4.2.2等差数列的前n项和公式课件(1)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的 前n项和公式(1) 复习回顾 设 {an}是公差为d的等差数列，那么 性质1 an =a1+(n-1)d, an =am+(n-m)d, 性质2 m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq m,n,k∈N*，若m＋n＝2k，则am＋an＝2ak 情景导入 1+2+3+···+100=? 高斯，(1777—1855） 德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都作出了杰出贡献. 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋‧‧‧＋100=？ 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，高斯10岁的时候很快就解决了这个问题，你知道高斯是怎样算出来的吗？ 情景导入 不同数的求和 相同数的求和 转化 下面再来看高斯的算法. 这里用到了数列的性质： 若m+n=p+q,则am+ an=ap+ aq. 新知探究 思考1 你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？ 方式1（拿出末项，再首尾配对） 原式=(1+2+3+… + 100)+101=5151 方式2（先凑成偶数项，再配对） 原式=(1+2+3+… + 101+102)-102 原式=0+1+2+3+… + 100+101 结论：当项数为奇数时，“首尾配对”不太方便. 新知探究 思考2 你能用高斯的方法求1+2+3+…+n吗？ 当n是偶数时，有 于是有 当n是奇数时，有 ∴对任意正整数n，都有 在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论， 比较麻烦. 能否设法避免分类讨论? ① ② 新知探究 在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论， 比较麻烦. 能否设法避免分类讨论? 设 S100= 1 + 2 + 3 +…+98+99+100 反序 S100=100+99+98+…+ 3 + 2 + 1 + + + + + + + 多少个101 ? 100个101 2S100=101+101+101+…+101+101+101 // // // \\ \\ \\ \\ 作 加 法 S100= (101×100)÷2 =5050 新知探究 在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论， 比较麻烦. 能否设法避免分类讨论? 设 S101= 1 + 2 + 3 +…+99+100+101 反序 S101=101+100+99+…+ 3 + 2 + 1 + + + + + + + 多少个102 ? 101个102 2S101=102+102+102+…+102+102+102 // // // \\ \\ \\ \\ 作 加 法 S101= (101×102)÷2 =5151 新知探究 因为数列{an}是等差数列， 所以a1+ an= a2+ an-1= a3+ an-3 =···， 倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写的两个和式相加，就得到这个数列的和，这一求和方法称为倒序相加法. 已知等差数列{an}的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn . ① ② 即 新知探究 新知获得 等差数列{an}的前n项和的公式： (1) (首相＋末项) ×项数÷2 将 an=a1+(n-1)d 代入公式(1)，可得 (2) 新知获得 公式记忆：结合梯形的面积公式来记等差数列前n项和公式. n a1 an a1 (n-1)d n a1 an 新知获得 公式功能： (1) 功能： 已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个.（知三求一） 例6： 在等差数列{an}中，a1＝7，a50＝101，求S50. 解： 新知获得 公式功能： 功能： 已知Sn，n，a1 和d 中任意3个，求第4个.（知三求一） 例6： 在等差数列{an}中，a1＝ ，d＝ ，Sn＝－5，求n. 解： 将a1＝ ，d＝ ，Sn＝－5代入公式(2)得 整理，得 ， 解得n＝12或n＝−5. 因为 ，所以n＝12. (2) 新知获得 公式功能： 功能： 已知Sn，n，a1 和d 中任意3个，求第4个.（知三求一） 解： 例6： 在等差数列{an}中，a1＝2，a2＝ ，求S10. (2) 新知获得 等差数列{an}的前n项和公式 (1) (2) 等差数列{an}的通项公式 在等差数列 {an} 中，已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 求出其余两个.（知三求二） 练习 1. 根据下列条件，求等差数列{an}的前n项和Sn . (1) a1＝5, an＝95, n＝10； (2) a1＝100, d＝－2, n＝50； (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 书P22 练习 1. 根据下列条件，求等差数列{an}的前n项和Sn . (3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32. 书P22 例题分析 例7 已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求Sn. 分析： S10 S20 Sn a1，a10 a1，a20 a1，d a1，d a1，an a1，d 书P21 例题分析 例7 已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求Sn. 书P21 解： 根据公式 ，得 解方程组得 所以 方法总结 2个相互独立的方程 等差数列任意问题 a1，d 等差数列任意2个相互独立的条件 基本量法 4a1+6d=6 8a1+28d=20 3. 在等差数列{an}中，已知S4=6，S8=20，求S16. 解： 根据公式 ，得 解方程组得 所以 书P22 练习 2. 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：由已知可得：a1= -10，d=4 所以数列前9项的和是54. 书P22 练习 4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k. 书P22 练习 补充练 1. 在等差数列{an}中，已知a3+a5=40，求S7 . 解： 2. 已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26，末四项之和为110，且所有项的和为187，求n. 提示：a1+a2+a3+a4=26 an+an-1+an-2+an-3=110 a1+an=136÷4=34 解： 补充练 课堂小结 等差数列{an}的前n项和公式 等差数列{an}的通项公式 基本量法 (转化与化归) 知三求二 (方程思想) 倒序求和 下课! $