精品解析：吉林省四平市实验中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

四平实验中学2025～2026学年度月考试题 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第五章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 在与角终边相同的角中，最大的负角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若角的终边上有一点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，且时，，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为______． 13. 若命题：“”是真命题，则实数的取值范围为_____________. 14. 德国数学家高斯用取整符号定义了取整运算，对于任意的实数，表示不超过实数的最大整数，例如，则______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求的值； （2）若，且，求的值． 17. 已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式：． 18. 已知函数为奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并证明； （3）解关于的不等式. 19. 定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四平实验中学2025～2026学年度月考试题 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第五章第3节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即得. 【详解】因，， 则. 故选：B 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于零和分式函数的分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】由题意知解得且， 所以函数的定义域为． 故选：D 3. 在与角终边相同的角中，最大的负角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出与角终边相同的角的集合，列不等式求结论. 【详解】与角终边相同的角的集合为， 令，可得，又， 所以，且， 所以与角终边相同的角中，最大的负角是， 故选：B. 4. 已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周长和面积列方程组求得扇形的半径和弧长，代入求角公式即可得解. 【详解】设扇形的半径为r，所对弧长为l，则有解得故． 故选：A 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据基本初等函数性质求得函数的单调性，在利用函数零点存在性定理即可求解. 【详解】由为减函数，而也为减函数， 所以函数为上的减函数， 由，， 所以零点在区间上， 故选：B 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由换底公式及对数的基本运算判断AC；利用对数函数的性质判断BD． 【详解】解：因为，所以A错误； ，所以B错误； ，所以C错误； ， 因为， ， 所以 即，所以D正确. 故选：D. 7. 著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 8. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与对称性构造新函数，判定其单调性计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，令，则有， 则在上单调递增. 又是定义在R上的偶函数，， 所以是定义在R上的偶函数. 由，可得， 即，由的单调性和奇偶性， 可得，解得或. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若角的终边上有一点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据的终边上有一点，分和，利用三角函数的定义求解. 【详解】解：若的终边上有一点， 当时，，， 此时； 当时，，， 此时． 故选：BD 10. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由条件等式，结合基本不等式求的范围判断AB，结合求的范围判断CD. 【详解】因为，所以， 当且仅当或时等号成立，A正确，B错误； 因为，又， 所以，故， 所以，当且仅当或时等号成立，C正确，D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，且时，，则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，作出函数的图象，，A正确；由，求得，B错误；，，从而判定C；设，则，则，可得值域，判断D. 【详解】作出函数的图象， 由图可知，若， 则，A正确； 因为，可得， 所以，可得，B错误； 依题意，，得， 则，且当接近时，接近，接近4， 此时， 且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷， 则的取值范围为，C正确； 函数，， 设，则， 则，， 所以函数的值域为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项C，依题意，，得，则，从而求范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为______． 【答案】（答案不唯一．满足即可） 【解析】 【分析】根据幂函数的性质选择符合题意的即可. 【详解】当时,幂函数在上单调递增， 又，满足题意. 故答案为：（答案不唯一．满足即可） 13. 若命题：“”是真命题，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为恒成立问题，进而转化为函数最值问题，运用单调性求最值即可. 【详解】命题：“”是真命题，则恒成立， 由于都是递增函数，则也是增函数， 故即可，即，即. 故实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 德国数学家高斯用取整符号定义了取整运算，对于任意的实数，表示不超过实数的最大整数，例如，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用取整函数定义，结合三角函数的周期性和取值情况，可得一个周期内个取整函数值的和，再来计算即可求值. 【详解】根据正弦函数的周期为， 在一个周期内有 当时，， 当时，， 所以， 根据三角函数的周期性可知 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合，写出时的集合，直接求解即可. （2）将是的充分不必要条件转化为两集合的包含关系，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由得， 解得，即，或， 当时，，或， 所以，或， 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 由（1）知：， 所以且等号不同时成立，解得， 即实数的取值范围是. 16. （1）已知，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式将目标式子化为，然后化为正切函数代入求值即可； （2）结合利用已知求出和，即可得解. 【详解】（1）由题意知 ． （2）因为，， 解得，或，， 又，所以，，所以. 17. 已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）分析可知，恒成立，由可得出关于的不等式，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对、的大小关系进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 对，恒成立，即恒成立， 所以， 整理得，解得，所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 ，即，即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 18. 已知函数为奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则 ， ， 又，且， 所以，则， 所以，即， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）由题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值，进而得到函数的解析式； （2）利用增函数定义即可证得函数在上的单调递增； （3）利用奇函数在上单调递增将题给不等式转化为，解之即可得到题给不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为， 所以，即恒成立，所以， 又，所以，所以. 【小问2详解】 在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 由（2）知在上单调递增， 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 令，解得或， 因为，且， 所以， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 19. 定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 【答案】（1）是，理由如下： 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以是“1距”减函数. （2） （3）； 当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）分析函数的单调性，即可，再根据“1距”减函数的概念做出判断. （2）根据“距”减函数的概念可得对恒成立，再根据可求的取值范围. （3）根据“2距”减函数，结合指数函数的单调性，可求参数的取值范围；再结合二次函数的对称轴和区间的位置关系进行讨论，求函数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意对恒成立， 即对恒成立. 由， 因为，所以对恒成立. 所以， 结合，得. 即的取值范围为. 【小问3详解】 由对恒成立. 因为当，，所以. 故实数的取值范围为. 设，，. 当即时，在上单调递增， 所以，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $