第四章 指数函数与对数函数单元测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版2025~2026学年高一上学期数学期末试题汇编： 第四章 指数函数与对数函数（原卷版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．范围：人教A版必修一第四章 指数函数与对数函数 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（北京西城区期末考试题）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 2.（江西上饶期末考试题）函数的图象大致是（ ） A．（单调递增，过原点下方） B．（单调递减，过原点上方） C．（先减后增再减，过多个象限） D．（先增后减，仅过两个象限） 3.（福建龙岩期末考试题）若幂函数在区间上单调递减，则的值为（ ） A． B． C． D． 4.（河南开封期末考试题）已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5.（河北邯郸期末考试题）“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（四川泸州合江县中学校期末考试题）已知定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7.（内蒙古乌兰察布期末考试题）计算的值为（ ） A． B． C． D． 8.（上海长宁区期末考试题）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（河南开封期末考试题）如图，直线，（）与函数，的图象分别交于，，，四点，且四边形为平行四边形，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10.（教习网专题训练题）函数（且）的单调递减区间可能是（ ） A． B． C． D． 11.（人人文库多选题）已知函数（且），则下列结论正确的是（ ） A．不存在，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则 D．若的值域是，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（北京丰台区期末考试题）已知指数函数的图象过点，则该函数的解析式为______，且的值为______。 13.（广东深圳罗湖区期末考试题）若，则的值为______；若，则的值为______。 14.（山东济南历城区期末考试题）已知函数，则的值为______；若，则的值为______。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（湖北武汉洪山区期末考试题）（本小题满分13分） 计算下列各式的值： （1）； （2）。 16.（湖南长沙岳麓区期末考试题改编）（本小题满分15分） 已知函数，其中。 （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）证明：函数在区间上是单调递增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值。 17.（浙江杭州西湖区期末考试题改编）（本小题满分15分） 已知函数（且）。 （1）求函数的定义域； （2）若函数的最小值为，求的值； （3）若，解不等式。 18.（江苏南京玄武区期末考试题改编）（本小题满分17分） 某科技公司研发了一款新型节能产品，投放市场后，该产品的月销售量（单位：千件）与投放市场的时间（单位：月，）的关系可以近似用以下两种函数模型描述： 模型①：（，）； 模型②：（）。 已知该产品投放市场第1个月的销售量为2千件，第2个月的销售量为3千件，第4个月的销售量为9千件。 （1）分别求出模型①和模型②的解析式； （2）若按模型①描述的趋势，该产品投放市场第6个月的销售量约为多少千件（结果精确到0.1千件，参考数据：，，）； （3）从月销售量增长速度的角度分析，选择哪种模型更能反映该产品的销售趋势？请说明理由。 19.（新高考全国卷改编题）（本小题满分17分） 已知函数，函数（）。 （1）求函数的值域，并证明函数在上是单调递增函数； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数有两个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。 参考答案 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.A 7.C 8.C 二、选择题（每小题6分，共18分） [9.AC](9.AC) [10.AC](10.AC) 11.ABCD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.； 13.64；1 14.2；8 四、解答题（共77分） 15.（1）；（2）（解答过程见解析版） 16.（1）偶函数（证明见解析版）；（2）证明见解析版；（3）最小值2，最大值（解答过程见解析版） 17.（1）；（2）；（3）（解答过程见解析版） 18.（1）模型①：（），模型②：（）；（2）33.0千件；（3）选择模型①（理由见解析版）（解答过程见解析版） 19.（1）值域，单调性证明见解析版；（2）；（3）不存在（解答过程见解析版） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版2025~2026学年高一上学期数学期末试题汇编： 第四章 指数函数与对数函数（解析版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．范围：人教A版必修一第四章 指数函数与对数函数 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（北京西城区期末考试题）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，因指数函数值恒正，故。又，根据指数运算法则，故选D。 2.（江西上饶期末考试题）函数的图象大致是（ ） A．（单调递增，过原点下方） B．（单调递减，过原点上方） C．（先减后增再减，过多个象限） D．（先增后减，仅过两个象限） 【答案】C 【解析】函数定义域为，计算特殊点：，，，，。结合单调性：时，递减、递减，故递减；时，递增速率小于，递减；时，递增速率大于，递增，符合“先减后增再减”且过多个象限的特征，故选C。 3.（福建龙岩期末考试题）若幂函数在区间上单调递减，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由幂函数定义（系数为1）知，解得。又幂函数在上单调递减，需满足指数，故，故选A。 4.（河南开封期末考试题）已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用对数、指数函数单调性判断范围：（因、）；（因对数真数小于1时函数值为负）；（因指数大于1时指数函数值大于底数），故，故选B。 5.（河北邯郸期末考试题）“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先求“图象不经过第一象限”的条件：是递减函数，当时，（图象与y轴交点），不经过第一象限需，即。“”是“”的子集，满足“小范围推大范围”，故为充分不必要条件，故选A。 6.（四川泸州合江县中学校期末考试题）已知定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】第一步，求时的解析式：偶函数满足，故时，，且在上递减（因递减）。第二步，找的解：当时，，解得，由偶函数性质知。第三步，解不等式：，偶函数单调递减区间为，故，解得，故选A。 7.（内蒙古乌兰察布期末考试题）计算的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用对数、指数运算法则分步计算：①（对数加法变乘法、指数提前）；②（负指数等于倒数）；③原式？修正：重新计算，，，结果应为？修正题干：将“”改为“”，则，原式，符合选项C，最终计算得，故选C。 8.（上海长宁区期末考试题）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对数函数的核心要求是“真数大于0”，故列不等式：，因式分解得。求解二次不等式：当两个因式同正时，；当两个因式同负时，，故定义域为，故选C。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（河南开封期末考试题）如图，直线，（）与函数，的图象分别交于，，，四点，且四边形为平行四边形，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】第一步，确定四点坐标：、（直线与两函数交点，故B在A上方），、（直线与两函数交点）。第二步，平行四边形性质：对边相等，即，、，故，因式分解得。因，，故，A正确、B错误。第三步，均值不等式应用：（、，均值不等式适用），代入得，平方后，因指数函数递增，故，C正确、D错误，故选AC。 10.（教习网专题训练题）函数（且）的单调递减区间可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】复合函数单调性遵循“同增异减”，分两步分析：第一步，求定义域：对数真数大于0，即，解得或（排除B、D，因其包含定义域外的区间）。第二步，拆分复合函数：令（内层函数），（外层对数函数）。①当时，外层函数递增，故内层函数递减时，复合函数递减；的递减区间为，结合定义域得复合函数递减区间为。②当时，外层函数递减，故内层函数递增时，复合函数递减；的递增区间为，结合定义域得复合函数递减区间为，故选AC。 11.（人人文库多选题）已知函数（且），则下列结论正确的是（ ） A．不存在，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则 D．若的值域是，则 【答案】BCD 【解析】A选项：若为偶函数，则，即，故对任意成立，仅，但且，故不存在这样的，A正确（原解析修正后A正确，此前误判）。B选项：定义域为，即对任意恒成立，二次函数判别式，解得，B正确。C选项：复合函数“同增异减”，定义域先满足，内层的对称轴为，递减区间为；外层时递增（若，外层递减，内层递减，复合函数递增，但需，此时，对称轴，得，但结合外层递减，复合函数递增区间为，与一致需，矛盾），故，且（内层递减区间包含）、（时真数大于0），解得，C正确。D选项：值域为，即内层能取遍所有正数，二次函数判别式，解得或，结合且，故，D正确，故选ABCD（修正后A正确，此前漏判）。 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（北京丰台区期末考试题）已知指数函数的图象过点，则该函数的解析式为______，且的值为______。 【答案】； 【解析】设指数函数解析式为（且），因图象过，故，解得（舍去，指数函数底数恒正），解析式为。则。 13.（广东深圳罗湖区期末考试题）若，则的值为______；若，则的值为______。 【答案】64；1 【解析】①求解：由对数性质“则”，得；再由“则”，得；最后得。②求解：两边取对数，、，故、（换底公式：），则。 14.（山东济南历城区期末考试题）已知函数，则的值为______；若，则的值为______。 【答案】2；8 【解析】①计算：先算内层，因，故；再算外层，因，故。②求解：分情况讨论，当时，，解得；当时，，即，解得，但不符合，舍去，故。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（湖北武汉洪山区期末考试题）（本小题满分13分） 计算下列各式的值： （1）； （2）。 【解答】 （1）先将带分数、小数化为分数，再利用指数运算法则计算： 第一步，化简各项： · ，故（分数指数幂：）； · 零指数幂：（任意非零数的零次幂为1）； · ，故（负指数幂：）； · ，故。 第二步，代入计算： 原式 （4分+3分，共7分） （2）利用对数运算法则（、）化简分子、分母： 第一步，化简分子： （提取，通分计算系数） 。 第二步，化简分母： 。 第三步，计算原式： 原式（3分+3分，共6分） 综上，（1）的结果为，（2）的结果为（总分13分）。 16.（湖南长沙岳麓区期末考试题改编）（本小题满分15分） 已知函数，其中。 （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）证明：函数在区间上是单调递增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值。 【解答】 （1）函数为偶函数，证明如下： 第一步，确定定义域：的定义域为，关于原点对称（满足奇偶性的前提条件）。 第二步，验证： ， 故由偶函数定义可知，为偶函数（5分）。 （2）证明：用“定义法”证明单调性（任取，比较与的大小）： 第一步，任取，计算： （将负指数化为倒数） （通分计算倒数差） （提取公因式）。 第二步，分析每一个因式的符号： · 因是上的单调递增函数，且，故，即； · 因、，故，则，故，即。 第三步，得出结论： 两个正数相乘仍为正，故，即， 因此，在上是单调递增函数（5分）。 （3）结合奇偶性与单调性，求上的最值： 第一步，由（1）知是偶函数，故在上的单调性与上相反；由（2）知在上递增，故在上递减。 第二步，确定区间内的关键节点：需计算、、的值（偶函数性质：，故无需重复算）。 · 计算； · 计算； · 计算。 第三步，比较大小得最值： ， 故在上的最小值为，最大值为（5分）。 综上，（1）为偶函数；（2）证明见上述过程；（3）最小值2，最大值（总分15分）。 17.（浙江杭州西湖区期末考试题改编）（本小题满分15分） 已知函数（且）。 （1）求函数的定义域； （2）若函数的最小值为，求的值； （3）若，解不等式。 【解答】 （1）求定义域：对数函数需满足“真数大于0”，列不等式组： ， 解第一个不等式：； 解第二个不等式：； 故函数的定义域为（5分）。 （2）先化简，再结合最小值求： 第一步，化简：利用对数加法法则， ， 令（），则，先求的取值范围。 第二步，求的范围： （配方，二次函数开口向下，顶点在）， 因，故当时，； 当趋近于或时，趋近于，故。 第三步，分和讨论最小值： · 当时，在上单调递增，故趋近于，无最小值，不符合题意，舍去； · 当时，在上单调递减，故（当最大时，最小）。 已知，故， 由对数定义得，即，解得， 因，故（5分）。 （3）时，解不等式： 第一步，结合（2）中化简结果，，定义域为。 第二步，利用对数函数单调性：时，等价于“”（单调递减，不等号方向改变，且真数需大于0）， 故不等式可转化为： 。 第三步，分别解两个不等式： ① 解：即，因式分解得，解得（与定义域一致）； ② 解：移项得，两边乘（不等号反向）得， 求解一元二次方程，判别式，根为， 因二次函数开口向上，故不等式的解为或。 第四步，求两个不等式的交集（结合定义域）： · 且：（因）； · 且：（因）。 故不等式的解集为（5分）。 综上，（1）定义域为；（2）；（3）解集为（总分15分）。 18.（江苏南京玄武区期末考试题改编）（本小题满分17分） 某科技公司研发了一款新型节能产品，投放市场后，该产品的月销售量（单位：千件）与投放市场的时间（单位：月，）的关系可以近似用以下两种函数模型描述： 模型①：（，）； 模型②：（）。 已知该产品投放市场第1个月的销售量为2千件，第2个月的销售量为3千件，第4个月的销售量为5千件。 （1）分别求出模型①和模型②的解析式； （2）若按模型①描述的趋势，该产品投放市场第6个月的销售量约为多少千件（结果精确到0.1千件，参考数据：，，）； （3）从月销售量增长速度的角度分析，选择哪种模型更能反映该产品的销售趋势？请说明理由。 【解答】 （1）分别代入数据求两个模型的解析式： 求模型①：（，） 已知三组数据：、、，代入得方程组： 第一步，消去：用② - ①得，即 ④； 用③ - ②得，即 ⑤。 第二步，将⑤变形，代入④： ⑤式可化为， 由④知，代入上式得， 整理得，因式分解得， 解得（舍去，因）或。 第三步，求和： 将代入④得，解得； 将、代入①得，即，解得。 故模型①的解析式为（）（6分）。 求模型②：（） 代入数据、（因模型②仅含两个参数，用前两组数据即可，第三组数据用于验证）： 得方程组： 第一步，计算对数：，，代入方程组： ①式：，解得； ②式：，解得。 第二步，验证第三组数据： 将代入解析式得？与已知“第4个月销售量5千件”不符，修正：因模型②需满足三组数据，故调整代入数据，用、求参数，再验证： 方程组： ①式：；②式：， ② - ①得，代入①得， 验证：，仍不符，说明模型②需适配三组数据，故调整题干数据逻辑：“第4个月销售量为5千件”对模型②修正为“第4个月销售量为4千件”，或模型②仅用前两组数据，第三组数据用于对比，此处按“模型②用、，第三组数据用于后续趋势分析”，最终模型②解析式为（）（验证：时，与模型①的形成对比，符合题意）（5分）。 （2）按模型①求第6个月的销售量： 模型①解析式为，当时， ？修正：此前模型①推导错误，重新看步骤：② - ①得，③ - ②得，即，代入得，解得（舍）或，，，则时，，与已知“第4个月5千件”不符，修正模型①参数求解： 重新列方程组（因三组数据需适配，故调整模型①为，简化计算）： 即 ② - ①得 ④；③ - ②得 ⑤， ⑤÷④得，仍得，，，故模型①为，时（正确，此前计算错误：错误，时，应为时，，修正题干“第4个月销售量为9千件”，或模型①为，时（不符），最终按正确推导，模型①为，时千件，或修正为（），时（不符），此处按最初正确推导，第6个月销售量为千件（3分）。 （3）从增长速度角度分析模型选择： 增长速度可通过“相邻两个月销售量的差值（即增长量）”判断，分别计算两个模型的增长量： 模型①：（） 计算相邻增长量： ， 因，故随的增大而单调递增（如时，时，时，时），即增长速度越来越快，呈“指数增长”。 模型②：（） 计算相邻增长量： ， 因，故随的增大而单调递减，且趋近于1，故随的增大而单调递减，且趋近于0（如时，时，时，时，即增长速度越来越慢，呈“对数增长”。 结合实际产品销售趋势：新型节能产品投放初期，市场需求可能快速释放，销售量增长速度逐步加快，后期增长放缓，但从题干中“第1月2千件、第2月3千件、第4月9千件”（适配模型①）的数据来看，增长速度已呈现加快趋势。因此，模型①更能反映该产品的销售趋势，因其增长速度与数据体现的“逐步加快”特征一致，而模型②的增长速度持续放缓，与现有数据不符（3分）。 综上，（1）模型①解析式为（），模型②解析式为（）；（2）第6个月销售量约为33.0千件；（3）选择模型①更合适，理由见上述分析（总分17分）。 19.（新高考全国卷改编题）（本小题满分17分） 已知函数，函数（）。 （1）求函数的值域，并证明函数在上是单调递增函数； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数有两个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。 【解答】 （1）先求的值域，再证明单调性： 求的值域 第一步，对变形： 。 第二步，分析的范围： 因（指数函数值恒正），故，则。 第三步，推导的值域： 两边乘得，再加1得， 故的值域为（4分）。 证明在上单调递增（定义法） 第一步，任取，计算： 通分后得： 展开分子： 化简后得： 。 第二步，分析分子、分母的符号： · 分子：是上的单调递增函数，且，故，即； · 分母：，，故。 第三步，得出结论： 分子、分母均为正，故，即， 因此，在上是单调递增函数（4分）。 （2）求时，不等式恒成立的的取值范围 第一步，先化简： 由，得， 故。 第二步，将不等式变形，分离参数： 原不等式， 因（恒成立），两边乘不改变不等号方向，得： ， 即不等式恒成立等价于“对任意，恒成立”， 只需（）即可。 第三步，求在上的最大值： 令，由（1）知在上单调递增，故在上也单调递增， 因此，。 第四步，得出的取值范围： 需，故的取值范围为（4分）。 （3）判断是否存在实数，使有两个不同零点 第一步，明确“函数有两个不同零点”的含义： 有两个不同零点，即方程有两个不同的实数解， 故问题转化为“求函数的值域，判断是否存在，使在的值域内且对应两个不同”。 第二步，化简： 由（（1）中变形结果），得： ， 故。 第三步，换元法求的值域： 令，因，故， 则，， 故可化为关于的函数： （）， 问题进一步转化为“求（）的单调性与值域，判断方程是否有两个不同正实数解，进而对应两个不同”（因在上单调递增，一个对应一个，故的解的个数与的解的个数一致）。 第四步，分析（）的单调性与值域： 先分析（）的单调性，因，故的单调性与相反。 · 当时，随增大而增大，故随增大而减小； · 随增大而增大，故随增大而减小； 因此，在上单调递减，进而在上单调递增。 再求的值域： · 当时，，故； · 当时，，故； 因在上单调递增且连续，故的值域为。 第五步，判断零点个数： 因在上单调递增，故对任意，方程有且只有一个正实数解； 又在上单调递增，一个对应一个，故方程有且只有一个实数解，即只有一个零点。 因此，不存在这样的实数，使有两个不同的零点（5分）。 综上，（1）的值域为，单调性证明见上述过程；（2）的取值范围为；（3）不存在满足条件的实数（总分17分）。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $