精品解析：河南省南阳市部分学校2025-2026学年高三上学期期中联考数学试题

高三数学 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在数列{an}中，数列{an}是以3为公比的等比数列，则等于（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 5. 函数的大致图象如图所示，则可能是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足（，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则有且仅有一个点P，使得 C. 若，则的最小值为6 D. 若，，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为 10. 北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 11. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 B. C. 函数的值域为 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______.（数字作答） 13. 袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数的数学期望为_____． 14. 已知点在直线上，则数列的前30项的和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且，共线． （1）求的大小． （2）若，且，，求的面积． 16. 甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． （1）求小队猜对3个谜题的概率； （2）求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 17. 如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 18. 如图，椭圆：（）的上顶点为，右顶点为，离心率，、是椭圆上的两个动点，且满足． （1）求椭圆的标准方程； （2）试判断直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由；指出单调性，不需证明； （2）函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围； （3）若函数，讨论函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟． 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，又， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由，，，， 由得，解得. 故选：C. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的概念可得结果. 【详解】由题意得，，， ∴，即. 故选：C． 4. 在数列{an}中，数列{an}是以3为公比的等比数列，则等于（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】求得等比数列的通项公式后，再利用对数的运算性质求解即可. 【详解】数列{an}是以3为公比的等比数列，且， 所以， 则， 故选：C. 5. 函数的大致图象如图所示，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象，易得函数的定义域和对称性，奇偶性，再逐一判断各选项即得. 【详解】由图象可知，为奇函数且定义域为. 对于A,函数的定义域为关于原点对称，但，是偶函数，故A错误； 对于B，函数定义域为，与图象不符，故B错误； 对于C，函数定义域为关于原点对称，且，是奇函数，与图象符合，故C正确； 对于D，函数定义域为，与图象不符，故D错误； 故选：C. 6. 在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得，，利用二倍角的余弦公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】由三角函数的定义可知，，， 则， 因为，其中， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意作图，结合椭圆的定义以及等边三角形的性质，利用三角形的余弦定理，可得答案. 【详解】设关于平分线的对称点为， 由椭圆对称性及角平分线性质可知，，三点共线且， 又因为，所以是正三角形，设， 由方程，则的周长为， 可得，所以，即，. 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 所以该椭圆的面积为. 故选：B. 8. 已知函数，时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案. 【详解】时，， 令，则当时，， 故要想在时满足恒成立， 需满足，不妨取， ，， 画出在上的图象，如下： 由图象可知，，， 则， 故， 两式相加得， 所以. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足（，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则有且仅有一个点P，使得 C. 若，则的最小值为6 D. 若，，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据每个选项确定点的位置，并通过数形结合进行求解. 【详解】对于选项：当时，，故点在上运动， 而平面， 所以三棱锥的体积为定值. 故正确； 对于选项：当时，取中点记为，连接，易得点在上运动， 当点与点重合时，因为底面为菱形，且， 所以，又因为为中点，所以， 又，所以，又由已知此棱柱为直棱柱，所以面. 则，所以， 又，所以，即 所以，即. 当点与点重合时，因为， 又，所以，则，即， 所以，即. 故错误； 对于选项：当时，取中点记为，取中点记为， 连接， 则点在线段上运动，易得点关于直线的对称点为， 连接，此时点、、三点共线， 故点与点重合时，取得最小值为， 故正确； 对于选项：当，时，为的中点， 因为由直棱柱性质可知，面面，面面， 则平面截该直棱柱交于，交于. 且由定理可得 ，所以易得与相似，与相似， 易知，， 所以，， ， ， 易得平面截该直棱柱所得截面周长为， 故正确. 故选：ACD 10. 北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意结合平均数公式和方差公式得和，对于A，检验得不符合；对于BC，先求出，接着举一组符合比赛成绩出来即可；对于D，先由已知得且，进而得方程组无正整数解即可得解. 【详解】设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，， 由题得，则， 且， 则， 不妨设最大， 对于A选项，若，则不成立，故A错误； 对于B选项，若，则， 则满足题意，例如5位同学的成绩可为7，7，7，7，12，故B正确； 对于C选项，若，则， 则满足题意，例如5位同学的成绩可为5，7，8，9，11，故C正确； 对于D选项，若，则且， 则， ， 则可得，该方程组无正整数解，故D错误. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：先由题意结合平均数公式和方差公式得和，接下来对各个选项进行检验，检验初步过程是先求得的正负，再对结果为正值的举例或计算求解即可得解. 11. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 B. C. 函数的值域为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数的奇偶性即可验证A；结合指数运算计算化简即可判断B；化简指数运算及指数函数值域即可判断C.首先判断函数的单调性，再设，判断出在的单调递增，且，得出，即可判断D； 【详解】对于A，，定义域为，， 所以为奇函数， ，定义域为，， 所以为偶函数，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，， ，所以，， 所以，C选项正确； 对于D：因为， 所以在上单调递增， 设，， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______.（数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理求出含的项，即可得其系数. 【详解】由的展开式通项为，， 当时，，当时，， 所以含的项为. 故的系数为. 故答案为：. 13. 袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数的数学期望为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，写出的所有可能值并求出每个值对应的概率，代入期望的计算公式即可求解. 【详解】由题意得的所有可能值为1，2，3， ，； ， ∴． 故答案为：. 14. 已知点在直线上，则数列的前30项的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】将点坐标代入直线方程得数列的通项公式，结合正弦函数的周期即可求出该数列前30项的和. 【详解】点在直线上， ， 由可知函数的最小正周期为4，其函数值是1，0，，0的循环， 则数列的前30项和：． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且，共线． （1）求的大小． （2）若，且，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用向量共线坐标运算得，然后利用正弦定理和两角和的正弦公式化简得，结合角的范围即可求解； （2）先根据余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由，共线，得， 由正弦定理可知，， 即， 因为为三角形的内角，所以，故， 又为三角形的内角，则； 【小问2详解】 因为，且，所以，， 在中，，由余弦定理可知， 即，解得（负根舍去）， 故的面积为． 16. 甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． （1）求小队猜对3个谜题的概率； （2）求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】分类讨论，根据互斥事件以及对立事件的概率公式，即可求解（1）（2）． 【小问1详解】 小队猜对3个谜题共有2种情况，①甲队猜对2个，乙队猜对1个；②甲队猜对1个，乙队猜对2个， 所以小队猜对3个谜题的概率为． 【小问2详解】 甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有： ①甲猜对1个，乙猜对0个；②甲猜对2个，乙猜对1个；③甲猜对2个，乙猜对0个； 所以甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率为． 17. 如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 是的中点， ， 平面平面， 平面平面平面， 平面平面， . （2） 【解析】 【分析】（1），平面平面，利用面面垂直的性质定理得到平面，再由线面垂直的性质可证得结论； （2）由题意，建立空间直角坐标系求得平面的一个法向量，易知平面的一个法向量，再由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，平面，， 是正三角形，是的中点， 两两垂直. 建立如图所示空间直角坐标系.） 则， 设是平面的一个法向量， 则， 令，得， 轴与平面垂直，是平面的一个法向量 ， 设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角，故. 二面角的余弦值为. 18. 如图，椭圆：（）的上顶点为，右顶点为，离心率，、是椭圆上的两个动点，且满足． （1）求椭圆的标准方程； （2）试判断直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）椭圆的标准方程为 （2）直线与的斜率之积是定值9 【解析】 【分析】（1）由题意结合平方关系列出方程组，解方程组即可得解. （2）由题意得，设出直线方程，并与椭圆方程联立，由韦达定理以及两点斜率公式运算化简即可得解. 【小问1详解】 依题意：，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 直线与的斜率之积是定值，理由如下： 依题意：，，∴， 又∵，∴， 设直线的方程为，、两点的坐标分别为， 联立，得， 则，， ， ∴直线与的斜率之积是定值，定值为9． 【点睛】关键点睛：第二问的关键是利用韦达定理并且巧妙变形，化繁为简，由此即可顺利得解. 19. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由；指出单调性，不需证明； （2）函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围； （3）若函数，讨论函数的零点个数． 【答案】（1）奇函数，证明如下： 函数，由，可得，即的定义域为； 又，所以为奇函数， 当时，显然单调递减， 所以在上单调递减. （2） （3） 当或或时，只有个零点， 当或时，有个零点， 当时，有个零点. 【解析】 【分析】（1）先由函数解析式求出函数定义域，判断其奇偶性及单调性即可； （2）根据题中，先得到和在上的值域的交集不为空集；分别讨论和两种情况，分别求出两函数的值域，根据交集不为空集，列出不等式求解，即可得出结果； （3）利用已知条件令，则，画出的图象，观察图像，分情况讨论即可得出结果. 【小问1详解】 为奇函数， 理由略；在上单调递减. 【小问2详解】 函数， 若存在，使得成立， 则和在上的值域的交集不为空集； 由（1）可知：时， 显然单调递减，所以其值域为； 若，则在上单调递减，所以的值域为， 此时只需，即，所以； 若，则在递增，可得的值域为， 此时与的交集显然为空集，不满足题意； 综上，实数的范围是； 【小问3详解】 由，得，令，则， 画出的图象， ①当，或, 所以只有一个满足， 即，解得，由得， 当即时，有3个交点，即有3个零点， 当即时，有1个交点，即有1个零点. ②当时，显然只有1解，且，此时，只有1解， 即有1个零点 ③当时，，只有1解，且，所以此时只有1解，即只有1个零点. ④当时，，此时，，， 由， 得在，，三个分别对应一个零点，共个， 在时，，三个分别对应个， 1个，个零点，共个， 综上所述：当或或时，只有个零点， 当或时，有个零点， 当时，有个零点. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的定义域和奇偶性，方程根的存在性以及个数判断. 把函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，画出函数图像分析是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $