精品解析：江西省赣州市瑞金市2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025年秋八年级数学期中练习题 （内容：第十三章至第十五章） 命题人： （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 如图，直线，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质．根据平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质得到即可． 【详解】解：如图， ∵直线，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 3. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 18 B. 20 C. 26 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是利用垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行线段转化． 根据垂直平分线的性质得到线段相等，将的周长转化为与的长度和，进而计算结果． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长， 而，已知， 的周长． 故选：A． 4. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 5. 课本第39页给出了用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则． 证明两个角相等时用到了以下哪种判定方法（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作一个角等于已知角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．充分理解作图过程，得，即可证明，故． 【详解】解：结合作图过程，得出， ∴， ∴， 即证明两个角相等时用到了判定方法， 故选：B． 6. 如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、轴对称的最短路径问题，利用等边三角形的对称性构造对称点，将“折线和”转化为“直线段”是解题关键． 根据点、关于对称，可将转化为，结合“两点之间线段最短”求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ， 是的中点， ，， 点、关于对称， 如图，连接，交于点， 可知此时的值最小，最小值为的长度， 点是的中点， ， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题． 【详解】解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形具有的稳定性， 故答案：稳定性． 8. 如图，，还需补充一个条件______________，就可直接根据“”证明． 【答案】 【解析】 【分析】本题旨在依据“ASA”的三角形全等判定定理，结合已知的，找出还需补充的条件，使和满足“ASA”的要求 【详解】ASA判定定理要求两个三角形有两角及其夹边对应相等 已知，且两个三角形有公共角 此时，若补充，那么在和中： 满足“ASA”的判定条件，可证明 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形全等的“ASA”判定定理，掌握两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）是解题的关键 9. 已知点和关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于x轴对称的点的坐标特点，求解代数式的值，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b，再计算的值，最后求幂． 【详解】解：点和关于轴对称， 因此，，且， 解得，， 所以， 故， 故答案为：． 10. 如图，中，，，于，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义，根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，三角形的外角性质；由平行可求得，又由折叠的性质可得，再利用三角形的外角性质求得的度数，据此计算即可求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 又由折叠的性质可得， ∴， ∴ 故答案为：． 12. 如图，已知，，在射线上找一点（不与点重合），使得为等腰三角形，则的度数是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分为当时，当时，时三种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上可得：为等腰三角形时，的度数是或或， 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，在中，，平分交于点D，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，为等边三角形，，相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）利用全等三角形的性质及外角性质解答即可； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：为等边三角形， ，， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 15. 如图，已知，，同时给出了下列四个条件． ① ② ③ ④ （1）上述条件中可以得出的条件有______； （2）请你选择一种加以证明． 【答案】（1）①②④ （2）①（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，观察图形特征以及每个选项的条件，结合全等三角形的判定方法进行分析，即可作答． （2）先整理得，观察图形特征以及每个选项的条件，结合全等三角形的判定方法进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，上述条件中可以得出的条件有①②④； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 当选择①时， 则在和中， ∴； 当选择②时， 则在和中， ∴； 当选择④时， ∴ 则在和中， ∴； 16. 如图，已知点D，E分别是ABC边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到∠DAF=∠CAF，又根据，得到∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，进一步得到∠ABC=∠ACB，即可证明是等腰三角形； （2）在中，分别求得和的度数，利用三角形内角和求解即可． 【详解】（1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线 ∴∠DAF=∠CAF 又∵ ∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ∴是等腰三角形 （2）∵CG是∠ACE的角平分线 ∴∠ACG=∠ECG 又∵，∠ACB=∠B ∴ ∴∠ACG=∠ECG= 又∵∠CAG=∠ACB ∴∠AGC= 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键． 17. 请用无刻度尺完成下列作图，要求保留作图痕迹． （1）如图1，已知，，作线段的垂直平分线； （2）如图2，已知，，作线段的垂直平分线． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，再由垂直平分线的判定方法即可求解； （）延长交于点，连接，证明，则，即有，所以，从而得，再由垂直平分线的判定方法即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，直线即所求， 理由：∵，， ∴垂直平分， ∴直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，连接，直线即为所求， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴直线即为所求． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，平分于，连接，交于点． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含度角的直角三角形： （1）根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用可证，从而利用全等三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线判定定理即可解答； （2）利用角平分线的定义可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，，再利用（1）的结论可得，从而可得，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线； 【小问2详解】 解：∵在中，平分，则， ∴， 中，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 19. 已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． （1）求的度数； （2）求证：； （3）求证：是等边三角形． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 由（1）得， ∵D是边中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问3详解】 由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 20. 已知：如图①，，，点C是上一点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若，，求四边形的面积． 【答案】（1），理由见解析； （2），理由见解析； （3）9． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （3）由题意可得，由全等三角形的性质可得，由此即可得解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如果一条线段将一个三角形分割成个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“上线”；如果两条线段将一个三角形分割成个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“上上线”． （1）如图，在中，，点在边上，且，求的度数； （2）如图，在中，，和是的“上上线”，点在边上，点在边上，且，，求的度数． 【答案】（1）； （2）的度数为或． 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （）利用等边对等角得到三对角相等，设，表示出与，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出的度数； （）设，当时，利用三角形外角的性质得到，解得，当时，利用三角形内角和定理得到，解得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， 当时，如图， ∵，解得， ∴； 当时，如图： ∵，解得， ∴， ∴的度数为或． 22. 追本溯源 （1）【课本习题】如图1，是等边三角形，是中线，延长至，使．求证：． （2）【变式探究】如图2，是等边三角形，为边上除中点外的任意一点（不含端点，），为延长线上一点，若，判断与大小关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可知，再由等腰三角形的性质可知，结合三角形中线的性质得到，从而得到，即可证明； （2）作，交于点，根据等边三角形的性质和平行线的性质可得为等边三角形，从而得到，，结合，从而证明，得到，即可得到； 【详解】解：（1）证明：为等边三角形 为等边三角形的中线 ； （2），理由如下： 作，交于点，如图 为等边三角形 ， ， 为等边三角形 ，， ， 在和中 六、（本大题共12分） 23. 【问题提出】 （1）如图1，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．求线段，，之间的数量关系．小明同学给出了以下证明方法，请你根据他的思路写出全部证明过程． 小明的解法：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵，，， ∴ ∴，…… 【初步感知】 （2）如图2，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； 【拓展延伸】 （3）在四边形中，，，若，分别是边，延长线上的点，且．请画出图形（除图②外），并求线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见详解（2）（1）中的结论仍然成立，证明见详解（3） 【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）理解题意，结合已有的过程，以及运用全等三角形的判定与性质，进行分析和补充，即可作答． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，那么，即可作答． 【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵，且 ∴； （2）（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）如图中，在上截取，使，连接． ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋八年级数学期中练习题 （内容：第十三章至第十五章） 命题人： （说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ） A 18 B. 20 C. 26 D. 28 4. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 5. 课本第39页给出了用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则． 证明两个角相等时用到了以下哪种判定方法（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则最小值为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的________． 8. 如图，，还需补充一个条件______________，就可直接根据“”证明． 9. 已知点和关于轴对称，则______． 10. 如图，中，，，于，若，则_______. 11. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于______． 12. 如图，已知，，在射线上找一点（不与点重合），使得为等腰三角形，则的度数是______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 如图，在中，，平分交于点D，且，求的度数． 14. 如图，为等边三角形，，相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 15. 如图，已知，，同时给出了下列四个条件． ① ② ③ ④ （1）上述条件中可以得出的条件有______； （2）请你选择一种加以证明． 16. 如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 17. 请用无刻度尺完成下列作图，要求保留作图痕迹． （1）如图1，已知，，作线段的垂直平分线； （2）如图2，已知，，作线段的垂直平分线． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，平分于，连接，交于点． （1）求证：是线段的垂直平分线； （2）若，求的长． 19. 已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． （1）求的度数； （2）求证：； （3）求证：是等边三角形． 20. 已知：如图①，，，点C是上一点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若，，求四边形的面积． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如果一条线段将一个三角形分割成个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“上线”；如果两条线段将一个三角形分割成个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“上上线”． （1）如图，在中，，点在边上，且，求的度数； （2）如图，在中，，和是的“上上线”，点在边上，点在边上，且，，求的度数． 22. 追本溯源 （1）【课本习题】如图1，等边三角形，是中线，延长至，使．求证：． （2）【变式探究】如图2，是等边三角形，为边上除中点外的任意一点（不含端点，），为延长线上一点，若，判断与大小关系并说明理由． 六、（本大题共12分） 23. 【问题提出】 （1）如图1，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．求线段，，之间的数量关系．小明同学给出了以下证明方法，请你根据他的思路写出全部证明过程． 小明解法：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵，，， ∴ ∴，…… 【初步感知】 （2）如图2，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； 【拓展延伸】 （3）在四边形中，，，若，分别是边，延长线上的点，且．请画出图形（除图②外），并求线段，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $