3.1.2 椭圆的简单几何性质（10大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

3．1．2 椭圆的简单几何性质 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：椭圆的简单几何性质 2 题型二：范围或最值问题 3 题型三：求离心率的值 5 题型四：求离心率的范围 7 题型五：点与椭圆的位置关系 11 题型六：直线与椭圆的位置关系 12 题型七：弦长问题 14 题型八：中点弦问题 16 题型九：实际应用 18 题型十：定点定值问题 20 02 重难点拓展 24 题型一：椭圆的简单几何性质 1．（多选题）（2025·高二·湖南长沙·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为,是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为2 C．的周长为 D．点在圆上 【答案】CD 【解析】由可得，则，则椭圆焦距为，故B错误； 又因，，联立解得，故A错误； 的周长为，故C正确； 又因，则， 因w为点是的中点，则，即点在圆上，故D正确. 故选：CD. 2．（多选题）（2025·高二·四川达州·期末）已知焦点在轴上的椭圆，左焦点，右焦点，为椭圆上且不在轴上的一点，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围是 B．当焦距为4时，离心率为 C．当离心率为时，的周长为 D．当长轴长为时，的面积最大值为4 【答案】CD 【解析】对于A，因为椭圆的焦点在轴上，因此可得，即A错误； 对于B，当焦距为4时可得，即，可得，所以； 因此离心率为，即B错误； 对于C，结合B选项可得，； 所以的周长为，即C正确； 对于D，当长轴长为时可得，又，所以 的面积最大值为，即D正确. 故选：CD 3．（多选题）已知椭圆1， ，则下列说法不正确的是（　　） A．与顶点相同 B．与长轴长相等 C．与短轴长相等 D．与焦距相等 【答案】ABC 【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 由题意得，，. A. 的顶点坐标为，，的顶点坐标为，，选项A错误. B. 的长轴长为，的长轴长为，选项B错误. C. 的短轴长为，的短轴长为，选项C错误. D. 和的焦距都为，选项D正确. 故选：ABC. 题型二：范围或最值问题 4．（2025·高二·湖南·月考）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为． 故选：A． 5．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 故选：C 6．（2025·高二·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【解析】由椭圆，可设，其中， 则，其中， 因为，所以， 即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意. 故选：A. 7．（2025·高二·江苏南通·月考）已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（    ） A．[3,5] B．（0,5] C．[4,5] D．[16,25] 【答案】C 【解析】动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且又点P在上，椭圆与圆有公共点，实数r的取值范围是[4,5]. 故选：C. 8．（2025·高二·福建福州·期末）已知点A(m,n)在椭圆上，则的最大值是.（　　） A．6 B．8 C．3 D．2 【答案】B 【解析】由题意可得，则，故． 因为，所以，所以，即． 因此，的最大值. 故选：B. 题型三：求离心率的值 9．（2025·高二·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，不妨设在第一象限. 设，则, 由. 由. 所以椭圆的离心率. 故选：B 10．（2025·高二·重庆·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题可知，， 又因为，，故， 又因为，故. 故选：B. 11．（2025·高二·江苏徐州·期中）已知椭圆的两个焦点与短轴的两个端点构成一个正方形，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的两个焦点与短轴的两个端点构成一个正方形，得该椭圆的短轴长等于焦距， 即，则半长轴长，所以该椭圆的离心率. 故选：C 12．（2025·高二·四川广安·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆的长半轴长，设半焦距为c，则，， 因此的面积为，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 13．（2025·高二·陕西西安·期中）已知椭圆方程为，长轴的左右两个顶点分别为，，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设，则，有，即， 则，，， 则有， 则. 故选：A. 题型四：求离心率的范围 14．（2025·高二·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的标准方程为， 不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设）， 联立，则，解得：，， 所以矩形的面积为：， 当且仅当时取等， 因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是， 所以，则，即， ，即， 解得：，即. 故选：C. 15．（2025·高二·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 为直角三角形，可分为以下三类讨论： 以点为直角顶点；以点为直角顶点；以点为直角顶点. 由椭圆的对称性可知：以点为直角顶点的点有两个；以点为直角顶点的点有两个， 则要使为直角三角形的点有8个，须使以点为直角顶点的直角三角形有4个. 由椭圆的对称性可得在轴上方有两个点满足以点为直角顶点. 则， 即， 所以，解得即， 所以， 又因为椭圆离心率， 所以. 故选：C. 16．（2025·高二·广东江门·月考）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以， 即，，，所以，即， 又因为，所以椭圆离心率的取值范围为． 故选：A． 17．（2025·高二·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当点位于短轴的端点时，最大， 要使椭圆上存在一点P满足， 只要最大时大于等于即可， 即当点位于短轴的端点时，， 所以， 又椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的范围是. 故选：D. 18．（2025·高二·安徽安庆·月考）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，即， 所以点P落在以为直径的圆上，所以有解， 即有解，所以. 即，所以，所以， 又椭圆的离心率，所以. 故选：D 题型五：点与椭圆的位置关系 19．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 20．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【解析】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 21．（2025·高二·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【解析】由于，所以在内， 故选：B 22．（2025·高二·河北邯郸·月考）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线过定点，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴， 解得，又， 故选：C． 23．（2025·高二·云南临沧·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆，得， 所以，又，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 其方程为，又点在上，所以圆与椭圆有四个公共点， 如图： 所以，解得且，所以的取值范围为. 故选：A 题型六：直线与椭圆的位置关系 24．（2025·高三·天津滨海新·月考）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值. 【解析】（1）由题意可得，  则， 得椭圆方程为. （2）根据题意，联立，消去得， ， 得， 即. 25．试判断直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由. 【解析】直线与椭圆的公共点的个数为个，理由如下： 根据题意，直线，恒过定点， 把点代入椭圆，则点在椭圆的内部， 则直线与椭圆必相交，有个交点， 即直线与椭圆的公共点的个数为个. 26．对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 【解析】由，消去并整理得③， 此方程的实数解的个数由它的判别式决定，， 当时，，方程③有两个不相等的实数根，代入方程①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共点，即它们相交. 当或时，，方程③有两个相等的实数根，代入方程①得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共点，它们在这一点相切. 当或时，，方程③没有实数根，此时直线与椭圆没有公共点，即它们相离. 综上，可得： 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆有一个公共点； 当或时，直线与椭圆没有公共点. 题型七：弦长问题 27．（2025·高二·河北张家口·期中）已知椭圆的左焦点为，短轴长为4．求： (1)椭圆C的标准方程． (2)过点F且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点，求的面积． 【解析】（1）由题意知，所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2） 如图所示，过点F且斜率为1的直线l方程为， 可得，消去得，解得或， 则交点坐标为 则. 28．（2025·高三·云南昆明·月考）已知椭圆的左焦点为，点在E上． (1)求椭圆E的离心率； (2)若O为坐标原点，直线与E相交的另一个交点为B，B关于y轴对称点为C，若四边形的面积为，求． 【解析】（1）因点在E上，所以，即，所以椭圆E的离心率为． （2）因，结合椭圆的对称性可得，，， 因，轴， 则，， 四边形的面积为，则， 则， 由（1）可得，，则，则， 则． 29．（2025·高三·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【解析】（1）由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 题型八：中点弦问题 30．（2025·高二·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【解析】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 31．（2025·高二·河南·期末）设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 【解析】（1）因椭圆过点， 则有，解得， 所以椭圆C的标准方程为：； （2）依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：， 显然，设，则， 因此线段中点的横坐标，其纵坐标， 所以线段中点的坐标为. 32．（2025·高二·贵州黔南·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【解析】（1）设，则由题意可得， 化简得，故的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 故设直线，， ，得， 则， 则， 因线段的中点坐标为， 则，， 解得，经检验，满足， 则直线的方程为. 题型九：实际应用 33．（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 34．（2025·高二·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：. 35．（2025·高二·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于． 故选：D. 题型十：定点定值问题 36．（2025·高二·江苏扬州·期中）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【解析】（1）设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点， 所以. 即曲线的方程为：. （2）如图： 设，则，且，， 所以. 所以直线与直线斜率乘积为定值. 37．（2025·高二·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【解析】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）证明：由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 38．（2025·高二·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【解析】（1）（1）设，， 则直线AM，AN的斜率分别为，，且， 依题意有， 所以，所以的方程为． （2）（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为，所以， 又，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为，所以直线AP方程为， 联立的方程，消去y化简得，，解得（舍去）， 所以，所以， 所以，所以的面积为． （ⅱ）设，，由题意，l斜率存在， 设l：，联立的方程， 消去y化简得，， ， ，， 由题意得，所以 所以，即，解得或， 时，l：点A，不符合题意， 所以，此时，所以l过定点． 1．（2025·高二·四川成都·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 【答案】C 【解析】A：根据题意可知直线如果存在斜率，斜率一定不为零， 由椭圆， 设直线的方程为， 于是有， ，设， ， ， 令， ， 对钩函数在上单调递增， 所以当时，对钩函数单调递增， 于是由， 所以，即， 所以当，面积有最大值为3，因此本选项不正确； B：因为， 所以 ， 即，当且仅当时取等号， 即当时，的最小值为，所以本选项不正确； C：因为过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M， 所以， 因为， 所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为，所以本选项正确； D：由上可知：， 所以， 因为A，B两点是椭圆上非长轴上顶点， 所以由椭圆的性质可知：， 所以没有最小值，故本选项不正确， 故选：C 2．（2025·高二·四川成都·期中）如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆的长轴长等于2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为3 【答案】D 【解析】设圆柱的底面圆半径为，则，截面与底面夹角， 截面椭圆的短半轴，长半轴， 选项A：椭圆的长轴长等于，故A错误； 选项B：椭圆的离心率，故B错误； 选项C：椭圆的标准方程为，不是，故C错误； 选项D：椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为，故D正确． 故选：D． 3．（2025·高二·天津·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆：，得，即，. 如图，作出符合题意的图形， 因为椭圆和直线l都是中心对称图形，所以，. 所以的周长为. 设，则，， 又因为，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立. 故选：B. 4．（2025·高二·吉林·月考）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由动点满足方程， 根据椭圆的定义，可得动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，即，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：C 5．（2025·高二·山西·期中）已知分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知，过P作垂直于x轴，垂足为Q， 显然，得， 则. 在中，由，得， 得． 故选：C 6．（2025·高二·海南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得. 设的中点为，连接，， 则，所以，所以， 因为，，从而， 在直角中， 因为直线的斜率为，所以，所以， 则，故椭圆的离心率为. 故选：B. 7．（2025·高二·海南·月考）直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ，。 因为是的中点，所以：， 即： 点和都在椭圆上： ， 将 (1) 和 (2) 相减： ， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为 1，其方程为： ，即. 直线过点，点在椭圆内， 所以直线与椭圆相交，满足条件. 故选：D 8．（2025·高二·云南曲靖·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且满足，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解析】由题意可得，所以， 根据椭圆定义有：， 两边同时平方得：，① 因为，所以， 根据勾股定理可得，② 将②代入①中得，解得， 所以； 故选：C 9．（多选题）（2025·高二·江西抚州·期中）已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为 C．不存在点Q，使得 D．的最小值为 【答案】CD 【解析】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即， 对A：，故选项A错误； 对B：当时，有，则，故选项B错误； 对C：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点， 所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确； 对D：由椭圆的定义有， 所以，当且仅当时等号成立， 当时，,由于，则能取到，满足条件； 当时，,由于，则不能取到，此时, 综上选项D正确. 故选：CD. 10．（多选题）（2025·高二·海南·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的焦距为6 B．存在点，使得为钝角 C．的周长为16 D．若，则 【答案】ACD 【解析】将椭圆化成标准方程， 所以，所以， 对于A：焦距为，故A正确； 对于B：由A可知， 因为是上任意一点，所以设， 则 所以 ， 因为，所以恒成立，所以为锐角，故B错误； 对于C：根据椭圆定义可知， 所以的周长为，故C正确； 对于D：由C可知，所以，① 根据余弦定理可知：， 即，② 由①②可得，所以， 所以，故D正确； 故选：ACD 11．（2025·高二·广东清远·期中）设点分别为椭圆C：的左右焦点，点、分别为椭圆右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为．若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【解析】设点，因为，所以的中点， 即点在轴上，又点在直线上，所以点与点重合， 由，得，即，得， 可得，解得，或舍去， 故答案为：. 12．（2025·高二·广东清远·期中）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是 ． 【答案】 【解析】因为椭圆的焦点坐标为， 所以所求椭圆的焦点坐标为，即， 因为所求椭圆的短半轴长为， 所以， 所以， 所以所求椭圆的方程为：. 故答案为： 13．（2025·高二·四川绵阳·期中）已知点和点在椭圆上 (1)求椭圆C的标准方程及离心率； (2)若点B为直线与椭圆C的公共点，求的面积. 【解析】（1）因为点和点在椭圆上， 所以，解得，即，所以椭圆的方程为； 所以，所以，所以椭圆C的离心率为； （2）联立与椭圆，消x得， 解得或，所以或， 当时，由点知直线BP方程为，且， 点到直线BP的距离为，所以的面积为； 当时，由点知直线AB方程为，且， 点到直线AB的距离为，所以的面积为； 综上，的面积为或. 14．（2025·高二·广东清远·期中）已知椭圆的离心率为，点(2，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【解析】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆的离心率为，解得． 故椭圆的标准方程为； （2）联立，得（*）． ①，解得， 所以的取值范围为． ②设，由（*）式有， 由弦长公式有， 整理得， 解得且满足， 所以. 15．（2025·高二·上海·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 【解析】（1）因为椭圆，所以， 由椭圆几何定义得的周长. （2）由题意，设，，， 故有， 解得，所以点的坐标为， （3）当斜率不存在或斜率为0时，得，与条件矛盾舍去， 故斜率存在且不为0时， 设 ， ， 故， 同理， 所以或， 故直线方程为或或或. 16．（2025·高二·甘肃定西·期末）已知椭圆经过点，且上的点到其左焦点的最短距离为1． (1)求的标准方程； (2)设是上异于左、右顶点的点，直线交于另一点，求直线的斜率的取值范围． 【解析】（1）因椭圆经过点，则， 设，由上的点到其左焦点的最短距离为1，可得， 又，则，则，， 所以的标准方程为； （2）设直线方程为：，由题， 将直线方程与椭圆方程联立，可得，消去并化简可得： . 由题可得与椭圆有2个交点，则 即，结合，可得或. 17．（2025·高二·重庆璧山·月考）椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. (1)求椭圆的方程； (2)若面积为，求直线的方程. 【解析】（1）由题意可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，显然不符合题意； 因为，设， 联立，可得， 则， ， 因为， 所以，解得， 所以直线的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3．1．2 椭圆的简单几何性质 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：椭圆的简单几何性质 2 题型二：范围或最值问题 2 题型三：求离心率的值 3 题型四：求离心率的范围 3 题型五：点与椭圆的位置关系 4 题型六：直线与椭圆的位置关系 5 题型七：弦长问题 5 题型八：中点弦问题 6 题型九：实际应用 7 题型十：定点定值问题 8 02 重难点拓展 10 题型一：椭圆的简单几何性质 1．（多选题）（2025·高二·湖南长沙·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为,是椭圆上一点，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为2 C．的周长为 D．点在圆上 2．（多选题）（2025·高二·四川达州·期末）已知焦点在轴上的椭圆，左焦点，右焦点，为椭圆上且不在轴上的一点，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围是 B．当焦距为4时，离心率为 C．当离心率为时，的周长为 D．当长轴长为时，的面积最大值为4 3．（多选题）已知椭圆1， ，则下列说法不正确的是（　　） A．与顶点相同 B．与长轴长相等 C．与短轴长相等 D．与焦距相等 题型二：范围或最值问题 4．（2025·高二·湖南·月考）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 5．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．（2025·高二·江苏南通·月考）已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（    ） A．[3,5] B．（0,5] C．[4,5] D．[16,25] 8．（2025·高二·福建福州·期末）已知点A(m,n)在椭圆上，则的最大值是.（　　） A．6 B．8 C．3 D．2 题型三：求离心率的值 9．（2025·高二·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·高二·重庆·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·高二·江苏徐州·期中）已知椭圆的两个焦点与短轴的两个端点构成一个正方形，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·高二·四川广安·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（   ）． A． B． C． D． 13．（2025·高二·陕西西安·期中）已知椭圆方程为，长轴的左右两个顶点分别为，，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型四：求离心率的范围 14．（2025·高二·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·高二·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·高二·广东江门·月考）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（    ）． A． B． C． D． 17．（2025·高二·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 18．（2025·高二·安徽安庆·月考）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（   ） A． B． C． D． 题型五：点与椭圆的位置关系 19．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 21．（2025·高二·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 22．（2025·高二·河北邯郸·月考）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·高二·云南临沧·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，为坐标原点，若满足的点有四个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六：直线与椭圆的位置关系 24．（2025·高三·天津滨海新·月考）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值. 25．试判断直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由. 26．对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 题型七：弦长问题 27．（2025·高二·河北张家口·期中）已知椭圆的左焦点为，短轴长为4．求： (1)椭圆C的标准方程． (2)过点F且斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点，求的面积． 28．（2025·高三·云南昆明·月考）已知椭圆的左焦点为，点在E上． (1)求椭圆E的离心率； (2)若O为坐标原点，直线与E相交的另一个交点为B，B关于y轴对称点为C，若四边形的面积为，求． 29．（2025·高三·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 题型八：中点弦问题 30．（2025·高二·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 31．（2025·高二·河南·期末）设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 32．（2025·高二·贵州黔南·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 题型九：实际应用 33．（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 34．（2025·高二·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 35．（2025·高二·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 题型十：定点定值问题 36．（2025·高二·江苏扬州·期中）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 37．（2025·高二·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 38．（2025·高二·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 1．（2025·高二·四川成都·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 2．（2025·高二·四川成都·期中）如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆的长轴长等于2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为3 3．（2025·高二·天津·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·吉林·月考）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·山西·期中）已知分别是椭圆的左、右顶点，点满足，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·海南·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·海南·月考）直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·云南曲靖·期中）椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上一点且满足，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 9．（多选题）（2025·高二·江西抚州·期中）已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为 C．不存在点Q，使得 D．的最小值为 10．（多选题）（2025·高二·海南·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的焦距为6 B．存在点，使得为钝角 C．的周长为16 D．若，则 11．（2025·高二·广东清远·期中）设点分别为椭圆C：的左右焦点，点、分别为椭圆右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为．若，则椭圆的离心率为 ． 12．（2025·高二·广东清远·期中）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是 ． 13．（2025·高二·四川绵阳·期中）已知点和点在椭圆上 (1)求椭圆C的标准方程及离心率； (2)若点B为直线与椭圆C的公共点，求的面积. 14．（2025·高二·广东清远·期中）已知椭圆的离心率为，点(2，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 15．（2025·高二·上海·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点. (1)求的周长： (2)已知点是椭圆上第一象限的点且，求点的坐标； (3)过点且与垂直的直线交椭圆于两点，若四边形的面积为，求直线的方程； 16．（2025·高二·甘肃定西·期末）已知椭圆经过点，且上的点到其左焦点的最短距离为1． (1)求的标准方程； (2)设是上异于左、右顶点的点，直线交于另一点，求直线的斜率的取值范围． 17．（2025·高二·重庆璧山·月考）椭圆过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点. (1)求椭圆的方程； (2)若面积为，求直线的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $