多选题）（2025·高二·广西河池·月考）已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 【答案】BC 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆M的离心率，椭圆N的离心率，A错误； 对于B，椭圆M与N的焦距长都为，相等，B正确； 对于C，椭圆M与N的长轴长不相等，C正确； 对于D，椭圆M的短轴长不是N的短轴长的两倍，D错误. 故选：BC. 【例题2】（多选题）（2025·高二·江苏泰州·期中）已知椭圆：，则（   ） A．的长轴长为8 B．的焦点坐标为 C．的离心率为 D．上的点到焦点的最小距离为2 【答案】CD 【解析】椭圆：，则， 的长轴长为，A选项错误； 的焦点坐标为，B选项错误； 的离心率为，C选项正确； 上的点到焦点的最小距离为，D选项正确； 故选：CD. 【变式1】（多选题）（2025·高二·山东青岛·期中）若分别是椭圆的左､右焦点，是上的动点，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．最大值为 C．椭圆的焦距为2 D．存在点，使得 【答案】BC 【解析】A：由题知，则，故A错误； B：由题可得，当点位于右顶点处时可得的最大值，此时，故B正确； C：因为，所以焦距为，故C正确； D：假设存在点，使得，则，当点位于椭圆的上下顶点时最大， 此时不妨设，因，，所以，，则，则最大时为锐角，所以不存在，故D错误； 故选：BC. 【变式2】（多选题）（2025·高二·云南昆明·期中）已知椭圆，下列结论正确的是（　　） A．椭圆的长轴长是6 B．椭圆的短轴长是4 C．经过椭圆焦点的最短弦长是 D．椭圆的焦点坐标分别是 【答案】BC 【解析】因为椭圆方程为，所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为， 经过椭圆焦点的最短弦长为，焦点坐标为，， 所以A错误，B正确，C正确，D错误. 故选：BC. 【变式3】（多选题）（2025·高二·新疆喀什·期中）已知为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则（    ） A．点坐标为 B．右焦点坐标为 C． D．椭圆的方程为 【答案】BD 【解析】 对于A，，为中点，， ，，且符号相同， ，解得：， ，，又符号相同，或，A错误； 对于B，，，则右焦点为，B正确； 对于C，设，， ，， 由椭圆定义知：，又，，， ，，即，解得：， ，C错误； 对于D，，，椭圆的方程为，D正确. 故选：BD. 题型二：范围或最值问题 【例题3】（2025·高二·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由椭圆，则，即，所以， 设，则，，， 由在椭圆上，则，即， 易知，所以的最大值为. 故选：C. 【例题4】（2025·高二·四川遂宁·月考）已知椭圆C的方程为：，点A是椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】因为椭圆C的方程为：，则， 设，则，故，且， 所以， 当时，取得最大值，故. 故选：C. 【变式4】（2025·高二·广东湛江·期末）类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设曲线上的点为，且， 可得， 其中， 所以曲线上的点到原点的距离平方最大值为. 故选：D. 题型三：求离心率的值 【例题5】（2025·高二·安徽芜湖·期中）已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 由， 故选：C 【例题6】（2025·高二·安徽合肥·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点到焦点的最大距离为7，最小距离为3， 所以，即，则椭圆的离心率. 故选：D. 【变式5】（2025·高二·江西赣州·期中）已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由，可得，所以， 又由椭圆定义可知：， 所以， 则，所以， 故离心率为, 故选：C. 题型四：求离心率的范围 【例题7】（2025·高二·天津南开·期中）已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，和均关于原点对称，令，则， 若，则， 所以椭圆离心率. 故选：A 【例题8】（2025·高二·重庆·月考）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 【变式6】（2025·高二·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，，， ， 由题意可知，，即，得， 则. 故选：B 题型五：点与椭圆的位置关系 【例题9】（2025·高二·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 【例题10】（2025·全国·二模）已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，设C的左焦点为，则， 因为，且，则，即， 于是，解得，而，点为椭圆C内一点， 即有，，整理得，又，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 【变式7】（2025·高二·湖南郴州·期中）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，点在椭圆的外部. 所以，，所以. 又椭圆焦点在轴上，所以，所以. 又，所以，所以. 故选：C. 题型六：直线与椭圆的位置关系 【例题11】（2025·高二·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 【解析】（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为， 可知，，解得， 所求椭圆的方程为； （2）由可得， ， 当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点； 当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点； 当即或时，直线与椭圆相离，无公共点； 综上所述， 当时，直线与椭圆只有一个公共点； 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆无公共点. 【例题12】（2025·高二·河北邢台·期中）已知椭圆：的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围． 【解析】（1）由题意知，解得，， 所以的标准方程为． （2）设在轴上的截距为，则的方程为， 由，消去得 因为直线与椭圆有交点，所以，解得， 所以的取值范围为． 【变式8】（2025·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【解析】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 【变式9】（2025·高二·天津和平·月考）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，过焦点作垂直于长轴的直线交椭圆于E、F， (1)求椭圆C的标准方程. (2)若过点的直线l与椭圆C有两个交点，求直线的斜率所满足的条件. 【解析】（1）由题设及椭圆方程，知且，可得， 所以椭圆标准方程为； （2）由，即在椭圆外，且在y轴上，可设直线， 代入椭圆有，整理得， 由题意有，可得，即或. 【变式10】（2025·高二·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【解析】（1）椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得： ， 椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立 消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，解得. 题型七：弦长问题 【例题13】（2025·高二·天津静海·期中）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的面积. 【解析】（1）由题可知，又，故，又因为，可得， 故椭圆的标准方程为. （2） 设直线与轴的交点为点， 则. 联立直线与椭圆，整理得. 得，则，则 =. 【例题14】（2025·高二·天津·期中）已知椭圆：的焦距为2，离心率为. (1)求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度. (2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，， 解得：，，， 则椭圆的方程为：， 椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围分别为， 顶点坐标分别为、长轴与短轴的长度分别为； （2）过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为， 由可得， 设的横坐标分别为， 可得，， 则 ， 所以线段的长为. 【变式11】（2025·高二·山东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 【解析】（1）由题意可知，记. 则， 所以，故，所以椭圆的方程为. （2）由题设可得直线的斜率为，故其方程为， 由得，所以，， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积. 【变式12】（2025·高二·北京·期中）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【解析】（1）依题意，所以，则， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 由，解得， 设，，则，， 所以的面积 ， 平方化简得，解得，所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 【变式13】（2025·高二·新疆喀什·期中）已知椭圆的方程为,左焦点为,且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求的长． 【解析】（1）由题意，椭圆半焦距且,得, 因此椭圆方程为. （2）过且斜率为1的直线为,设, 联立直线方程与椭圆方程,可得, 根据韦达定理，有. . 题型八：中点弦问题 【例题15】已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 【解析】（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：； （2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得， 则， 解得：， 所以，设弦中点， 则， 消去，得，而， 所以点的轨迹方程为. 【例题16】已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程. 【解析】设弦的端点为，，其中点是， 则，，由于点，在椭圆上，则有：， 两式做差可得，所以， 化简得（在椭圆内部的部分）． 所以被截得的弦的中点轨迹方程为：（在椭圆内部的部分）. 【变式14】（2025·高二·北京·期中）已知椭圆及直线． (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长； (3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 【解析】（1）联立直线与椭圆，可得， 整理得， 由直线与椭圆有公共点，故，可得. （2）由题设及（1），联立直线与椭圆得，则或， 而直线为，当有，当有， 所以弦长为. （3）由（1）有，令直线与椭圆交点为， 所以，则，故中点坐标为， 由，则， 所以弦的中点的轨迹方程为，即且. 【变式15】（2025·高二·江西南昌·月考）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 【解析】（1）由题意可知，得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）由题意可知直线斜率存在， 设，设，，，， 联立方程组， 消得， 因为， 设中点坐标为,， 所以，所以， 所以或， 当，中点坐标为,直线方程为：，即． 当，中点坐标为,直线方程为：，即. 【变式16】（2025·高二·四川广安·月考）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1)经过点作直线l交椭圆交于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程． (2)求双曲线C的方程． 【解析】（1）设， 当时，此时不是AB的中点，不合要求， 故， 则， 两式相减得， 故， 因为，故， 又，所以， 所以直线l的方程为，即； （2）的焦点坐标为， 设双曲线C的方程为， 则，解得， 故双曲线方程为. 题型九：实际应用 【例题17】（2025·高二·河南郑州·期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设知，解得， 所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为． 故选：C. 【例题18】（2025·高二·吉林松原·月考）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（    ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 【答案】A 【解析】设椭圆的方程为， 因为此椭圆的离心率为，且， 所以，所以， 所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为cm. 故选：A 【变式17】（2025·高二·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆的定义可知， 离心率， 因为太阳在这个椭圆的一个焦点上， 则该行星到太阳的最大距离是. 故选：B. 【变式18】（2025·高二·全国·单元测试）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 【变式19】（2025·高二·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【解析】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 题型十：定点定值问题 【例题19】（2025·高二·北京·期中）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 【解析】（1）由题得， 所以椭圆的方程为； （2）证明：由题可得直线的斜率存在，设， 联立， 则， 设，则，， 则直线AD斜率为， 所以直线AD的方程为， 令，则 ， 所以直线恒过定点，该定点为点. 【例题20】（2025·高二·广东东莞·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【解析】（1）椭圆的长短半轴长分别为，半焦距， 所以离心率. （2）如图： 设，， 由直线l与椭圆C交于异于P的两点、，得， 由，得，则， ，即， 整理得，而，于是， 此时直线，过定点，所以直线过定点. 【变式20】（2025·高三·北京房山·开学考试）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 【解析】（1）由顶点为可知， 又离心率为，即，可得， 因此， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线：，，如下图所示： 联立，整理可得， 显然，即，可得； 且， 则直线与直线的斜率分别为； 即可得 ， 所以可得，所以； 解得或； 当时，直线为，此时直线恒过点， 当时直线为，恒过，与点重合，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得， 不妨取， 则， 解得，即直线为，恒过点， 当时，直线过点，不合题意； 综上可知，直线过定点. 【变式21】（2025·高三·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 【解析】（1） 由题可得，圆心，半径，又线段的垂直平分线交半径于点， 所以，所以， 所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆，设椭圆的方程为， 则，，故，所以的方程为； （2）由题，，，所以，所以直线过，斜率为， 则直线的方程为：，联立方程组， 化简得，则， 即直线与椭圆只有一个公共点，所以直线与椭圆相切； （3）证明：设，，，则线段中点， 直线：，即， 当时，， 当时，， 所以， 又，即， 所以， 所以,两点的纵坐标之积为定值． 【变式22】（2025·高二·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 【解析】（1）因椭圆的两个焦点，，所以， 由的周长等于8，得， 即，得. 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知，设直线的方程为，. 将方程代入椭圆方程，得， 化简整理得，， . 所以，同理. 所以， 若，则，代入根与系数关系得， 即，再消去得，得无解， 故. 所以. 故为定值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $