精品解析：黑龙江省哈尔滨美佳中学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

哈美佳外校初中部2025－2026学年度（上）期中质量检测八年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 1，1，4 D. 4，4，1 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 5. 图中有两个全等三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（ ） A. AB＝AD，AC＝AE B. AB＝AD，BC＝DE C. AC＝AE，BC＝DE D. 以上都不对 8. 若，则的值是（ ） A. 6 B. 5 C. 9 D. 8 9. 到三角形的三边距离相等的点是（ ） A. 三角形三条高的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 10. 如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 计算：________． 12. 若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是________米．（用科学记数法表示） 13. 如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=4m，已知△BCD≌△ACE，则四边形AECD的面积为_____. 15. 如图，在中，交于点，则________． 16. 如图，在中，，则的度数为_____． 17. 观察下列各式：；；，那么_____． 18. 如图，中，和的角平分线交于点O，过点O作的平行线交于点M，交于点N，则的周长为_____． 19. 已知点A的坐标为，点B的坐标为，在坐标轴上找一点C，使与全等，那么点C的坐标是_____． 20. 如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为______． 三、解答题（21、22、24每题8分，23题6分，25、26、27题各10分，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的；（A、B、C的对称点分别为） （2）直接写出的面积＝________． 24. 已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°． 25. 绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． （1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元； （2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？ 26. 在形如的式子中，我们已经学习研究过两种情况：已知和求，这是乘方运算；已知和求，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知和求，我们称这种运算为对数运算． 定义：因为，所以，因为，所以． 根据以上信息回答下列问题： （1）计算：______； （2）设，（，且，，）．探究、、三者之间的关系，并予以证明． （3）计算：． 27. 四边形中，连接，若 （1）如图1，求证：； （2）如图2，过D作，垂足为点E，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，，若，求的长？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈美佳外校初中部2025－2026学年度（上）期中质量检测八年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 1，1，4 D. 4，4，1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形；根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边. 【详解】解：对于选项A：∵，∴不能组成三角形； 对于选项B：∵，∴不能组成三角形； 对于选项C：∵ ，∴不能组成三角形； 对于选项D：∵，∴能组成三角形； 故选：D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方；需逐一验证各选项是否符合这些规则. 【详解】解：∵ 同底数幂相乘：； 幂的乘方：； 积的乘方：； 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 3. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x轴对称点的性质，“横坐标不变，纵坐标变为相反数”，求解即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点是， 故选：A 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 5. 图中有两个全等三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角．根据三角形的内角和定理求出角的度数，然后根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由图形可知边的夹角的度数为，根据全等三角形的性质得， 故选：D． 6. 用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 根据尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等性质即可得到，从而确定答案． 【详解】解：如图所示： 由尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，可知，， ， ， ， 即的依据是， 故选：A． 7. 如图，已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（ ） A. AB＝AD，AC＝AE B. AB＝AD，BC＝DE C. AC＝AE，BC＝DE D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵∠1=∠2 ∴∠E=∠C（三角形内角和定理） ∵∠E和∠C的夹边分别是AE、DE、BC、AC ∴只要AC=AE，BC=DE，符合SAS，则△ABC≌△ADE 故选：C． 8. 若，则的值是（ ） A. 6 B. 5 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，解题关键是熟悉同底数幂乘法逆运算规则；利用指数运算法则，同底数幂相乘，指数相加，即可求解. 【详解】解：∵ ，， 又 ∵ ， ∴ ； 故选：A. 9. 到三角形的三边距离相等的点是（ ） A. 三角形三条高的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的性质．根据角平分线的性质“在角的内部，到该角两边距离相等的点在该角的平分线上”判断即可． 【详解】解：根据角平分线的性质知，到三角形的三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 10. 如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的应用，最短路径，理解轴对称的性质是解题的关键．连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值，据此回答即可． 【详解】解：连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值， 在等边中，于点D， ， ， ， E是边的中点， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键．根据积的乘方的逆运算计算即可；利用指数运算法则，将原式转化为 进行计算. 【详解】原式 = = = = = = 故答案为：． 12. 若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是________米．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查路程问题及科学记数法等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其知识点；根据距离公式，距离等于速度乘以时间，将速度和时间用科学记数法表示后相乘，并化简为标准的科学记数法形式. 【详解】解：火箭飞行的距离为速度乘以时间，即 由于科学记数法要求数字部分在1到10之间，因此将15表示为 ， 故答案为：. 13. 如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和为以及四边形内角和为等知识内容，该题运用整体思想法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形内角和为以及四边形内角和为，即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=4m，已知△BCD≌△ACE，则四边形AECD的面积为_____. 【答案】8m² 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出△AEC与△BCD的面积相等，进而解答即可． 【详解】∵△BCD≌△ACE， ∴△AEC与△BCD的面积相等， ∴四边形AECD的面积=△ACD的面积+△AEC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积=△ACB的面积=×4×4=8cm2 故答案为8 cm2. 【点睛】此题考查全等三角形的性质，解题关键在于掌握其性质定义. 15. 如图，在中，交于点，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，准确计算是解题的关键； 根据等腰三角形的性质和角所对直角边是斜边的一半计算即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴， ∴ 故答案是：2． 16. 如图，在中，，则的度数为_____． 【答案】##48度 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角性质和全等三角形的判定与性质，是一道综合题，能够熟练运用所学知识是解题的关键. 由等腰三角形的性质可得，由“”可证，可得，由三角形外角的性质可得，即可求的度数． 【详解】解： . 故答案为：. 17. 观察下列各式：；；，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查多项式乘法的规律探究，通过观察已知等式，左边是乘以一个从到的等比数列求和形式，右边是，从而得出一般结论 【详解】由已知等式：， ， ， 可知，对于正整数，有：， 故答案为 18. 如图，中，和的角平分线交于点O，过点O作的平行线交于点M，交于点N，则的周长为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质证得等腰三角形是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解： 平分即 同理，， ∴的周长 故答案为：14． 19. 已知点A的坐标为，点B的坐标为，在坐标轴上找一点C，使与全等，那么点C的坐标是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等判定，解题的关键是结合三角形全等的性质写出点的坐标． 根据题意画出图形，如图所示，分两种情况，结合三角形全等的判定和坐标与图形性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴轴，，，且在y轴上， ∴， 要在坐标轴上找一点C，使与全等，则点C在x轴上， 分两种情况： 当点C在x轴负半轴时，，连接， ∵，，， ∴，此时； 当点C在x轴正半轴时，，连接， ∵，，， ∴，此时； 综上，满足条件的点C坐标为或． 故答案为：或． 20. 如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，易得，结合“有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形”可得为等边三角形，进一步可知，可证明，即可判定结论②；证明，易得，结合三角形外角的定义性质可得，即可判定结论①；过作，垂足分别为，利用面积法证明，证明平分，即可判断结论③；在上取点，使得，证明为等边三角形，进一步证明，可知，进一步可得，即可判断结论④． 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 如图，过作，垂足分别为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴平分，故结论③正确； 如图，在上取点，使得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、角平分线的判定等知识，综合性较强，熟练运用相关知识是解题关键． 三、解答题（21、22、24每题8分，23题6分，25、26、27题各10分，共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及幂的运算和整式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可； （2）利用多项式乘多项式运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，掌握单项式乘以多项式的相关计算是解题关键；先将式子进行化简，再将代入求值． 【详解】解：原式 当时， 原式． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的；（A、B、C的对称点分别为） （2）直接写出的面积＝________． 【答案】（1） 如图； 即为所求三角形； （2）； 【解析】 【分析】本题考查的是作图轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据网格矩形面积减去三角形面积即可求解. 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解： 故答案为：. 24. 已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°． 【答案】 （1）证明：如图1， ， ， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴； （2）、、、． 【解析】 【分析】（1）可得，进而利用SAS证明，即可得出结论； （2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）略； （2）顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、． 证明：∵，， ∴，， ∵，，即：是等腰三角形，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、即：、是等腰三角形，， ∵ ∴∠DBF=∠C=45°，， 又∵， ∴， ∴、即：是等腰三角形，． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题关键． 25. 绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． （1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元； （2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？ 【答案】（1）每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元 （2）该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料 【解析】 【分析】（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买盒B种型号的颜料，根据总费用不超过3920元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元． 根据题意得， 解得 ∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元． 【小问2详解】 解：设该中学可以购买a盒A种型号的颜料， 根据题意得 解得 ∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是（1）根据题意找出对应关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系正确列出一元一次不等式． 26. 在形如的式子中，我们已经学习研究过两种情况：已知和求，这是乘方运算；已知和求，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知和求，我们称这种运算为对数运算． 定义：因为，所以，因为，所以． 根据以上信息回答下列问题： （1）计算：______； （2）设，（，且，，）．探究、、三者之间的关系，并予以证明． （3）计算：． 【答案】（1）3 （2），证明： ∵ ，， ∴ ，，， ∴ ∴ （3）2 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，根据运算规则计算即可，解题关键熟读题目，快速理解题意是解题关键； （1）利用题中的新定义求出所求式子的值即可； （2）根据题中新定义及同底数幂的乘法运算法则进行推导证明即可； （3）利用（2）中探究出的结论进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题可得 ∴ 故答案为：3； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：． 27. 四边形中，连接，若 （1）如图1，求证：； （2）如图2，过D作，垂足为点E，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，，若，求的长？ 【答案】（1） 如图，设与交于点，设 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2） 如图；在取点，使得 ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 由（1）可知： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）3； 【解析】 【分析】（1）设与交于点，设，可得，由，推出，通过即可求证； （2）在取点，使得，可证，可得，求得，则，即可求证； （3），延长作交于点，可知，作，交于于点，可得，，，可得到，求出，即可求解. 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：如图，延长作交于点，由（2）可知，作，交于于点， ∴，， ∵ ∴在，则， ∴ ∵，由（2）可知， ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，含30度角的直角三角形等相关知识点，在于熟练掌握其知识体系，通过已知条件作辅助线是解题关键，题目难度较大，需要综合能力强. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $