空间向量与立体几何 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦立体几何与空间向量核心考点，按直接建系、先证垂直再建系、定点动点坐标表示及综合问题分层架构，通过知识梳理构建解题步骤体系，结合方法指导与真题训练，帮助学生突破建系、空间角距离计算等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用分类突破策略，如类型二通过证明垂直突破建系关键，培养学生空间观念与逻辑推理的数学思维，设置基础到综合分层练习，配合高考真题精讲，助力学生用向量语言精准表达几何关系，高效提升空间想象与解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

立体几何与空间向量 【常见类型】 类型一 由已知条件直接建系 6 类型二 先证垂直再建系 7 类型三 定点坐标的表示 9 类型四 动点坐标的表示 11 类型五 综合 14 角度1.截面问题 14 角度2.四点共面 15 角度3.外接与内切球问题 16 【知识梳理】 1.用空间向量求解立体几何问题的步骤比较流程化，常分四步： ①建立空间直角坐标系，写出点的坐标； ②计算直线的方向向量、平面的法向量； ③根据问题，选择合适的公式计算； ④把向量运算的结果翻译成几何问题的答案. 2.线线角 【方法原理】（1）位置关系的分类： （2）异面直线所成的角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法： 法一 平移法：将异面直线平移到同一平面内（平移方法同线面平行证明的方法法一（A型平行）、法二（“□”型平行）相同），放在同一三角形内解三角形． 法三 空间向量法：设直线的方向向量为，，其夹角为，则（其中φ为异面直线所成的角），具体见空间向量数量积章节． 2.线面角 【方法原理】 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 法一 常规法：过平面外一点做平面，交平面于点； 连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形． 即 （其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 法二 空间向量法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为φ，两向量与的夹角为θ，则有，或者 3.二面角 【方法原理】 二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 ． 法一 定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图2在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二 空间向量法：①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈，〉即为所求二面角的平面角；②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图6所示，二面角，平面的法向量为，平面的法向量为，〈，〉，则二面角的大小为或． 4.异面直线间的距离 【方法原理】异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 法一 设两条异面直线的公垂线的方向向量为， 这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离． 则，即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 法二 空间向量法：如图所示，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的 角为，两向量与的夹角为，则有． 5.点面、面面间的距离 【方法原理】 点到平面的距离 为平面外一点(如图)，为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． ，所以． 【总结】点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值． 类型一 由已知条件直接建系 1.如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）.    (1)若为的中点，求证：平面. (2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由. 2.如图，在直角梯形中，，，.以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 类型二 先证垂直再建系 1．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 2.如图，在四棱锥中，，且，平面平面. (1)求证：平面； (2)若为棱中点，求平面与平面夹角的余弦值. 3．如图，在三棱柱中，．    (1)证明：； (2)若，且，求二面角的正弦值． 4．（2025·湖北·模拟预测）如图，在四棱锥中，为矩形，且，，. (1)求证：平面； (2)若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且. ①求点到平面的距离； ②求平面与平面所成夹角的正弦值. 类型三 定点坐标的表示 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 5.（2024·浙江杭州·二模）如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，． (1)证明：； (2)若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 类型四 动点坐标的表示 1．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）证明：平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 2．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 4.已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点，，，. (1)证明：； (2)试判断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由. 5.如图，侧面水平放置的正三棱台，侧棱长为为棱上的动点. (1)求证：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由. 6．（24-25高三上·河北邢台·月考）如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 类型五 综合 角度1.截面问题 1．（2025·陕西西安·一模）如图，正方体的棱长为2，点是棱上的动点.    (1)求三棱锥的体积； (2)当为中点时，求过点且与垂直的平面截正方体的截面面积. 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)若平面，平面，且平面将三棱锥截为两部分，求截面面积的最大值； (3)若二面角的余弦值为，求. 角度2.四点共面 1．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）设，N为PC的中点且H，A，O，N四点共面，求实数的值. 角度3.外接与内切球问题 1．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 2.如图，在四棱锥中，底面，. (1)证明：面面； (2)设，，，且点，，，均在球的球面上. （i）证明：点在线段上； （ii）设与面所成角为，求的最大值. 3．（2025·湖南郴州·一模）在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，底面.点为棱的中点，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值. 4．（24-25高三下·湖北·开学考试）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．    (1)证明：； (2)若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何与空间向量 【常见类型】 类型一 由已知条件直接建系 6 类型二 先证垂直再建系 10 类型三 定点坐标的表示 18 类型四 动点坐标的表示 27 类型五 综合 42 角度1.截面问题 42 角度2.四点共面 46 角度3.外接与内切球问题 50 【知识梳理】 1.用空间向量求解立体几何问题的步骤比较流程化，常分四步： ①建立空间直角坐标系，写出点的坐标； ②计算直线的方向向量、平面的法向量； ③根据问题，选择合适的公式计算； ④把向量运算的结果翻译成几何问题的答案. 2.线线角 【方法原理】（1）位置关系的分类： （2）异面直线所成的角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法： 法一 平移法：将异面直线平移到同一平面内（平移方法同线面平行证明的方法法一（A型平行）、法二（“□”型平行）相同），放在同一三角形内解三角形． 法三 空间向量法：设直线的方向向量为，，其夹角为，则（其中φ为异面直线所成的角），具体见空间向量数量积章节． 2.线面角 【方法原理】 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 法一 常规法：过平面外一点做平面，交平面于点； 连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形． 即 （其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 法二 空间向量法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为φ，两向量与的夹角为θ，则有，或者 3.二面角 【方法原理】 二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 ． 法一 定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图2在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二 空间向量法：①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈，〉即为所求二面角的平面角；②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图6所示，二面角，平面的法向量为，平面的法向量为，〈，〉，则二面角的大小为或． 4.异面直线间的距离 【方法原理】异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 法一 设两条异面直线的公垂线的方向向量为， 这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离． 则，即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 法二 空间向量法：如图所示，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的 角为，两向量与的夹角为，则有． 5.点面、面面间的距离 【方法原理】 点到平面的距离 为平面外一点(如图)，为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． ，所以． 【总结】点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值． 类型一 由已知条件直接建系 1.如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）.    (1)若为的中点，求证：平面. (2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量 【分析】（1）利用三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）连接， 因为为中点，为的中点， 所以， 因为是正三棱台，， 所以， 于是有， 因此四边形是平行四边形， 所以平面，平面， 所以平面    （2）假设存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为， 因为平面平面， 所以，而， 所以建立如图所示的空间直角坐标系，   ， 设， 设平面的法向量为， ， 所以有， 因为，，， 所以平面，所以平面的法向量为， 所以， 解得，舍去，即， ，即长度为. 2.如图，在直角梯形中，，，.以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)存在，，理由见解析. 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、已知线面角求其他量 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设出，利用线面角的正弦值列出方程，求出答案. 【详解】（1）将直角梯形绕着旋转得到直角梯形， 故且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，，， 所以两两垂直， 故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，设， 则， 设，则，设， 则，解得，故， 当时，此时与重合，直线和平面垂直， 不满足所成角的正弦值为，舍去； 当时，设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设直线和平面所成角的正弦值为， 则， 解得或（舍去）， 综上，在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为， 此时. 类型二 先证垂直再建系 1．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 2.如图，在四棱锥中，，且，平面平面. (1)求证：平面； (2)若为棱中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先根据题意利用平面图形的知识得到，，再根据平面平面，根据面面垂直线面垂直线线垂直，得，结合即可证得结论； （2）构建空间直角坐标系，求得相关点的坐标，继而得到两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【详解】（1）连接，由得， 由，，， 得， 所以，， 所以，，即，， 由平面平面平面，平面平面，， 得平面， 又平面，所以， 由，，平面， 所以平面. （2）令分别是、的中点，连接， 则，， 构建如下图所示的空间直角坐标系， 所以 且由题可知为线段中点，则. 是面的一个法向量，则 令，则 是面的一个法向量，则 令，则 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 3．如图，在三棱柱中，．    (1)证明：； (2)若，且，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）取中点，连接，，证明平面，得到，再根据证明即可； （2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为，，所以，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，又， 所以.    （2）由条件，可得，所以，同理， 又，平面，所以平面， 以为坐标原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    令，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，所以， 故，又， 所以二面角的正弦值为. 4．（2025·湖北·模拟预测）如图，在四棱锥中，为矩形，且，，. (1)求证：平面； (2)若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且. ①求点到平面的距离； ②求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【难度】0.4 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由余弦定理得到，进而得到即可求证； （2）建系，通过点到面的距离公式及面面角的夹角公式即可求解. 【详解】（1）在中，，，， 所以，解得：， 所以，所以， 又，为平面内两条相交直线， 所以平面； （2）（2）由（1）知，平面，， 所以平面，又在平面内，所以平面平面， 在平面内，所以， 在三角形中，，，， 所以，又， 所以， 又， 又， 所以，又， 所以， 取的中点， ，可知：， 因为平面平面，交线为， 又在平面内， 所以平面，如图建立空间直角坐标系 易得：, 所以， 设平面的法向量为， 则， 所以， 令，得，即， 又， 所以求点到平面的距离， ②， 设平面的法向量， 则，所以， 令，则，可得：， 设平面与平面所成夹角为， 所以， 所以， 即平面与平面所成夹角的正弦值为. 类型三 定点坐标的表示 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面    （2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以，即二面角的正弦值为.    2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】求平面的法向量、面面角的向量求法、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、面面角的向量求法 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； （2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 5.（2024·浙江杭州·二模）如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，． (1)证明：； (2)若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据余弦定理求解，即可求证，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直， （2）根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得，即可建立空间直角坐标系，求解法向量求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以． 又因为，平面, 所以平面,平面． 所以． 由于,所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以， 所以． （2）因为，所以， 又，平面,所以平面． 取中点，连接，设． 设多面体的体积为， 则 ． 解得． 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ． 则平面的一个法向量． 所以， 设平面的一个法向量， 则即取． 所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 类型四 动点坐标的表示 1．（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）证明：平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到平面； （2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得，即可得到直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明： 在正方形中，， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 因为在四棱锥中，底面是正方形，所以 且平面，所以 因为 所以平面； （2）如图建立空间直角坐标系， 因为，则有， 设，则有， 因为QB=，所以有 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为，则 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目. 2．（2021·全国甲卷·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）证明见解析；（2） 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直、求二面角 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）[方法一]：几何法 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面， ，，，又，平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． ，． 由题设（）． 因为， 所以，所以． [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以． （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面． 作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角． 设，过作交于点G． 由得． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结， 在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则． 设，在中，． 在中，，过D作的平行线交于点Q． 在中，． 在中，由余弦定理得，，， ，， 当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【难度】0.4 【知识点】面面角的向量求法、证明面面垂直、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 4.已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点，，，. (1)证明：； (2)试判断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点在的五等分点的二等分点处（靠近） 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）连接，通过证明平面来证得. （2）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用二面角的余弦值求得点的位置. 【详解】（1）连接，因为，所以， 因为底面是菱形，，所以，因为为边的中点， 所以，∴， 因为， 所以， 因此，即， 又因为，所以， 又，平面，平面，所以平面， 又平面，所以，即.    （2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点， ，，为，，轴建立如图示空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 令， 则， 取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， 因为，所以， 又二面角为锐二面角且设为， 所以， 即，（负值舍去）， 故存在点使得二面角的余弦值为，此时点满足.    5.如图，侧面水平放置的正三棱台，侧棱长为为棱上的动点. (1)求证：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为靠近的三等分点 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、已知线面角求其他量 【分析】（1）根据棱台的几何性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）延长三条侧棱交于一点，如图所示， 因为正三棱台的侧棱长为，且 所以，而，所以， ，即，同理， ，又平面， 所以平面，即平面. （2）由（1）知，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， ， 设， 则，则. 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得，即，解得或（舍）， 故当点为靠近的三等分点时，使得直线与平面所成角的正弦值为. 6．（24-25高三上·河北邢台·月考）如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、空间向量的坐标运算、证明面面垂直、已知线面角求其他量 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式， 利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的法向量， 设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为，，则，   所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，所以，， 因为为棱上的点，设，其中， 所以，，且， 设平面的法向量为， 则， 不妨取，可得， 因为线与平面所成角的正弦值为， 所以， 则，化简可得：， 解得：或（舍去）. 所以. （3）设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点，    由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，， 所以.即的长为. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 类型五 综合 角度1.截面问题 1．（2025·陕西西安·一模）如图，正方体的棱长为2，点是棱上的动点.    (1)求三棱锥的体积； (2)当为中点时，求过点且与垂直的平面截正方体的截面面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用等体积法结合棱锥的体积公式求解即可； （2）设的中点为，中点为，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可证明，进而得到平面，可得即为过点且与垂直的平面截正方体的截面，进而求解即可. 【详解】（1）在正方体中，点是棱上的动点， 则到平面的距离即为, 则.    （2）设的中点为，中点为，连接， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则，即， 因为，平面， 所以平面， 则即为过点且与垂直的平面截正方体的截面， 由正方体的棱长为2，的中点为，中点为， 可得， 在中，， 则， 所以.      2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)若平面，平面，且平面将三棱锥截为两部分，求截面面积的最大值； (3)若二面角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】已知面面角求其他量、证明线面平行、证明面面垂直、棱锥中截面的有关计算 【分析】（1）由已知得，再由面面垂直的性质定理及判定定理，即可证结论； （2）若分别是上的点，且，得为平行四边形，利用线面平行的判定及已知得可由平面平移得到，令平移后则，求平行四边形截面的边长，进而写出面积表达式，即可得； （3）构建合适的空间直角坐标系，设并标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，根据二面角的余弦值及夹角的向量公式列方程求参数，即可得. 【详解】（1）由，则，即， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则平面平面. （2）若分别是上的点，且，显然为平行四边形， 由平面，平面，则平面， 由平面，平面，则平面， 因为平面，平面，且为异面直线， 故平面与平面平行或重合，所以可由平面平移得到， 令平移后则，所以，， 又截面始终为平行四边形，所以， 要使截面的面积最大，只需且，此时最大； （3）由（1）平面，在平面内作，如下图示， 可构建如图示的空间直角坐标系，设，则，，， 故，，，， 若是平面的一个法向量，则，可取， 若是平面的一个法向量，则，可取， 由二面角的余弦值为，则， 所以，可得，解得或（舍）， 所以. 角度2.四点共面 1．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、证明面面垂直 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，分别写出的坐标，计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，证明两法向量垂直即可； （3）假设存在，由，结合点的位置，即可求出的值. 【详解】（1）如图，过点作，交于点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，． 又为的中点，点在上，且满足，则 ，，，， , 所以， 所以． （2）由（1）知，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量． ，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量 因为， 所以， 所以平面平面． （3）假设存在，，，四点共面，即点在平面内，则． 又（，），，，， 所以， ， 解得． 又因为，，三点共线，所以，所以，， 故存在，，，四点共面，且，即． 因为， 所以，即的值为2． 2．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）设，N为PC的中点且H，A，O，N四点共面，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，即可求得答案；（ii）根据H，A，O，N四点共面，则存在实数a，b，使得，由此列式求解，即得答案. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）（i）解：在四边形中，因为，，， 故； 又，，则，所以， 结合，则， 以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知平面，平面，故， 因为P，A，B，C在同一个球面上，且为直角，即可得PB的中点到的距离均相等， 故为外接球直径，则球心O为PB的中点， 则，，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，得，，所以， 设与平面所成角为， 则. （ii）解：因为分别为的中点，所以， 所以，，由（i）知， ， H，A，O，N四点共面，存在实数a，b，使得， 即， ，解得. 角度3.外接与内切球问题 1．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法、证明面面垂直 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 2.如图，在四棱锥中，底面，. (1)证明：面面； (2)设，，，且点，，，均在球的球面上. （i）证明：点在线段上； （ii）设与面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理可证； （2）解法一：（i）取的中点，证明为球心即可，（ii）以为原点，建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量公式得到，再用几何意义理解成圆上的点到直线的距离即可得到答案；解法二：（i）以为原点，建立空间直角坐标系，计算出球心坐标，可得答案，（ii）设，利用线面角的向量公式得到，令，，得到关于的三角函数，求最值即可；解法三：（i）利用直角三角形证明的中点为球心即可，（ii）同解法一. 【详解】（1）证明：因为底面，所以. 又，，所以面. 又面，所以面面. （2）解法一（i）取的中点.因为，所以. 又，所以，，，四点共圆，圆心为. 取的中点，连接，则，底面. 因为，，所以. 所以为点，，，所在球的球心， 又三棱锥的外接球的球心是唯一的. 所以即为，点在线段上. （ii）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，.设，则. 所以，，. 设面的法向量为，则 取，，，所以. 所以. 因为表示点到直线的距离，又点在圆上. 所以当为直线与圆的交点时，取得最大值，最大值为. 所以的最大值为. 解法二：（i）取的中点.因为，所以. 又，所以，，，四点共圆，圆心为. 因为为三棱锥的外接球的球心，则底面. 如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，. 设，则，所以，解得. 所以，为的中点.所以点在线段上. （ii），，，，. 设，则. 所以，，. 设面的法向量为，则 取，，，所以. 所以. 令，，其中，则 当时，取得最大值. 解法三：（i）因为，所以. 又因为底面，所以. 又，所以面，. 由（1）可知，面，. 取的中点，则. 所以为点，，，所在球的球心，又三棱锥的外接球的球心是唯一的. 所以即为，点在线段上. （ii）取的中点.因为，所以. 又，所以，，，四点共圆，圆心为. 取的中点，连接，则，底面. 接下来同解法一. 3．（2025·湖南郴州·一模）在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，底面.点为棱的中点，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）方法一，由线面平行的判定定理进行求证，方法二，由面面平行的判定定理进行求证； （2）求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式即可求解； （3）三棱锥的内切球球心为，半径为，由等体积法可求出，再求出球心到平面的距离，即可求解． 【详解】（1）方法一：证明：连接， 是中点，是中点， 是的中位线，故. 又平面平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面. 方法二： 证明：取的中点，连接. 是中点，是中点，. 又平面平面，故平面. 同理可证平面. 又平面，所以平面平面. 平面平面. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，. .设平面的法向量为， 则， 令，得 .设平面PCD的法向量为， 则， 令，得 设平面与平面所成的夹角为，则 故平面与平面所成夹角的余弦值为. （3）三棱锥的内切球球心为，半径为， 三棱锥的表面积为， 则， 由等体积法可知：，则， 由题意，得球心， 则，得点到平面的距离， 而，得， 因此三棱锥体积的最大值为． 4．（24-25高三下·湖北·开学考试）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点．    (1)证明：； (2)若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】求点面距离、面面角的向量求法、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据，，即可根据线线垂直证明平面，即可根据线面垂直的性质求解； （2）利用等体积法即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解，利用换元法，即可根据基本不等式求解最值. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，，且的中点为，所以， 又平面，故平面， 由于平面，故.    （2）当时，由则， 取的中点，连接 故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心， 因为，故， 设到平面的距离为，到平面的距离为， 由等体积法可得 而， 由于，故， 所以，从而， 故到平面的距离为.    （3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点作平面的垂线，垂足为， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， ， 故， ， 则， 设平面的法向量为，则 ， 取则， 设平面的法向量 ， ， 取则， 设平面与平面的夹角为， 故， ， 令，，故， 由于，故 当且仅当，即时取等号， 故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时.    1 学科网（北京）股份有限公司 $