17.1用提公因式法分解因式 课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦提公因式法分解因式，涵盖概念、公因式确定及分解步骤。通过凉皮店营业额计算导入，结合复习单项式乘多项式，构建整式乘法与因式分解的联系，搭建学习支架。 其亮点是以实际问题和菜地面积情境引导概念形成，通过合作探究、易错点分析培养推理意识与运算能力，结合简便运算和求值应用体现模型意识与应用意识。学生能提升抽象与应用能力，教师可借助分层练习高效教学。

用提公因式法分解因式 人教版八年级上册 1 复习回顾 2.填空： 1.说一说单项式乘以多项式的计算法则？ 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2 导入新课 春暖花开的时刻，外出游玩的人越来越多了！皮皮家的凉皮店的生意也异常火爆，最受欢迎的自然是“XX套餐”了！皮皮特意计算了“XX套餐”一小时的营业额： 将1小时分前、中、后20分钟的销量进行统计，列出17×32+17×31+17×37，你会如何计算？ 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式,会利用因式分解进行简便计算. 培养学生分析、类比的思想，积累确定公因式的初步经验，体会因式分解的应用价值. 学 习 目 标 重点 难点 素养 课标要求 如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？ a b c m 方法一：m(a+b+c) 方法二：ma+mb+mc m(a+b+c)=ma+mb+mc 整式乘法 ? 知识点 1 因式分解的概念 探究新知 1.运用整式乘法法则或公式填空： (1) m(a+b+c)= ； (2) (x+1)(x–1)= ； (3) (a+b)2 = . ma+mb+mc x2 –1 a2 +2ab+b2 2.根据等式的性质填空： (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 –1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 m a+b+c x+1 x–1 a+b 都是多项式化为几个整式的积的形式 比一比，这些式子有什么共同点？ 合作探究 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： 像这样， 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法有什么关系？ x2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 是互为相反的变形，即。 x2–1 (x+1)(x–1) 因式分解 整式乘法 x2–1 = (x+1)(x–1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积。 整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即。 想一想 例 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)； ③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 素养考点 因式分解变形的识别 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2–1=(x+1)(x–1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 观察下列多项式的结构有什么共同特点？ 知识点 2 公因式 ① ② ③ ④ 多项式的各项都含有相同的因式. 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如：就是多项式各项的公因式. 结论 pa+pb+pc 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 相同因式p 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2＋x 相同因式x 问题： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ( a+b+c ) pa+ pb +pc p = 如何确定多项式的公因式？ 系数的最大公因数 相同字母 字母的最小指数 ∴公因式是. 问题： 找出 3x 2 – 6xy 的公因式. 系数：最大公约数. 3 字母：相同的字母. x 所以这个算式的公因式是3x. 指数：相同字母的最低次数. 1 如何确定一个多项式的公因式？ 问题： 一看系数 二看字母 三看指数 最大公约数 相同字母 最低指数 2.请大家讨论确定公因式的方法，并在班内交流！ 合作探究 确定公因式的方法： ①定系数： ②定字母： ③定指数： 1.请尝试指出下列多项式的公因式： 取各项系数的最大公因数； 取各项中都含有的字母； 取相同字母的最低指数. 找出多项式的公因式的正确步骤： 3.定指数：相同字母（或相同因式）的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数（包括常数项）的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母（或相同因式）. 归纳总结 找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 2(m+n) 3mn –2xy (1) 3x+6y (2)ab–2ac (3) a 2 – a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n–6mn (6) –6 x 2 y–8 xy 2 找出下列各式的公因式: （1） （2） （3） . ； ； . 注意：公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式. 议 一 议 1. 多项式中各项的公因式是什么？ 2. 你能尝试将多项式因式分解吗?同伴交流. 3. 在解决问题2时用到了什么方法？ 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 知识点 3 提公因式为单项式的因式分解 字母表示： (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例 把下列各式分解因式. 分析：提公因式法步骤(分两步) 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b+c) – 3(b+c). 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 素养考点 利用提公因式法分解因式 解：(1) 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc)； 如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？ 另一个因式将是2a2b+3b2c， 它还有公因式是b. 提公因式要尽量提，提彻底。 (2) 2a(b+c)–3(b+c) =(b+c)(2a–3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算. 因式分解： (1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)–3(b＋c)； (3) (a＋b)(a–b)–a–b. (3)原式＝(a＋b)(a–b–1)． 解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)； (2)原式＝(2a–3)(b＋c)； 提公因式为单项式的因式分解 素养考点 解： 把下列各式因式分解： 例 ; ； 注意：公因式要提尽. 易错点1：因式分解时分解不彻底. 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式2. 注意：公因式要提尽. 正解：原式=6xy(2x+3y). 小明的解法有误吗？ 解： 注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 易错点2：提公因式时漏项. 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 错误 注意：某项提出莫漏1. 解：原式 =x(3x–6y). 把3x2 – 6xy+x分解因式. 正解：原式=3x·x–6y·x+1·x =x(3x–6y+1) 小亮的解法有误吗？ 解： . 注意：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“-”号时，多项式的各项都要变号. 易错点3：提取“-”号时，括号内变错符号. 提出负号时括号里的项没变号. 错误 把 – x2+xy–xz分解因式. 解：原式= – x(x+y–z). 注意：首项有负常提负. 正解：原式= – (x2–xy+xz) = – x(x–y+z) 小华的解法有误吗？ 提取公因式分解因式的技巧： ①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号； ⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证. 归纳总结 例 计算： (1)39×37–13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14. (2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14) ＝2016. ＝13×20＝260； 解：(1)原式＝3×13×37–13×91 ＝13×(3×37–91) 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 素养考点 利用因式分解进行简便运算 =259 = 9900 (1) 992＋99 (2) = 99 ×(99+1) 简便计算. 解：原式=259 解：原式=99 ×99+99 (3) 13.8×0.125+86.2× 解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125 =0.125×(13.8+86.2) =0.125×100 =12.5 例 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 解：∵a＋b＝7，ab＝4. 方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可. 素养考点 利用因式分解求整式的值 变式训练 已知，求代数式的值. 解： ∵ ∴原式. 知识点 4 因式是多项式提公因式法 因式分解： （1）多项式的公因式是什么？ （2）如何将多项式因式分解？ 分析：设，则原式变形为 ∴ . 即 可将看做整体. 整体思想 因式分解： 解： 因式分解 多项式乘多项式 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 因式分解： 例 解： 提公因式为多项式的因式分解 素养考点 将分解因式，应提出的公因式是（ ）. A. B. C. D. B 变式训练 知识点 5 符号不同的多项式的关系 因式分解： 解： 转化思想 请在下列各等号右边的括号前填入“”或“”，使等式成立. (1) ； (2) (3) (4) ； ；(6)-s2+t2= （s2-t2）. 观察：以上各多项式有什么特点？ 只有符号不同 两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法： (1)当相同字母前的符号相同时,两个多项式相等. 如: 和，即 ； (2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数. 如: 和 ，即 . 结论 对于底数不同的多项式，乘方等式规律如下： （1）与互为相反数： 与互为相反数： （2）与互为相同数： 结论 (a-b)n = (b-a)n (n是偶数) (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数) (a+b)n = (b+a)n (n是整数) (-a-b)n = (a+b)n (n是偶数) (-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数) 提符号不同的多项式的因式分解 例 因式分解： 解： 素养考点 把下列各式因式分解： 解：(1)； (2) (1)； (2)； 变式训练 解： (3)； (4)； (5)； (6). (3)； (4) (5)； (6). 整体思想 素养考点 例 分解因式 解： （1）因式分解: . 变式训练 （2）已知，则 . 1.（南通）分解因式： . 连接中考 2.（株洲）分解因式： . 3.（铜仁市）分解因式： . 4. 分解因式：a2–5a=_________　． 5. 若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=　　． 解析：∵a+b=4，ab=1. ∴a2b+ab2=ab(a+b) =1×4 =4． a(a–5) 4 6.（聊城）分解因式： . 解： = = 我们一起来 吧! 1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　) A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2 2. 把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(　　) A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 3.下列多项式的分解因式，正确的是(　　) A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2) C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a) B C D 基础巩固题 4.把下列各式分解因式： (1)分解因式：m2–3m=　 　． (2)12xyz–9x2y2=_____________； (3)因式分解：(x+2)x–x–2=___________　． (4) –x3y3–x2y2–xy=_______________； 3xy(4z–3xy) –xy(x2y2+xy+1) (5)(x–y)2+y(y–x)=_____________. (y–x)(2y–x) 5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________. 3a(x–y)2 m(m–3) (x+2)(x–1) 6.简便计算： (1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013–20142; (3)(–2)101+(–2)100. (2) 原式=2013 ×(2013+1) –20142 =2013×2014 –20142=2014×(2013–2014) = –2014． 解：(1) 原式=1.99 ×(1.99+0.01)=3.98； (3)原式=(–2)100 ×(–2+1) =2100 ×(–1)= –2100. 1.若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则的值为 . 120 2.多项式的公因式是（ ）. A. B. C. D. D 能力提升题 解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12. (2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)] =(2x+1)(2x+1–2x+1)=2(2x+1). 3.(1)已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值. (2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x= . 当x= 时 原式=2×(2× +1)=4. 56 1.已知：多项式. （1）请将A进行因式分解； （2）若且，求的值． 解： （1） ； （2）∵ ，∴ . 解得或. ∵ ，∴ ，即. 则原式 . 拓广探索题 2.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由． ∴△ABC是等腰三角形． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab–c–2bc＝0. (a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0. ∴a–c＝0或1＋2b＝0. 即a＝c或b＝–0.5(舍去). 提公因式法分解因式 定义 am+bm+mc=m(a+b+c) 方法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数. 第一步找公因式；第二步提公因式 注意 1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢 谢 再 见 下课了! 62 谢谢观看 初中数学人教版八年级上册 Equinox Nicholas Gunn The Sacred Fire 262470.03 XXX - 酷我音乐 $