3.2勾股定理的逆定理同步练习题2025-2026学年苏科版八年级数学上册

3.2 勾股定理的逆定理 同步练习题 一、单选题 1．下列各组数中，是一组勾股数的是（   ） A．1，1， B．，， C．6，8，10 D．5，13，13 2．以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，2 B．1，，2 C．4，5，6 D．2，，3 3．如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（   ） A．10 B． C． D． 4．如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ） A． B． C． D．3 5．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 6．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点，为垂足，若，，，则的长为（   ） A．10 B．11 C． D． 7．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 8．如图，在中，，，现将绕点顺时针旋转得到，连接，并且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C．31 D．37 10．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的值为（    ） A．2 B．4.8 C．6 D．5 二、填空题 11．下列各组数中：①6，8，；②；③1，2，3；④；是勾股数的有 ．（填序号） 12．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 13．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为 ．    14．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积为 ． 15．有下列说法：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②三边长分别为，，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的是（填序号） ． 三、解答题 16．如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 17．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于轴成轴对称的图形，点、的对应点分别是点、； (2)在（1）的条件下，分别连结、，则与的位置关系是___________，___________． 18．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 19．如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 20．如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，，点D在A的正北方向． (1)求四边形步道所围公园的面积； (2)小明和小亮从B到D去玩耍，公园内有一条小路，小明决定走小路从B→E→D，小明的速度为，小亮决定全程走步道从B→C→D，小亮的速度为，已知，则小明和小亮谁先到达D？请说明理由．（精确到十分位，参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《3.2 勾股定理的逆定理 同步练习题 2025-2026学年苏科版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B A C B C B B 1．C 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 根据勾股数的定义，需满足三个正整数且两较小数的平方和等于最大数的平方，由此判断选项即可． 【详解】解：A．不是正整数，不符合勾股数要求； B．，，中均为分数，不是正整数，不符合勾股数要求； C．，是勾股数； D． ，不符合勾股数要求． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果两条较小边的平方和等于最大边的平方，此时的三角形是直角三角形，此为本题解题的关键． 利用勾股定理逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，，，故不能构成直角三角形， B、，，，故能构成直角三角形， C、，，，故不能构成直角三角形， D、，，，故不能构成直角三角形， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理． 根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键． 将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接， ，，， 是等边三角形， ， ∵，， ， ， 与的面积之和为 ． 故选：B． 5．A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 6．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、勾股定理的逆定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，根据垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴此时有，即， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 8．C 【分析】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理的逆定理及其应用问题；连接．首先证明，然后证明，得到，进而得到，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接．由题意得： ，，， ∴，； ∵，， ∴， ∴，， 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；先根据勾股定理求得的长，然后根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为， 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了角平分线的性质，尺规作图作角平分线，勾股定理的逆定理等知识，过D作于E，根据勾股定理的逆定理可判断出，根据角平分线的性质得出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：过D作于E， 由作图知：平分， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 11．①②/②① 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可． 【详解】解：①，是勾股数，符合题意； ②，是勾股数，符合题意； ③，不是勾股数，不符合题意； ④不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故答案为：①②． 12． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键． 连接，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：，，最后根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可知，利用勾股定理可求出的长，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ， ； 故答案为：． 14．2027 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有正方形的面积，总结出一般规律，即可进行解答． 【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c， 根据勾股定理可得：， ∵, ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为； ∴第2026代勾股树中所有正方形的面积为2027． 故答案为：2027． 15．①②③ 【分析】本题考查了等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质． 分别根据等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质判断即可． 【详解】解：说法①：有一个角为的等腰三角形，无论该角是顶角还是底角，其余两个角均为60°，因此三角形为等边三角形，说法正确； 说法②：三边长分别为，，3，，满足勾股定理逆定理，因此为直角三角形，说法正确； 说法③：等腰三角形的两边长为2和4，若腰为2、底为4，则，不满足三角形三边关系定理；若腰为4、底为2，则、，满足三边关系，周长为，因此说法正确； 说法④：一边上的中线等于这边长的一半时，该边所对的角为直角，但三角形不一定是等腰直角三角形，因此说法错误； 故答案为：①②③． 16．(1)见解析 (2)84 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 17．(1)见解析 (2)；． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得．由勾股定理以及勾股定理的逆定理可得． 本题考查作图—轴对称变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由轴对称的性质可得，AC⊥y轴，BD⊥y轴， ∴． 由勾股定理得，，， ， ， ． 故答案为：；． 18．(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， ∵，，， 而，即， ∴， ∴是直角三角形. （2）解：∵，，， ∴ 过点A作于点G， 由（1）得，是直角三角形， ∴ ∴ ∵滚轮半径 ∴购物车上篮子的左边缘D到地面的距离为． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，解题的关键是熟练运用知识点进行解题． （1）根据题中所给的信息通过证出； （2）由题意可得，，又根据，得出，再根据勾股定理的逆定理得出，等量代换得出． 【详解】（1）证明：由题意可得：， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ． 20．(1) (2)小明先到达D，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握该两个定理的灵活应用． （1）先利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用勾股定理得出长度，最后利用三角形的面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求出线段的长度，然后分别求出两人的时间进行对比即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； 根据方位得，， 由勾股定理得，， ∴； ∴； （2）解：小明先到达D，理由如下： ， 由勾股定理得， 小明所需时间为； 小亮所需时间为； ∵， ∴小明先到达D． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $